上一篇《運放（一）......》是從靜態的角度去討論運放的一些特性，默認電路的反應速度足夠快，不需要考慮信號傳輸和建立的過程。這一篇主要討論運放對不同頻率信號的行為，討論因信號延遲給反饋環路帶來的問題，以及相應的解決方法。

在《運放（一）......》中說到，運放總是根據兩個輸入端之間的電壓偏差去重新調整輸出，輸出電壓又通過分壓電路引回到反相輸入端，最終使得兩個輸入端電壓相等。換句話說：運放總是在檢測輸出電壓，根據輸出和目標之間的偏差重新調整輸出，直到與目標輸出電壓相等。如果仔細思考這個過程，會發現可能出現以下問題，導致輸出電壓一直在目標值左右振蕩：信號從輸入端經過放大環節到輸出端，再經過反饋環節回到輸入端，這個過程通常會有延遲。因此，運放無法及時得知當前的輸入能得到什么樣的輸出，如果調整力度過大或者延遲比較嚴重，輸出電壓就容易調過頭。等會發現調過頭了，又試著糾正回來，如此往復......如果情況不是很嚴重，每次調過頭的量都比上一次的小，那么輸出會振蕩幾次后穩定下來，這種情況叫振鈴（如圖1）。如果延遲比較嚴重、調節力度又比較大，每次都無法及時收手，最終輸出會在目標值左右一直振蕩，停不下來，這就是自激振蕩。

圖1 輸出振鈴

從時域到頻域

前面是從時域的角度來簡單說明自激振蕩的原因，雖然直觀，卻不方便定量分析，下面是從頻域的角度描述：隨著頻率升高，運放的輸出電壓（Uo）相對差分輸入電壓(Up-Un）會有相位滯后，記為φA，相位滯后其實就是以信號周期為參考的時間延遲。同時，運放的開環增益A也會隨頻率增大而減小。另外，如果反饋電路不是純電阻，反饋電壓（Uf）相對輸出電壓（Uo）也可能有相位滯后，記為φF。通常用正數表示相位超前，負數表示相位滯后，比如說φ=-90°，表示相位滯后90°，后面這兩種表述會混著用。

如果信號經過放大環節和反饋環節總的相位滯后達到180°(φA+φF=-180°)，說明反饋回來的信號反相了。本來反饋回來的信號是要從輸入信號（Ui）中減掉的，剩下的才是真正輸入運放的信號（Un=Uf，Up=Ui，Uo=A·（Up-Un））?，F在反饋回來的信號反相了，減去一個相位相反的信號，相當于加上那個未經反相的信號。也就是說輸入信號經過放大環節和反饋環節繞一圈回來，在兩個輸入端之間產生的電壓與原本的差分輸入相位相同，可以代替原本的輸入信號，負反饋變成了正反饋（如圖2、圖3）。如果此時反饋信號比原本的差分輸入信號幅度還大，那這個信號將會在由運放和反饋電路組成的環路中繞圈一次又一次地被放大，最終在電源電壓的限制下或電路中其它非線性因素限制下穩定幅度，這就是自激振蕩。如果反饋回來的信號比原本的差分輸入信號幅度小，那這個信號在環路中每繞一圈將被衰減一次，最終消失，就表現為輸出電壓在目標值左右振蕩幾次后穩定下來，這種情況就是振鈴。上面說的總相位滯后180°，有時也說滯后360°，其實是一樣的意思，因為負反饋本身也可以看成相移180°。

圖2 反饋信號沒有相移

圖3 反饋信號滯后180°

信號經過放大環節和反饋環節繞一圈回來與原本差分輸入信號的大小關系稱為環路增益，與原本差分輸入信號的相位關系稱為環路相移，這兩個東西是判斷環路穩定性的關鍵。環路增益包括運放的開環增益和反饋系數兩部分，開環增益用A表示、反饋系數用F表示，兩者的乘積AF就是環路增益,AF=Uf/Ud（Ud=Up-Un）。開環增益A=Uo/Ud，是運放在沒有引入反饋時本身的放大倍數，Uo相對Ud的相移為φA。反饋系數F=Uf/Uo(Un=Uf)，表示取輸出電壓多大比例的一部分反饋到輸入，Uf相對Uo的相移為φF。因為反饋電路就是對輸出電壓分壓，所以F總是小于等于1。差分輸入信號Ud被放大A倍得到Uo，又從中取比例為F的一部分反饋到反相輸入端，所以AF就表示反饋回來的信號與原本差分輸入信號的倍數關系。比如AF>1，說明信號繞一圈回來比原本的差分輸入還大。

