一、引 言

隨著計算機技術的進步，時域有限差分法（FiniteDifference TimeDomain）是一種求解電磁問題的數值計算技術，由K.S.Yee于1966年提出。他的基本思想是根據時域麥克斯韋方程的場分量微分式，用差分替代微分式，進行各場分量的迭代，但是這種方法隨著頻率升高，計算網格將顯著增加，PC機的性能將很難滿足需要，而且單純依靠計算機性能的提高也是不實際的。例如，在分析波導膜片濾波器時，為正確模擬全部膜片的幾何結構，FDTD柵網的網格尺寸選得非常小，從而導致描述整個波導濾波器的網格數量非常大。由于每兩個膜片之間都是均勻波導傳輸線，使用與膜片相同的柵網顯然是不必要的。人們曾使用非均勻FDTD柵網的辦法解決這個問題，當柵網的大小相差比較大時，不但收斂性不易控制，而且仍無法確保節省計算時間。將Diakoptics思想運用于微波電路的全波分析，通過將電路分割為若干獨立的部分，根據每部分的具體結構采用不同的網格，獨立地對各個部分進行全波時域分析，由于每部分的網格是均勻的，因而容易保證算法的收斂性。

二、Diakoptics的概念

Diakoptics的概念來源于網絡理論。其定義為：將一個網絡分解為若干子網絡，對每個子網絡的沖擊響應單獨求解，最后通過一定的連接條件，由諸子網絡的沖擊響應求出網絡總的響應。連接條件按形式不同可分為串行連接及并行連接。串行連接是依照一定的順序由網絡的一端向另一端單向連接，見圖1,其優點是簡單，但最大的問題是當其中一個子網絡的沖擊響應改變時，將對其后的網絡產生影響。并行連接可克服這個缺點。并行連接可在任意兩個相鄰的子網絡間進行，且若干并行連接可同時獨立進行，并行時域Diakoptics假設子網絡為M+N端口網絡，其中M個端口和前一級子網絡相連，N個端口和后一級子網絡相連。子網絡的離散格林函數為g（i,j,n′）即j（j=1,M+N）端口t=0時刻的激勵，在i（i=1,M+N）端口t=n′時刻的沖擊響應。

研究微波電路問題時，若微波電路可以被等效為一個線性網絡的話，則可以設想描述微波電路特性的格林函數可對應于電路理論中的沖擊響應函數。從電磁場理論角度看，時域格林函數g（r,t;r0,t0）為位于r0點的點源t0時刻施加的單位沖擊信號在觀察點r及t時刻的場，且滿足方程

兩個微波子電路連接時，其連接參考面上存在著復雜的耦合關系，這種耦合關系可以用電磁波在存在兩個不連續界面的媒質中反射和透射現象來形象描述，如圖1所示。那么如何將Diakoptics算法應用于微波電路特性分析中呢？在介紹這一點之前，本文首先簡要介紹Diakoptics算法的數學描述。

圖1　媒質中反射和透射現象可以用來形象描述兩個微波子電路間的耦合關系

三、Diakoptics算法的數學描述

以兩個二端口網絡的串、并行連接給出Diakoptics算法的數學描述。圖2假設兩個子電路的反射及透射波的沖擊響應函數分別為：gr1（t），gr2（t），gt1（t），gt2（t）和hr1（t），hr2（t），ht1（t），ht2（t），上標"r"表示反射波，"t" 表示傳輸波，下標1表示從輸入參考面對電路作激勵，下標2表示從輸出參考面對電路作激勵。設f為兩個子電路連接后電路的沖擊響應函數。使用串行算法，從f 網絡輸入參考面看入的沖擊響應為：

