1、貝葉斯方法

長久以來，人們對(duì)一件事情發(fā)生或不發(fā)生的概率，只有固定的0和1，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，從來不會(huì)去考慮某件事情發(fā)生的概率有多大，不發(fā)生的概率又是多大。而且概率雖然未知，但最起碼是一個(gè)確定的值。比如如果問那時(shí)的人們一個(gè)問題：“有一個(gè)袋子，里面裝著若干個(gè)白球和黑球，請(qǐng)問從袋子中取得白球的概率是多少？”他們會(huì)想都不用想，會(huì)立馬告訴你，取出白球的概率就是1/2，要么取到白球，要么取不到白球，即θ只能有一個(gè)值，而且不論你取了多少次，取得白球的概率θ始終都是1/2，即不隨觀察結(jié)果X 的變化而變化。

這種頻率派的觀點(diǎn)長期統(tǒng)治著人們的觀念，直到后來一個(gè)名叫Thomas Bayes的人物出現(xiàn)。

1.1、貝葉斯方法的提出

托馬斯·貝葉斯Thomas Bayes（1702-1763）在世時(shí)，并不為當(dāng)時(shí)的人們所熟知，很少發(fā)表論文或出版著作，與當(dāng)時(shí)學(xué)術(shù)界的人溝通交流也很少，用現(xiàn)在的話來說，貝葉斯就是活生生一民間學(xué)術(shù)“屌絲”，可這個(gè)“屌絲”最終發(fā)表了一篇名為“An essay towards solving a problem in the doctrine of chances”，翻譯過來則是：機(jī)遇理論中一個(gè)問題的解。你可能覺得我要說：這篇論文的發(fā)表隨機(jī)產(chǎn)生轟動(dòng)效應(yīng)，從而奠定貝葉斯在學(xué)術(shù)史上的地位。

事實(shí)上，上篇論文發(fā)表后，在當(dāng)時(shí)并未產(chǎn)生多少影響，在20世紀(jì)后，這篇論文才逐漸被人們所重視。對(duì)此，與梵高何其類似，畫的畫生前一文不值，死后價(jià)值連城。

回到上面的例子：“有一個(gè)袋子，里面裝著若干個(gè)白球和黑球，請(qǐng)問從袋子中取得白球的概率θ是多少？”貝葉斯認(rèn)為取得白球的概率是個(gè)不確定的值，因?yàn)槠渲泻袡C(jī)遇的成分。比如，一個(gè)朋友創(chuàng)業(yè)，你明明知道創(chuàng)業(yè)的結(jié)果就兩種，即要么成功要么失敗，但你依然會(huì)忍不住去估計(jì)他創(chuàng)業(yè)成功的幾率有多大？你如果對(duì)他為人比較了解，而且有方法、思路清晰、有毅力、且能團(tuán)結(jié)周圍的人，你會(huì)不由自主的估計(jì)他創(chuàng)業(yè)成功的幾率可能在80%以上。這種不同于最開始的“非黑即白、非0即1”的思考方式，便是貝葉斯式的思考方式。

繼續(xù)深入講解貝葉斯方法之前，先簡單總結(jié)下頻率派與貝葉斯派各自不同的思考方式：

頻率派把需要推斷的參數(shù)θ看做是固定的未知常數(shù)，即概率雖然是未知的，但最起碼是確定的一個(gè)值，同時(shí)，樣本X 是隨機(jī)的，所以頻率派重點(diǎn)研究樣本空間，大部分的概率計(jì)算都是針對(duì)樣本X 的分布；

而貝葉斯派的觀點(diǎn)則截然相反，他們認(rèn)為參數(shù)是隨機(jī)變量，而樣本X 是固定的，由于樣本是固定的，所以他們重點(diǎn)研究的是參數(shù)的分布。

相對(duì)來說，頻率派的觀點(diǎn)容易理解，所以下文重點(diǎn)闡述貝葉斯派的觀點(diǎn)。

貝葉斯派既然把看做是一個(gè)隨機(jī)變量，所以要計(jì)算的分布，便得事先知道的無條件分布，即在有樣本之前（或觀察到X之前），有著怎樣的分布呢？

比如往臺(tái)球桌上扔一個(gè)球，這個(gè)球落會(huì)落在何處呢？如果是不偏不倚的把球拋出去，那么此球落在臺(tái)球桌上的任一位置都有著相同的機(jī)會(huì)，即球落在臺(tái)球桌上某一位置的概率服從均勻分布。這種在實(shí)驗(yàn)之前定下的屬于基本前提性質(zhì)的分布稱為先驗(yàn)分布，或的無條件分布。