圖4 反饋電路框圖

總結說，自激振蕩要滿足兩個條件：1、放大環節和反饋環節的總相位滯后達到180°，反饋回到兩個輸入端之間的信號與原本的差分輸入信號同相，可以代替原本的輸入信號。2、環路增益大于或等于1,即反饋回來的信號不能比原本的差分輸入信號小，否則信號最終將衰減為零。相應的，抑制自激振蕩的方法就是破環以上兩個條件中的一個。比如：減小環路帶寬，在環路相位滯后達到180°前將環路增益衰減到1倍以下；或者引入環路的相位超前補償，使得環路增益衰減到1倍時總相位滯后小于180°。換個更直觀的說法：要解決自激振蕩，要么調節的力度不要太大；要么對輸出的變化趨勢有個預判，提前做出反應。通過改變環路的頻率響應來提高環路穩定性稱為頻率補償，關于這部分后面再具體討論。為了更好地描述這部分內容，這里先引入極點和零點的概念，并分別討論運放和反饋電路的頻率響應，最后才是頻率補償。

極點和零點

從傳遞函數的角度討論極點和零點過于抽象，而且我也搞不懂那些東西，這里從幅頻特性和相頻特性的角度討論。

幅頻特性和相頻特性如圖5所示的頻率點稱為極點，最常見的極點由RC低通濾波電路產生，如圖6。在極點處，幅度降低3dB，并在此之后每10倍頻降低20dB，即頻率每升高10倍幅度變為原來的1/10。如果將幅頻特性曲線折線化，則極點處斜率-1（減1）。相位上，在極點處輸出信號相對輸入信號滯后45°，在極點的十倍頻之后趨于90°，并最終停留在90°。

圖5 極點波特圖

圖6

圖6電路的幅頻特性可從RC串聯分壓的角度理解：輸出電壓為RC對輸入電壓分壓，分壓比為電阻阻值和電容容抗的比值。因為頻率越高容抗越低（Xc=1/(2πfC)），所以在低頻處，容抗遠大于電阻阻值的時候，輸出電壓幾乎等于輸入電壓。在容抗等于電阻阻值的時候，電阻電壓和電容電壓相等，因為兩個電壓相位相差90°，所以電壓為輸入的1/√2而不是一半，也就是-3dB，該點頻率為1/(2πRC)，這個頻率點就是極點。在高頻處，容抗遠小于電阻阻值的時候，大部分電壓落在電阻上，電容只分得一小部分電壓，所以此時的輸出電壓基本與電容容抗成正比。因為容抗與頻率成反比，所以頻率每升高多少倍，容抗變為原來多少分之一，電容電壓也就變為原來多少分之一。

該電路的相頻特性從電容充放電的角度理解要更直觀：輸入電壓通過電阻給電容充電，電容電壓即輸出電壓。當輸入電壓高于電容電壓時，電容充電，電壓上升；反之，電容放電，電壓下降，如圖7。在頻率很低的時候，輸入信號變化緩慢，有足夠的時間把電容充滿，所以電容電壓基本上是跟隨輸入電壓，與輸入電壓幅度相同，相位也相同。當頻率很高的時候，輸入信號變化很快，沒有足夠的時間給電容充電，電容在充放電過程中的電壓變化相對輸入信號幅度幾乎可以忽略，輸出電壓曲線幾乎貼著橫坐標軸。所以在整個輸入電壓曲線的上半周電容電壓曲線都在輸入電壓曲線的下方，電容處于充電狀態，電容電壓的峰值出現在輸入電壓的過零點，相位滯后輸入電壓90度，并且最多為90°。另外，頻率越高一個周期里電容充電的時間就越短，電容電壓的變化幅度就越小，輸出電壓就越小。在這中間的情況，電容充電過程電壓也上升，電容電壓與輸入電壓相等時達到峰值，也就是輸出曲線(電容電壓曲線)的峰值在它與輸入電壓曲線的交點處。該點與輸入曲線峰值點的縱坐標之比就是輸出對輸入的增益；橫坐標之差就是輸出對輸入的相移。

圖7

說完極點，再說零點。幅頻特性和相頻特性如圖8所示的頻率點稱為零點，可由圖9電路產生。在零點處，幅度增加3dB，并在此之后每10倍頻增加20dB，即頻率每升高10倍幅度也變為原來的10倍。如果將幅頻特性曲線折線化，則零點處斜率+1。相位上，在零點處輸出信號相對輸入信號超前45°，在零點的十倍頻之后趨于90°，并最終停留在90°。