fr1（t）=gr1（t）+gt2（t）*hr1（t）*gt1（t）+gt2（t）*hr1（t）

*gr2（t）*hr1（t）*gt1（t）+…+gt2（t）*（hr1（t）

*gr2（t））n*hr1（t）*gt1（t）+…； （2）

使用并行算法，從f電路的輸入端口看入的沖擊響應函數fr1（t），ft2（t）以及從f電路的輸出端口看入的沖擊響應函數fr2（t），ft1（t）分別為：

fr1（t）=gr1（t）+gt2（t）*hr1（t）*gt1（t）+gt2（t）*hr1（t）

*gr2（t）*hr1（t）*gt1（t）+…+gt2（t）*（hr1（t）

*gr2（t））n*hr1（t）*gt1（t）+…

ft2（t）=gt2（t）*hr2（t）+gt2（t）*hr1（t）*gr2（t）*ht2（t）+…

+gr2（t）*（hr1（t）*gr2（t））n*hr2（t）+… （3）

fr2（t）=hr2（t）+ht1（t）*gr2（t）*ht2（t）+ht1（t）*gr2（t）

*hr1（t）*gt2（t）*ht2（t）+…+ht1（t）*（gr2（t）

*hr1（t））n*gr2（t）*ht2（t）+…

ft1（t）=ht1（t）*gt1（t）+ht1（t）*gr2（t）*hr1（t）*gt1（t）+…

+ht1（t）*（gr2（t）*hr1（t））n*gr1（t）+…

其中，*代表時域卷積，上下標的含義不變。

?

圖2　可說明Diakoptics算法的兩個子電路連接示意圖

多端口子電路連接時，上述算法依然成立，只是式中各沖擊函數應換為相應的子矩陣。例如設g網絡為輸入端有M個、輸出端有N個端口的M+N端口網絡，h網絡為輸入端有N個、輸出端有L個端口的N+L端口網絡（g與h相鄰面的端口數目應相同），g網絡輸入參考面處的反射、傳輸子矩陣分別為：

?

和

式中下標代表參考面，i←j的意思為：i為響應所在參考面，j為激勵所在參考面；上標代表端口，m←n的意思為：n為輸入端口，m為輸出端口。同理，g網絡輸出參考面處的反射、傳輸子矩陣分別為：

和

h網絡相應子矩陣可用同樣方法求得。連接后網絡的沖擊響應函數[f]為：

[fr1（t）]=[gr1（t）]+[gt2（t）]*[hr1（t）]*[gt1（t）]+[gt2（t）]

*[hr1（t）]*[gr2（t）]*[hr1（t）]*[gt1（t）]+…

[ft2（t）]=[gt2（t）]*[ht2（t）]+[gt2（t）]*[hr1（t）]*[gr2（t）]*[ht2（t）]+…

[fr2（t）]=[hr2（t）]+[ht1（t）]*[gr2（t）]*[ht2（t）]+[ht1（t）]

*[gr2（t）]*[hr1（t）]*[gr2（t）]*[ht2（t）]+…

[ft1（t）]=[ht1（t）]*[gt1（t）]+[ht1（t）]*[gr2（t）]*[hr1（t）]*[gt1（t）]+… （4）

其中[fr1（t）]、[ft1（t）]、[fr2（t）]和[ft2（t）]分別為M×M、L×M、L×L和M×L階子矩陣。下面以[gt2（t）]*[ht2（t）]為例說明如何計算矩陣卷積，并以[gt2（t）]*[ht2（t）]的第一個元素為例，說明其物理意義：

g1←11←2*h1←11←2:h子網絡輸出參考面上第一個端口的輸入通過gh連接面第1個端口的耦合在g子網絡輸入參考面上端口1產生的輸出；g1←21←2*h2←11←2:h子網絡輸出參考面上第一個端口的輸入通過gh交界面第2個端口的耦合在g子網絡輸入參考面上端口1產生的輸出；g1←N1←2*hN←11←2:h子網絡輸出參考面上第一個端口的輸入通過gh交界面第N個端口的耦合，在g子網絡輸入參考面上端口1產生的輸出；所以[gt2（t）]*[ht2（t）]的第一個元素描述了h網絡輸出參考面上第一個端口上的輸入耦合到g網絡輸入參考面第一個端口的輸出。