至此，貝葉斯及貝葉斯派提出了一個(gè)思考問題的固定模式：

先驗(yàn)分布?+ 樣本信息?后驗(yàn)分布

上述思考模式意味著，新觀察到的樣本信息將修正人們以前對(duì)事物的認(rèn)知。換言之，在得到新的樣本信息之前，人們對(duì)的認(rèn)知是先驗(yàn)分布，在得到新的樣本信息后，人們對(duì)的認(rèn)知為。

其中，先驗(yàn)信息一般來源于經(jīng)驗(yàn)跟歷史資料。比如林丹跟某選手對(duì)決，解說一般會(huì)根據(jù)林丹歷次比賽的成績對(duì)此次比賽的勝負(fù)做個(gè)大致的判斷。再比如，某工廠每天都要對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)檢，以評(píng)估產(chǎn)品的不合格率θ，經(jīng)過一段時(shí)間后便會(huì)積累大量的歷史資料，這些歷史資料便是先驗(yàn)知識(shí)，有了這些先驗(yàn)知識(shí)，便在決定對(duì)一個(gè)產(chǎn)品是否需要每天質(zhì)檢時(shí)便有了依據(jù)，如果以往的歷史資料顯示，某產(chǎn)品的不合格率只有0.01%，便可視為信得過產(chǎn)品或免檢產(chǎn)品，只每月抽檢一兩次，從而省去大量的人力物力。

而后驗(yàn)分布一般也認(rèn)為是在給定樣本的情況下的條件分布，而使達(dá)到最大的值稱為最大后驗(yàn)估計(jì)，類似于經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)中的極大似然估計(jì)。

綜合起來看，則好比是人類剛開始時(shí)對(duì)大自然只有少得可憐的先驗(yàn)知識(shí)，但隨著不斷是觀察、實(shí)驗(yàn)獲得更多的樣本、結(jié)果，使得人們對(duì)自然界的規(guī)律摸得越來越透徹。所以，貝葉斯方法既符合人們?nèi)粘Ｉ畹乃伎挤绞剑卜先藗冋J(rèn)識(shí)自然的規(guī)律，經(jīng)過不斷的發(fā)展，最終占據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)領(lǐng)域的半壁江山，與經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)分庭抗禮。

此外，貝葉斯除了提出上述思考模式之外，還特別提出了舉世聞名的貝葉斯定理。

1.2 、貝葉斯定理

在引出貝葉斯定理之前，先學(xué)習(xí)幾個(gè)定義：

條件概率（又稱后驗(yàn)概率）就是事件A在另外一個(gè)事件B已經(jīng)發(fā)生條件下的發(fā)生概率。條件概率表示為P(A|B)，讀作“在B條件下A的概率”。

比如，在同一個(gè)樣本空間Ω中的事件或者子集A與B，如果隨機(jī)從Ω中選出的一個(gè)元素屬于B，那么這個(gè)隨機(jī)選擇的元素還屬于A的概率就定義為在B的前提下A的條件概率，所以：P(A|B)=|A∩B|/|B|，接著分子、分母都除以|Ω|得到

聯(lián)合概率表示兩個(gè)事件共同發(fā)生的概率。A與B的聯(lián)合概率表示為或者。

邊緣概率（又稱先驗(yàn)概率）是某個(gè)事件發(fā)生的概率。邊緣概率是這樣得到的：在聯(lián)合概率中，把最終結(jié)果中那些不需要的事件通過合并成它們的全概率，而消去它們（對(duì)離散隨機(jī)變量用求和得全概率，對(duì)連續(xù)隨機(jī)變量用積分得全概率），這稱為邊緣化（marginalization），比如A的邊緣概率表示為P(A)，B的邊緣概率表示為P(B)。

