布爾代數,布爾代數是什么意思

布爾代數最初是作為對邏輯思維法則的研究出現的。英國哲學家George Boole于1847年的論文“邏輯之數學分析”及“思維法則之研究”中引入了布爾代數。本世紀30年代C.E. Shannon發表了“繼電器和開關電路的符號分析”一文，為布爾代數在工藝技術中的應用開創了道路。50年代蘇聯科學家把布爾代數發展成為接點網絡實用中的通用理論，從而使布爾代數成為計算機科學中的重要基礎理論。

從邏輯上講，布爾代數是一個命題演算系統;

從抽象代數觀點講，布爾代數是一個代數系統;

從集合的觀點講，它是一個集合代數;

從工程技術的觀點講，布爾代數是電路代數，電子線路的設計離不開它;

布爾代數的基本定義和性質：

反演規則是反演律的推廣，運用它可以簡便地求出一個函數的反函數。

運用反演規則時應注意兩點：

①不能破壞原式的運算順序——先算括號里的，然后按“先與后或”的原則運算。

②不屬于單變量上的非號應保留不變.

對偶原理:

在布爾代數中，若P是某個已經得到證明的定理，將定理中的條件和結論(1) ⊕與⊙互換; (2) 0與1 互換則由此而得的新定理仍然成立.

布爾代數的原子表示:

推論 有限布爾代數的基數一定為2的冪次;

布爾表達式及其范式定理:

定義1 設< S，⊕，⊙，′，0，1>為布爾代數，則S中的元素稱為布爾常元; 取值于S中的變元稱為布爾變量(Boole Variable)。

定義2 設< S，⊕，⊙，′，0，1>為布爾代數，x1，x2，…，xn為布爾變元，則由這n個布爾變元產生的布爾表達式(Boole Expression)可遞歸定義如下:

1)S中的任何元素和變元為一個布爾表達式;

2)若F和G都是布爾式，則F′，F⊕G，F⊙G也是布爾式;

3)只有有限次使用1)或2)構造而成的符號串才是一個布爾式;

(a)為了簡便起見，規定⊕的運算優先級低于⊙

(b) 任一n元布爾式都可定義為是一個從Sn到S的一個函數;

(c)兩個布爾式相等:

布爾表達式f(x1，x2，…，xn)的值是將S中的元素作為xi（i=1，2，…，n）的值代入表達式以后計算出來的表達式的值;

若對n個布爾變元的任意指派(即給每個變元取上S中的元素)，兩個布爾表達式的值均相等，則稱這兩個布爾表達式是相等或等價的。

2) 任何兩個不同小項的布爾積(⊙)為0，任何兩個不同大項的布爾和(⊕)為1; 所有不同小項的布爾和為1;所有不同大項的布爾積為0;

3) 大項(小項)的補是一個小項(大項);

定理(范式定理)在布爾代數< S，⊕，⊙，′，0，1>中每個n元布爾表達均可表示成:

f(x1，x2，…，xn)= ⊕k (ck⊙mk) 其中k=δ1δ2…δn

f(x1，x2，…，xn)= ⊙l (dl⊕Ml) 其中l=σ1σ2…σn

其中ck= f(δ1，δ2，…，δn)，dl= f(σ1，σ2，…，σn)

定義5 在布爾代數< S，⊕，⊙，′，0，1>中，一個S上的n元函數，如果能表示成n元布爾表達式，則稱之為布爾函數。

特別地當S={0，1}時，即二值布爾代數S上的n元布爾式均是布爾函數。其中二值布爾式的主析(合)取范式就是小(大)項的布爾和(積)。

如何求一個二值布爾式的主析取范式和主合取范式:

1)列表法

注：同一布爾式的主合取范式中大項的項數和主析取范式中小項的項數之和等于2n。

2) 布爾代數性質法

注:若f的主析取范式為g，則f′的主析取范式就是2n個小項中不在g中出現的小項的布爾和h，且h′就是f的主合取范式;反之，若f的主合取范式為g，則f′的主合取范式就是2n個大項中不在g中出現的大項的布爾積h，且h′就是f的主析取范式;

布爾式的范式定理與布爾式的簡化在電子線路中的應用:

二值布爾代數可用于邏輯電路的設計。具有若干輸入和某種邏輯功能的組合線路可以用一個定義在電路代數上的電路函數表示，而一個電路函數則可以用二值布爾式來表示。但是，表示同一種邏輯功能的電路函數可以有許多種，那么用其中最簡單的電路函數來設計組合線路，是一個經濟、可靠、簡便的方法。

另外，布爾代數的應用極為廣泛，其中最明顯的是在計算機技術中分析、綜合、設計邏輯電路中的應用。

我們將若干個開關的串聯與并聯構成的電路稱為開關電路。整個開關電路從功能上可看作是一個開關，把電路接通記為1，把電路斷開記為0。

一個具有n個獨立開關組成的開關電路稱為n元開關電路，可以寫成一個二值n元布爾式。開關是一種具有一個輸入和一個輸出的器件。對于多輸入單輸出的情形則可以用邏輯門電路來實現。邏輯門電路可以用來作與、或、非等邏輯運算，一個邏輯門的輸出可以用為另一個邏輯門的輸入。這樣得到的邏輯電路可以用一個布爾式表示。通過對邏輯電路所對應的布爾式進行化簡，我們就能分析電路有功能，并簡化電路，既降低成本又提高可靠性。