圖8 零點波特圖

圖9

圖9電路中，在低頻處，電容容抗遠大于R1阻值，所以輸出電壓為輸入電壓經R1、R2分壓。隨著頻率升高，容抗減小，當容抗小于R1的時候（但遠大于R2），輸出電壓由C與R2分壓，幅頻特性曲線向上拐，頻率升高多少倍增益也升高多少倍。容抗與R1阻值相等的頻率點為零點，頻率為1/(2πR1C)。另外隨著頻率繼續升高，當容抗降低到接近R2阻值的時候，幅頻特性曲線向下拐（變平），此處是一個極點。

環路中每增加一個極點將帶來-90°的相移，以及幅度上每10倍頻-20dB的持續衰減；每增加一個零點將帶來+90°的相移和幅度上每10倍頻+20dB的變化。可以通過在反饋環路中引入極點或零點，改變環路的頻率響應，從而改變環路的穩定性或其他動態特性。

運放開環響應

運放最常見的開環響應是主極點響應:在低頻處有一個極點，在極點之后開環增益以每10倍頻-20dB的速度衰減。相位上，在極點處滯后45°，并在極點的十倍頻之后趨于90°。第二個極點落在單位增益頻率附近，通常在單位增益頻率之后不遠處。因為單位增益頻率之前只有一個極點，所以相位滯后最終停留在90°，不會更多；增益上一直是每10倍頻-20dB，直至穿過0dB線。這種運放在極點之后單位增益頻率前任何頻率處的開環增益與對應頻率的乘積是一個常數，稱為恒定增益帶寬積運放，增益帶寬積通常記為GBW或GBP。運放的開環響應為什么要設計這樣后面會再次討論。

圖10 運放LM358的開環響應（不同品牌會有所差異）

反饋系數

先考慮反饋電路為純電阻的情況：因為運放的輸入偏置電流很小，相對Rf和Rg上的電流可以忽略，所以反饋系數就由Rf和Rg的比值決定，即F=Uf/Uo=Rg/(Rg+Rf)，并且Uf和Uo同相，反饋環節沒有額外相移。如果反饋電路含電抗元件（通常為電容，這里只討論電容），Uf同樣是由Zf和Zg對Uo分壓決定，區別是因為電抗跟頻率有關，所以不同頻率的分壓比不同，并且Uf相對Uo會有相移，根據不同的連接方式，可以是滯后或者是超前，如圖11（注意圖中電壓使用相量符號）。雖然復數阻抗形式的公式計算比較麻煩，但如果不是關注幅頻曲線轉折點附近的情況，可以直接用阻抗的數值進行估算，轉折點附近的具體情況可以用軟件仿真。當AF>>1時（即深度負反饋），閉環增益為反饋系數的倒數1/F，如果反饋電路含電抗元件，則F的大小隨頻率變化，也就是不同頻率處放大倍數不同，此時電路就是一個有源濾波器。

圖11

頻率補償

環路中每增加一個極點將帶來-90°的相移，同時使增益曲線斜率-1。而當總相位滯后達到180°時，如果環路增益還沒衰減到0dB以下，將會導致自激振蕩。所以在環路的第二個極點十倍頻后如果環路增益仍>1，就有可能自激（實際上如果沒有第三個極點帶來更多的相位滯后，通常是振鈴，比較難自激）。

解決思路有兩種：一種是在環路中引入一個頻率很低的極點或者把原本的第一個極點拉到更低的頻率，降低環路帶寬，讓第二個極點落在環路的單位增益頻率后面。此時，單位增益頻率之前的相移主要由第一個極點控制，如果第二極點剛好在單位增益頻率處，則相位裕度為45°，如果在單位增益頻率后，則相位裕度>45°，離得越遠相位裕度越高，同時電路的速度也越慢。這種方式稱為主極點補償，簡單說就是降低帶寬使得環路相位滯后180°的頻率在單位增益頻率之后，是通過犧牲速度來換穩定。前面說到多數運放的開環響應為主極點響應，其內部就是引入這種類型的補償。因為單位增益頻率之前只有一個極點，所以運放在任何閉環增益下都能穩定。雖然運放內部補償是芯片設計者的事，但這種補償方式同樣可以用在其它對速度要求不高的場合。