接著，考慮一個(gè)問題：P(A|B)是在B發(fā)生的情況下A發(fā)生的可能性。

1.首先，事件B發(fā)生之前，我們對(duì)事件A的發(fā)生有一個(gè)基本的概率判斷，稱為A的先驗(yàn)概率，用P(A)表示；

2.其次，事件B發(fā)生之后，我們對(duì)事件A的發(fā)生概率重新評(píng)估，稱為A的后驗(yàn)概率，用P(A|B)表示；

3.類似的，事件A發(fā)生之前，我們對(duì)事件B的發(fā)生有一個(gè)基本的概率判斷，稱為B的先驗(yàn)概率，用P(B)表示；

4.同樣，事件A發(fā)生之后，我們對(duì)事件B的發(fā)生概率重新評(píng)估，稱為B的后驗(yàn)概率，用P(B|A)表示。

貝葉斯定理便是基于下述貝葉斯公式：

上述公式的推導(dǎo)其實(shí)非常簡單，就是從條件概率推出。

根據(jù)條件概率的定義，在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率是

同樣地，在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率

整理與合并上述兩個(gè)方程式，便可以得到：

接著，上式兩邊同除以P(B)，若P(B)是非零的，我們便可以得到貝葉斯定理的公式表達(dá)式：

所以，貝葉斯公式可以直接根據(jù)條件概率的定義直接推出。即因?yàn)镻(A,B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)，所以P(A|B) = P(A)P(B|A) / P(B)。

1.3 、應(yīng)用：拼寫檢查

經(jīng)常在網(wǎng)上搜索東西的朋友知道，當(dāng)你不小心輸入一個(gè)不存在的單詞時(shí)，搜索引擎會(huì)提示你是不是要輸入某一個(gè)正確的單詞，比如當(dāng)你在Google中輸入“Julw”時(shí)，系統(tǒng)會(huì)猜測(cè)你的意圖：是不是要搜索“July”，如下圖所示：

這叫做拼寫檢查。根據(jù)谷歌一員工寫的文章顯示，Google的拼寫檢查基于貝葉斯方法。下面我們就來看看，怎么利用貝葉斯方法，實(shí)現(xiàn)"拼寫檢查"的功能。

用戶輸入一個(gè)單詞時(shí)，可能拼寫正確，也可能拼寫錯(cuò)誤。如果把拼寫正確的情況記做c（代表correct），拼寫錯(cuò)誤的情況記做w（代表wrong），那么"拼寫檢查"要做的事情就是：在發(fā)生w的情況下，試圖推斷出c。換言之：已知w，然后在若干個(gè)備選方案中，找出可能性最大的那個(gè)c，也就是求的最大值。? ? 而根據(jù)貝葉斯定理，有：

由于對(duì)于所有備選的c來說，對(duì)應(yīng)的都是同一個(gè)w，所以它們的P(w)是相同的，因此我們只要最大化

即可。其中：

P(c)表示某個(gè)正確的詞的出現(xiàn)"概率"，它可以用"頻率"代替。如果我們有一個(gè)足夠大的文本庫，那么這個(gè)文本庫中每個(gè)單詞的出現(xiàn)頻率，就相當(dāng)于它的發(fā)生概率。某個(gè)詞的出現(xiàn)頻率越高，P(c)就越大。比如在你輸入一個(gè)錯(cuò)誤的詞“Julw”時(shí)，系統(tǒng)更傾向于去猜測(cè)你可能想輸入的詞是“July”，而不是“Jult”，因?yàn)椤癑uly”更常見。

P(w|c)表示在試圖拼寫c的情況下，出現(xiàn)拼寫錯(cuò)誤w的概率。為了簡化問題，假定兩個(gè)單詞在字形上越接近，就有越可能拼錯(cuò)，P(w|c)就越大。舉例來說，相差一個(gè)字母的拼法，就比相差兩個(gè)字母的拼法，發(fā)生概率更高。你想拼寫單詞July，那么錯(cuò)誤拼成Julw（相差一個(gè)字母）的可能性，就比拼成Jullw高（相差兩個(gè)字母）。值得一提的是，一般把這種問題稱為“編輯距離”，參見博客中的這篇文章。

所以，我們比較所有拼寫相近的詞在文本庫中的出現(xiàn)頻率，再從中挑出出現(xiàn)頻率最高的一個(gè)，即是用戶最想輸入的那個(gè)詞。具體的計(jì)算過程及此方法的缺陷請(qǐng)參見這里。

2、 貝葉斯網(wǎng)絡(luò)

