小波分析是近十幾年來發展起來的一種新的數學理論和方法，目前已被成功地應用于許多領域。作為一種新的時頻分析方法，小波分析由于具有多分辨分析的特點，能夠聚焦到信號的任意細節進行多分辨率的時頻域分析，因而被譽為“數學顯微鏡”。

本文主要介紹小波分解與重構法、非線性小波變換閾值法、平移不變量小波法以及小波變換模極大值法這4種常用的小波去噪方法。將它們分別用于仿真算例的去噪處理，并對這幾種方法的應用場合、去噪性能、計算速度和影響因素等方面進行比較，最后對小波去噪方法選擇加以總結。

1、小波分解與重構法去噪

本質上相當于一個具有多個通道的帶通濾波器，主要適用于有用信號和噪聲的頻帶相互分離時的確定性噪聲的情況。在這種情況下，該方法能基本去除噪聲，去噪效果很好。但對于有用信號和噪聲的頻帶相互重疊的情況（如信號混有白噪聲），效果就不甚理想。

優點：

適用范圍不是很廣泛。它對于特定情況下已知道噪聲的頻率范圍且信號和噪聲的頻帶相互分離時非常有效。對實際應用中廣泛存在的白噪聲，其去噪效果則較差。

圖1 ? 小波分解與重構法去噪

2、非線性小波變換閾值法去噪

主要適用于信號中混有白噪聲的情況。用閾值法去噪的優點是噪聲幾乎完全得到抑制，且反映原始信號的特征尖峰點得到很好的保留。用軟閾值的方法去噪能夠使估計信號實現最大均方誤差最小化，即去噪后的估計信號是原始信號的近似最優估計;且估計信號至少和原始信號同樣光滑而不會產生附加振蕩。

該方法還具有廣泛的適應性，因而是眾多小波去噪方法中應用最為廣泛的一種。閾值法的計算速度很快，為O（N），其中N為信號長度。

在有些情況下，如在信號的不連續點處，去噪后會出現偽吉布斯現象。且用該方法去噪時，閾值的選擇對去噪效果有著很重要的影響。

圖2 ?軟閾值法去噪

3、平移不變量小波法去噪

主要適用于信號中混有白噪聲且含有若干不連續點的情況，是在閾值法基礎上的改進。

可以有效地去除閾值法去噪中，在信號的不連續點處所產生的偽吉布斯現象，表現出比閾值法更好的視覺效果。從L2范數誤差的觀點看，經該方法去噪能夠得到比閾值法更小的均方根誤差，信噪比也得到一定地提高;

計算速度沒有閾值法快。當信號長度是N時，計算速度是O（NlogN）。

圖3 ?平移不變量小波法去噪

4、模極大值法去噪

主要適用于信號中混有白噪聲，且信號中含有較多奇異點的情況。

該方法在去噪的同時，有效地保留信號的奇異點信息，去噪后的信號沒有多余振蕩，是原始信號的一個非常好的估計，具有較好的圖面質量。

用模極大值進行重構時采用的是交替投影法，為保證重構信號的精度，提高信噪比，通常要進行幾十次的迭代，每迭代一次的速度是O（NlogN）。因此，計算速度非常慢，通常要比前幾種方法慢數十倍。

圖4 ?小波變換模極大值法去噪

通過對幾種小波去噪方法的分析比較，總結出如下幾點，可以為小波去噪方法的選擇提供參考依據。

（1）對于信號和噪聲的頻帶相互分離的確定性噪聲的去噪處理，選用方法簡單、算速度快的小波分解與重構去噪法最為合適。

（2）對于高斯白噪聲的去噪處理，可以選用閾值法、平移不變量法以及模極大值法。究竟選擇哪種方法應根據實際信號的特點以及這幾種方法的優缺點再作決定。①閾值法由于具有能得到原始信號的

近似最優估計、計算速度快以及具有廣泛的適應性等優點，是小波去噪方法中應用最廣泛的一種。一般情況下，均可選用該方法去噪。②平移不變量法適用于信號中含有若干不連續點的情況。通常去噪性能優于閾值法，但以犧牲計算速度為代價。③小波變換模極大值法當信號中含有較多奇異點時去噪性能相當好，但其最大缺點就是計算速度太慢，在應用中需權衡去噪效果和計算速度之間的關系。

（3）小波去噪方法和其它方法結合使用，可能會達到更好的效果