另一種補償思路是在高頻處引入零點，產生相位超前，以抵消極點帶來的相位滯后，使得在單位增益頻率處相位滯后低于180°。這里強調高頻處的零點是因為引入零點除了帶來相位超前外，還會使零點后增益曲線斜率+1，使單位增益移到更高的頻率處。所以如果零點頻率過低，就有可能使帶寬拓展到原本在單位增益頻率后的極點之后，電路同樣不穩定。這種補償方式后面將通過容性負載和反相輸入端電容的例子進一步討論。

引入極點使增益衰減的同時也伴隨著相位滯后；引入相位超前補償也意味著帶來更高的高頻增益，幅度和相位的變化總是形影相隨，這里可以用波特圖來直觀表示。在波特圖中，幅頻特性曲線用對數坐標表示，相乘變為相加，相除變為相減。因為反饋系數F總是小于1，是一個分數，所以AF在波特圖中可由A-1/F得到。也就是開環增益A的曲線減去1/F的曲線，兩個曲線中間的那部分，它表示環路增益在不同頻率處的值。如果將環路增益的幅頻特性曲線折線化，不考慮轉折點附近的相位變化過程，則斜率為-1對應著環路相移-90°，斜率-2對應環路相移-180°，如圖12。所以在一些資料中會有以下說法:為保持環路穩定，穿越頻率處斜率應為-1。說的就是環路增益衰減為1倍時相位滯后應小于180°，因為斜率-2相位滯后將達到180°。嚴格來說，如果不考慮第三個極點影響，在第二個極點后不遠處斜率雖然為-2但相位滯后還達不到180°，仍有0°- 45°的相位余量，但這通常是不夠的。通過環路增益曲線穿過橫坐標軸（0dB）時的斜率可以判斷電路是否穩定，如果不穩定，可以在環路中引入零點或極點，改變環路增益的曲線，使之穿過橫坐標軸的斜率為-1，從而使電路穩定。

圖12 A和1/F的差為環路增益（藍色曲線）

容性負載

運放驅動容性負載可能導致自激振蕩，這個輸出電容有時并不是有意引入的，而是電路的寄生參數，是我們無法完全消除的東西。如圖13電路，運放輸出電阻Ro和負載電容CL會在反饋環路中引入一個極點（圖14 fp2），頻率為1/(2πRoCL)，在極點處產生附加的相位滯后45°并最終趨于90°。加上運放開環特性本身的低頻極點（圖14 fp1）帶來的90°滯后，總相位滯后將會達到180°，從而導致自激或振鈴。這里要注意：上面說的輸出電阻Ro指的是運放開環輸出電阻，是運放本身的內阻，通常為幾十歐到上千歐級別。我們平常說運放輸出電阻近似為0，指的是閉環輸出電阻，是深度負反饋的結果。負反饋會調節運放的輸出以補償負載電流在內阻上產生的電壓，使得放大電路的輸出電壓幾乎不隨負載電流變化，所以從反饋環外看，放大電路的輸出電阻就近似為0。

圖13 容性負載運放電路

圖14 容性負載電路的頻率特性

回到前面，容性負載可能導致自激或振鈴，所以需要對反饋環路做補償。最簡單的做法是在運放的輸出和容性負載之間串一個電阻Rs（通常Rs

圖15 加電阻Rs隔離容性負載

圖16 加隔離電阻后的頻率特性

改進方法是：同樣用一個電阻Rs將電容和運放隔開，直流反饋取自負載端，在Rs前面再加一個電容Cf連接到反相輸入端，產生相位超前的補償（如圖17），這種方式也稱為環內補償。因為直流反饋取自負載端，所以負載端的電壓不受輸出電流影響。此外，還可以在輸出端加RC減振電路來抑制自激或振鈴（如圖18），這種做法常用于音頻功放電路。原理有點類似于主極點補償的做法，都是通過降低環路帶寬來消除自激：在輸出端加一個足夠大的電容，其容量遠大于原本的負載電容，降低環路帶寬。然后在大電容上串聯一個電阻（阻值小于Ro），引入一個零點來抵消大電容新產生的低頻極點。