2.1、 貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的定義

貝葉斯網(wǎng)絡(luò)(Bayesian network)，又稱信念網(wǎng)絡(luò)(Belief Network)，或有向無環(huán)圖模型(directed acyclic graphical model)，是一種概率圖模型，于1985年由Judea Pearl首先提出。它是一種模擬人類推理過程中因果關(guān)系的不確定性處理模型，其網(wǎng)絡(luò)拓樸結(jié)構(gòu)是一個(gè)有向無環(huán)圖(DAG)。

貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的有向無環(huán)圖中的節(jié)點(diǎn)表示隨機(jī)變量，它們可以是可觀察到的變量，或隱變量、未知參數(shù)等。認(rèn)為有因果關(guān)系（或非條件獨(dú)立）的變量或命題則用箭頭來連接。若兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間以一個(gè)單箭頭連接在一起，表示其中一個(gè)節(jié)點(diǎn)是“因(parents)”，另一個(gè)是“果(children)”，兩節(jié)點(diǎn)就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)條件概率值。

總而言之，連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的箭頭代表此兩個(gè)隨機(jī)變量是具有因果關(guān)系，或非條件獨(dú)立。

例如，假設(shè)節(jié)點(diǎn)E直接影響到節(jié)點(diǎn)H，即E→H，則用從E指向H的箭頭建立結(jié)點(diǎn)E到結(jié)點(diǎn)H的有向弧(E,H)，權(quán)值(即連接強(qiáng)度)用條件概率P(H|E)來表示，如下圖所示：

簡言之，把某個(gè)研究系統(tǒng)中涉及的隨機(jī)變量，根據(jù)是否條件獨(dú)立繪制在一個(gè)有向圖中，就形成了貝葉斯網(wǎng)絡(luò)。其主要用來描述隨機(jī)變量之間的條件依賴，用圈表示隨機(jī)變量(random variables)，用箭頭表示條件依賴(conditional dependencies)。

令G = (I,E)表示一個(gè)有向無環(huán)圖(DAG)，其中I代表圖形中所有的節(jié)點(diǎn)的集合，而E代表有向連接線段的集合，且令X = (Xi)i ∈ I為其有向無環(huán)圖中的某一節(jié)點(diǎn)i所代表的隨機(jī)變量，若節(jié)點(diǎn)X的聯(lián)合概率可以表示成：

則稱X為相對(duì)于一有向無環(huán)圖G的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)，其中，表示節(jié)點(diǎn)i之“因”，或稱pa(i)是i的parents（父母）。

此外，對(duì)于任意的隨機(jī)變量，其聯(lián)合概率可由各自的局部條件概率分布相乘而得出：

如下圖所示，便是一個(gè)簡單的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)：

因?yàn)閍導(dǎo)致b，a和b導(dǎo)致c，所以有

2.2、 貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的3種結(jié)構(gòu)形式

給定如下圖所示的一個(gè)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)：

從圖上可以比較直觀的看出：

1. x1,x2,…x7的聯(lián)合分布為

2. x1和x2獨(dú)立（對(duì)應(yīng)head-to-head）；

3. x6和x7在x4給定的條件下獨(dú)立（對(duì)應(yīng)tail-to-tail）。

根據(jù)上圖，第1點(diǎn)可能很容易理解，但第2、3點(diǎn)中所述的條件獨(dú)立是啥意思呢？其實(shí)第2、3點(diǎn)是貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中3種結(jié)構(gòu)形式中的其中二種。為了說清楚這個(gè)問題，需要引入D-Separation（D-分離）這個(gè)概念。

D-Separation是一種用來判斷變量是否條件獨(dú)立的圖形化方法。換言之，對(duì)于一個(gè)DAG(有向無環(huán)圖)E，D-Separation方法可以快速的判斷出兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間是否是條件獨(dú)立的。

2.2.1 形式1：head-to-head

貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的第一種結(jié)構(gòu)形式如下圖所示：

所以有：P(a,b,c) = P(a)*P(b)*P(c|a,b)成立，化簡后可得：

即在c未知的條件下，a、b被阻斷(blocked)，是獨(dú)立的，稱之為head-to-head條件獨(dú)立，對(duì)應(yīng)本節(jié)中最開始那張圖中的“x1、x2獨(dú)立”。

2.2.2 形式2：tail-to-tail

貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的第二種結(jié)構(gòu)形式如下圖所示

考慮c未知，跟c已知這兩種情況：

1.在c未知的時(shí)候，有：P(a,b,c)=P(c)*P(a|c)*P(b|c)，此時(shí)，沒法得出P(a,b) = P(a)P(b)，即c未知時(shí)，a、b不獨(dú)立。

2.在c已知的時(shí)候，有：P(a,b|c)=P(a,b,c)/P(c)，然后將P(a,b,c)=P(c)*P(a|c)*P(b|c)帶入式子中，得到：P(a,b|c)=P(a,b,c)/P(c) = P(c)*P(a|c)*P(b|c) / P(c) = P(a|c)*P(b|c)，即c已知時(shí)，a、b獨(dú)立。

所以，在c給定的條件下，a，b被阻斷(blocked)，是獨(dú)立的，稱之為tail-to-tail條件獨(dú)立，對(duì)應(yīng)本節(jié)中最開始那張圖中的“x6和x7在x4給定的條件下獨(dú)立”。

2.2.3 形式3：head-to-tail

貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的第三種結(jié)構(gòu)形式如下圖所示：

還是分c未知跟c已知這兩種情況：

1.c未知時(shí)，有：P(a,b,c)=P(a)*P(c|a)*P(b|c)，但無法推出P(a,b) = P(a)P(b)，即c未知時(shí)，a、b不獨(dú)立。

2.c已知時(shí)，有：P(a,b|c)=P(a,b,c)/P(c)，且根據(jù)P(a,c) = P(a)*P(c|a) = P(c)*P(a|c)，可化簡得到：

所以，在c給定的條件下，a，b被阻斷(blocked)，是獨(dú)立的，稱之為head-to-tail條件獨(dú)立。

插一句：這個(gè)head-to-tail其實(shí)就是一個(gè)鏈?zhǔn)骄W(wǎng)絡(luò)，如下圖所示：

根據(jù)之前對(duì)head-to-tail的講解，我們已經(jīng)知道，在xi給定的條件下，xi+1的分布和x1,x2…xi-1條件獨(dú)立。意味著啥呢？意味著：xi+1的分布狀態(tài)只和xi有關(guān)，和其他變量條件獨(dú)立。通俗點(diǎn)說，當(dāng)前狀態(tài)只跟上一狀態(tài)有關(guān)，跟上上或上上之前的狀態(tài)無關(guān)。這種順次演變的隨機(jī)過程，就叫做馬爾科夫鏈（Markov chain）。且有：

接著，將上述結(jié)點(diǎn)推廣到結(jié)點(diǎn)集，則是：對(duì)于任意的結(jié)點(diǎn)集A，B，C，考察所有通過A中任意結(jié)點(diǎn)到B中任意結(jié)點(diǎn)的路徑，若要求A，B條件獨(dú)立，則需要所有的路徑都被阻斷(blocked)，即滿足下列兩個(gè)前提之一：

1.A和B的“head-to-tail型”和“tail-to-tail型”路徑都通過C；

2.A和B的“head-to-head型”路徑不通過C以及C的子孫；

最后，舉例說明上述D-Separation的3種情況（即貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的3種結(jié)構(gòu)形式），則是如下圖所示：

上圖中左邊部分是head-to-tail，給定 T 時(shí)，A 和 X 獨(dú)立；右邊部分的右上角是tail-to-tail，給定S時(shí)，L和B獨(dú)立；右邊部分的右下角是head-to-head，未給定D時(shí)，L和B獨(dú)立。

2.3 貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的實(shí)例

給定如下圖所示的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)：

其中，各個(gè)單詞、表達(dá)式表示的含義如下：

smoking表示吸煙，其概率用P(S)表示，lung Cancer表示的肺癌，一個(gè)人在吸煙的情況下得肺癌的概率用P(C|S)表示，X-ray表示需要照醫(yī)學(xué)上的X光，肺癌可能會(huì)導(dǎo)致需要照X光，吸煙也有可能會(huì)導(dǎo)致需要照X光（所以smoking也是X-ray的一個(gè)因），所以，因吸煙且得肺癌而需要照X光的概率用P(X|C,S)表示。