圖17 環內補償

圖18 加RC減振電路

反相輸入端電容

有時候，反相輸入端的對地電容Cn也可能導致自激或振鈴，比如反饋電阻取值過大或者運放帶寬很高的時候。如圖19電路，反相輸入端對地電容在反饋回路中的形式與容性負載一樣，都是一個RC低通環節，同樣會產生一個極點（圖20 fp2），導致相位滯后，fp2=1/(2π(Rg//Rf)Cn)。雖然該電容容量很小，通常為幾pF到十幾pF級別，但如果反饋電阻取值過大，產生的極點頻率就會比較低，使得在較低的頻率處相位滯后就達到180°。如果運放的帶寬又比較高，在該頻率處環路增益仍大于1，就會導致自激。比如運放GBW=20MHz，Cn=10pF,Rg=100k，Rf=400k,則產生的極點為1/(2π(Rg//Rf)Cn)=199kHz。在十倍極點頻率處，也就是頻率2MHz處，相位滯后將接近90°（嚴格說是84°），加上運放開環響應的低頻極點產生的90度，總相位滯后將接近180。該頻率處開環增益A=10，反饋系數F=1/5，環路增益AF=2，滿足自激振蕩的條件。當然，上面說的情況比較極端，實際上如果沒有第三個極點產生更多的相位滯后，更多的是表現為振鈴，但不管哪一種情況都是不希望出現的。

圖19 含反相輸入端電容的電路

圖20 圖19電路的頻率特性

最簡單的解決方法當然就是在保持Rf和Rg比值不變的情況減小它們的阻值，使極點落在更高的頻率處。如果不想減小阻值，也可以給反饋電阻Rf并上一個電容Cf（如圖21），引入一個零點，產生相位超前，來抵消極點的影響。Cf取多大呢？容量大了會降低閉環帶寬；容量小了相位裕度不夠。通常取Cf=(Rg/Rf)·Cn，讓產生的零點剛好與極點完全相抵消。Cf的取值是這么來的：反饋電壓是Rg和Rf對輸出的分壓，如果取Xcn/Xcf = Rg/Rf,讓Cn和Cf的分壓比和Rg、Rf一樣，則反饋系數與頻率無關，Cn的影響被抵消，此時Cf/Cn = Rg/Rf，即Cf=(Rg/Rf)·Cn。使用示波器探頭10X檔時調節探頭側面螺絲對探頭進行補償就是這個原理，通過改變電容Cf，使探頭的傳輸特性平坦。不過，有時候我們并不知道Cn具體多大，也就不知道怎么計算Cf。我們可以從一個比較小的容量開始，慢慢加大，測輸出的階躍響應，直到過沖在可接受的程度。

圖21 加反饋電容Cf補償

圖22 加Cf后的頻率特性

一個例子

這里有一個例子可以用來說明環路穩定性的問題：TL431電壓基準電路的負載電容大小和穩定性的關系。如圖23所示，從TL431數據手冊可以看到：當負載電容容量很小或很大時都不會自激，容量不大不小時則容易導致自激振蕩。比如2.5V輸出時（A曲線），容量小于6nF或者大于3uF都是穩定的，在這之間則不穩定。同時可以看到，輸出電壓越高，則不穩定范圍越小。原因就是當負載電容容量很小時，電路內阻和負載電容產生的極點頻率比較高，沒法在環路單位增益頻率內產生足夠大的相位滯后，所以電路是穩定的。當負載電容容量很大時，電路內阻和負載電容產生的極點頻率很低，降低了環路帶寬，在第二個極點使環路相移達到180°前增益已衰減到0dB以下，所以電路同樣是穩定的。另外，輸出電壓越高，R1與R2的比值越大，反饋系數越小，環路增益越小，所以導致不穩定的容量范圍就越小。

圖23 TL431數據手冊截圖

寫在最后

總結說，當反饋環路的總相位滯后達到180°時，如果環路增益仍大于1，就會導致自激振蕩。抑制自激振蕩主要有兩個思路：可以是降低環路帶寬，使得環路總相位滯后達到180°時環路增益小于1；或者是引入相位超前補償，使得環路增益降低到1倍時相位滯后小于180°。

上面討論的自激振蕩的原因和判斷方法，以及頻率補償的思路，同樣也適用于其它形式的反饋電路，比如LDO和DCDC等。有時候，運放也可以作為大的反饋環路的一環，比如放大電流采樣電阻上的電壓，將輸出接到DCDC的電壓反饋引腳，構成恒流電路。這時候影響大環路穩定性的是運放的閉環特性，而影響小環路穩定性的是它本身的環路特性。通過改變運放閉環特性對大環路做頻率補償的同時，要注意這種改變對小環路穩定性的影響，因為某些補償方式對大環路來說是朝著穩定的方向改變而對小環路來說卻是朝著不穩定的方向。