Bronchitis表示支氣管炎，一個(gè)人在吸煙的情況下得支氣管炎的概率用P(B|S)，dyspnoea表示呼吸困難，支氣管炎可能會(huì)導(dǎo)致呼吸困難，肺癌也有可能會(huì)導(dǎo)致呼吸困難（所以lung Cancer也是dyspnoea的一個(gè)因），因吸煙且得了支氣管炎導(dǎo)致呼吸困難的概率用P(D|C,B)表示。

lung Cancer簡記為C，Bronchitis簡記為B，dyspnoea簡記為D，且C = 0表示lung Cancer不發(fā)生的概率，C = 1表示lung Cancer發(fā)生的概率，B等于0（B不發(fā)生）或1（B發(fā)生）也類似于C，同樣的，D=1表示D發(fā)生的概率，D=0表示D不發(fā)生的概率，便可得到dyspnoea的一張概率表，如上圖的最右下角所示。

2.4、 因子圖

回到2.3節(jié)中那個(gè)實(shí)例上，如下圖所示：

對(duì)于上圖，在一個(gè)人已經(jīng)呼吸困難（dyspnoea）的情況下，其抽煙（smoking）的概率是多少呢？即：

咱們來一步步計(jì)算推導(dǎo)下：

解釋下上述式子推導(dǎo)過程：

1.第二行：對(duì)聯(lián)合概率關(guān)于b,x,c求和（在d=1的條件下），從而消去b,x,c，得到s和d=1的聯(lián)合概率。

2.第三行：最開始，所有變量都在sigma(d=1,b,x,c)的后面（sigma表示對(duì)“求和”的稱謂），但由于P(s)和“d=1,b,x,c”都沒關(guān)系，所以，可以提到式子的最前面。而且P(b|s)和x、c沒關(guān)系，所以，也可以把它提出來，放到sigma(b)的后面，從而式子的右邊剩下sigma(x)和sigma(c)。

此外，圖中Variable elimination表示的是變量消除的意思。為了更好的解決此類問題，咱們得引入因子圖的概念。

2.4.1 因子圖的定義

wikipedia上是這樣定義因子圖的：將一個(gè)具有多變量的全局函數(shù)因子分解，得到幾個(gè)局部函數(shù)的乘積，以此為基礎(chǔ)得到的一個(gè)雙向圖叫做因子圖（Factor Graph）。

比如，假定對(duì)于函數(shù)，有下述式子成立：

其中，其對(duì)應(yīng)的因子圖包括：

1.變量節(jié)點(diǎn)

2. 因子（函數(shù)）節(jié)點(diǎn)

3.邊，邊通過下列因式分解結(jié)果得到：在因子（函數(shù)）節(jié)點(diǎn)和變量節(jié)點(diǎn)之間存在邊的充要條件是存在。

正式的定義果然晦澀！我相信你沒看懂。通俗來講，所謂因子圖就是對(duì)函數(shù)進(jìn)行因子分解得到的一種概率圖。一般內(nèi)含兩種節(jié)點(diǎn)：變量節(jié)點(diǎn)和函數(shù)節(jié)點(diǎn)。我們知道，一個(gè)全局函數(shù)通過因式分解能夠分解為多個(gè)局部函數(shù)的乘積，這些局部函數(shù)和對(duì)應(yīng)的變量關(guān)系就體現(xiàn)在因子圖上。

舉個(gè)例子，現(xiàn)在有一個(gè)全局函數(shù)，其因式分解方程為：

其中fA,fB,fC,fD,fE為各函數(shù)，表示變量之間的關(guān)系，可以是條件概率也可以是其他關(guān)系（如馬爾可夫隨機(jī)場(chǎng)Markov Random Fields中的勢(shì)函數(shù)）。

為了方便表示，可以寫成：

其對(duì)應(yīng)的因子圖為：

且上述因子圖等價(jià)于：

所以，在因子圖中，所有的頂點(diǎn)不是變量節(jié)點(diǎn)就是函數(shù)節(jié)點(diǎn)，邊線表示它們之間的函數(shù)關(guān)系。

但搞了半天，雖然知道了什么是因子圖，但因子圖到底是干嘛的呢？為何要引入因子圖，其用途和意義何在？事實(shí)上，因子圖跟貝葉斯網(wǎng)絡(luò)和馬爾科夫隨機(jī)場(chǎng)（Markov Random Fields）一樣，也是概率圖的一種。

既然提到了馬爾科夫隨機(jī)場(chǎng)，那順便說下有向圖、無向圖，以及條件隨機(jī)場(chǎng)等相關(guān)概念。

我們已經(jīng)知道，有向圖模型，又稱作貝葉斯網(wǎng)絡(luò)（Directed Graphical Models, DGM, Bayesian Network）。

但在有些情況下，強(qiáng)制對(duì)某些結(jié)點(diǎn)之間的邊增加方向是不合適的。使用沒有方向的無向邊，形成了無向圖模型（Undirected Graphical Model,UGM）, 又被稱為馬爾科夫隨機(jī)場(chǎng)或者馬爾科夫網(wǎng)絡(luò)（Markov Random Field, MRF or Markov network）。

設(shè)X=(X1,X2…Xn)和Y=(Y1,Y2…Ym)都是聯(lián)合隨機(jī)變量，若隨機(jī)變量Y構(gòu)成一個(gè)無向圖 G=(V,E)表示的馬爾科夫隨機(jī)場(chǎng)（MRF），則條件概率分布P(Y|X)稱為條件隨機(jī)場(chǎng)（Conditional Random Field, 簡稱CRF，后續(xù)新的博客中可能會(huì)闡述CRF）。如下圖所示，便是一個(gè)線性鏈條件隨機(jī)場(chǎng)的無向圖模型：

回到本文的主旨上來。在概率圖中，求某個(gè)變量的邊緣分布是常見的問題。這問題有很多求解方法，其中之一就是把貝葉斯網(wǎng)絡(luò)或馬爾科夫隨機(jī)場(chǎng)轉(zhuǎn)換成因子圖，然后用sum-product算法求解。換言之，基于因子圖可以用sum-product 算法高效的求各個(gè)變量的邊緣分布。

先通過一些例子分別說明如何把貝葉斯網(wǎng)絡(luò)（和馬爾科夫隨機(jī)場(chǎng)），以及把馬爾科夫鏈、隱馬爾科夫模型轉(zhuǎn)換成因子圖后的情形，然后在2.4.2節(jié)，咱們?cè)賮砜慈绾卫靡蜃訄D的sum-product算法求邊緣概率分布。

給定下圖所示的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)或馬爾科夫隨機(jī)場(chǎng)：

根據(jù)各個(gè)變量對(duì)應(yīng)的關(guān)系，可得：

其對(duì)應(yīng)的因子圖為（以下兩種因子圖的表示方式皆可）：

由上述例子總結(jié)出由貝葉斯網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造因子圖的方法：

貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)因子對(duì)應(yīng)因子圖中的一個(gè)結(jié)點(diǎn)

貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中的每一個(gè)變量在因子圖上對(duì)應(yīng)邊或者半邊

結(jié)點(diǎn)g和邊x相連當(dāng)且僅當(dāng)變量x出現(xiàn)在因子g中。

再比如，對(duì)于下圖所示的由馬爾科夫鏈轉(zhuǎn)換而成的因子圖：

有：

而對(duì)于如下圖所示的由隱馬爾科夫模型轉(zhuǎn)換而成的因子圖：

有：

2.4.2 Sum-product算法

我們已經(jīng)知道，對(duì)于下圖所示的因子圖：

有：

下面，咱們來考慮一個(gè)問題：即如何由聯(lián)合概率分布求邊緣概率分布。

首先回顧下聯(lián)合概率和邊緣概率的定義，如下：

聯(lián)合概率表示兩個(gè)事件共同發(fā)生的概率。A與B的聯(lián)合概率表示為或者。

邊緣概率（又稱先驗(yàn)概率）是某個(gè)事件發(fā)生的概率。邊緣概率是這樣得到的：在聯(lián)合概率中，把最終結(jié)果中不需要的那些事件合并成其事件的全概率而消失（對(duì)離散隨機(jī)變量用求和得全概率，對(duì)連續(xù)隨機(jī)變量用積分得全概率）。這稱為邊緣化（marginalization）。A的邊緣概率表示為P(A)，B的邊緣概率表示為P(B)。

事實(shí)上，某個(gè)隨機(jī)變量fk的邊緣概率可由x1,x2,x3, ..., xn的聯(lián)合概率求到，具體公式為：

啊哈，啥原理呢？原理很簡單，還是它：對(duì)x3外的其它變量的概率求和，最終剩下x3的概率！

此外，換言之，如果有

那么

上述式子如何進(jìn)一步化簡計(jì)算呢？考慮到我們小學(xué)所學(xué)到的乘法分配率，可知a*b + a*c = a*(b + c)，前者2次乘法1次加法，后者1次乘法，1次加法。我們這里的計(jì)算是否能借鑒到分配率呢？別急，且聽下文慢慢道來。

假定現(xiàn)在我們需要計(jì)算計(jì)算如下式子的結(jié)果：

同時(shí)，f 能被分解如下：

借鑒分配率，我們可以提取公因子：

因?yàn)樽兞康倪吘壐怕实扔谒信c他相連的函數(shù)傳遞過來的消息的積，所以計(jì)算得到：

仔細(xì)觀察上述計(jì)算過程，可以發(fā)現(xiàn)，其中用到了類似“消息傳遞”的觀點(diǎn)，且總共兩個(gè)步驟。

第一步、對(duì)于f 的分解圖，根據(jù)藍(lán)色虛線框、紅色虛線框圍住的兩個(gè)box外面的消息傳遞：

計(jì)算可得：

第二步、根據(jù)藍(lán)色虛線框、紅色虛線框圍住的兩個(gè)box內(nèi)部的消息傳遞：

根據(jù)，我們有：

就這樣，上述計(jì)算過程將一個(gè)概率分布寫成兩個(gè)因子的乘積，而這兩個(gè)因子可以繼續(xù)分解或者通過已知得到。這種利用消息傳遞的觀念計(jì)算概率的方法便是sum-product算法。前面說過，基于因子圖可以用sum-product算法可以高效的求各個(gè)變量的邊緣分布。

到底什么是sum-product算法呢？sum-product算法，也叫belief propagation，有兩種消息：

一種是變量(Variable)到函數(shù)(Function)的消息：，如下圖所示

此時(shí)，變量到函數(shù)的消息為。

另外一種是函數(shù)(Function)到變量(Variable)的消息：。如下圖所示：

此時(shí)，函數(shù)到變量的消息為：。

以下是sum-product算法的總體框架：

1、給定如下圖所示的因子圖：

2、sum-product 算法的消息計(jì)算規(guī)則為：

3、根據(jù)sum-product定理，如果因子圖中的函數(shù)f 沒有周期，則有：

值得一提的是：如果因子圖是無環(huán)的，則一定可以準(zhǔn)確的求出任意一個(gè)變量的邊緣分布，如果是有環(huán)的，則無法用sum-product算法準(zhǔn)確求出來邊緣分布。

比如，下圖所示的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)：

其轉(zhuǎn)換成因子圖后，為：

可以發(fā)現(xiàn)，若貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中存在“環(huán)”（無向），則因此構(gòu)造的因子圖會(huì)得到環(huán)。而使用消息傳遞的思想，這個(gè)消息將無限傳輸下去，不利于概率計(jì)算。 解決方法有3個(gè)：

1、刪除貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中的若干條邊，使得它不含有無向環(huán)

比如給定下圖中左邊部分所示的原貝葉斯網(wǎng)絡(luò)，可以通過去掉C和E之間的邊，使得它重新變成有向無環(huán)圖，從而成為圖中右邊部分的近似樹結(jié)構(gòu)：

具體變換的過程為最大權(quán)生成樹算法MSWT（詳細(xì)建立過程請(qǐng)參閱此PPT 第60頁），通過此算法，這課樹的近似聯(lián)合概率P'(x)和原貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的聯(lián)合概率P(x)的相對(duì)熵（如果忘了什么叫相對(duì)熵，請(qǐng)參閱：最大熵模型中的數(shù)學(xué)推導(dǎo)）最小。

2、重新構(gòu)造沒有環(huán)的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)

3、選擇loopy belief propagation算法（你可以簡單理解為sum-product 算法的遞歸版本），此算法一般選擇環(huán)中的某個(gè)消息，隨機(jī)賦個(gè)初值，然后用sum-product算法，迭代下去，因?yàn)橛协h(huán)，一定會(huì)到達(dá)剛才賦初值的那個(gè)消息，然后更新那個(gè)消息，繼續(xù)迭代，直到?jīng)]有消息再改變?yōu)橹埂Ｎㄒ坏娜秉c(diǎn)是不確保收斂，當(dāng)然，此算法在絕大多數(shù)情況下是收斂的。

此外，除了這個(gè)sum-product算法，還有一個(gè)max-product 算法。但只要弄懂了sum-product，也就弄懂了max-product 算法。因?yàn)閙ax-product 算法就在上面sum-product 算法的基礎(chǔ)上把求和符號(hào)換成求最大值max的符號(hào)即可！