量子電路的兩點特殊

Axiom 1： Superposition principle

量子態是可以疊加的。

而疊加態的性質賦予了量子指數增長的可能。

一個量子比特就是二維Hilbert空間中的向量，兩個量子比特就是四維Hilbert空間的中向量，三個就是八維， nn 個量子比特就是 2n2n 維Hilbert空間中的向量。

另外，需要注意的一點是，即使我只是在一個量子比特上操作，變化的也是整個系統。

Axiom 2： Unitary Evolution

量子電路和經典另一個重要的不同就是量子電路是可逆的。

經典電路沒有可逆的要求，比如OR門，如果輸出是１，你知道輸入是什么嗎？（1，1）、（1，0）、（0，1）都有可能，因為信息丟失了，四種輸入的可能，輸出卻只有兩種，信息丟失了。

而量子的操作變換則必須是酉變換，即，可逆，我可以根據我輸出的信息反推我的輸入。

量子可逆電路

經典可逆電路其實是比較容易的。

NOT門，他自己就是可逆的，取反再取反就是本身。

AND門，C-SWAP門其實就可以代替AND門

將z固定為0，則c只有在x和y都為1的時候為1，其余時候為0，滿足AND門的要求。同時因為有a和b的存在，可以輕易的推導出x，y。

如果將希望能夠從輸出推導出輸入，那么顯然，會有junk bit（垃圾比特）的存在，即除了我們想要目標以外的結果，不是我們想要的目的，但是是我們推導輸入不可或缺的存在，對于C-SWAP門來說，就是a，b。

junk bit對于經典比特來說，就是多出來的比特而已，但是對于量子比特來說，卻是需要被remove的東西。如果不處理，會影響后續的計算。所以說，設計量子電路，第一個問題其實不是量子電路能夠比經典電路加速多少倍，而是量子電路是否可以做到經典電路做到的事。

為什么要移除垃圾比特

對于經典比特來說，我不需要的比特，直接不要就可以了。我的后續操作中不涉及這些垃圾比特就沒有關系，但是因為有量子相干的存在，如果我直接不管垃圾比特會讓后續的測量得到完全不一樣的結果。

例子：

令我們的目標函數是f（x）=x，A是沒有垃圾比特的情況，即，我們輸入什么輸出什么。而B是有垃圾比特情況，第一個比特存目標答案，f（x）=x，第二個比特是我們的垃圾比特，假設這里的垃圾比特是junk（x）=x。

例子A：

在A的情況下，如果我們的輸入是 12√|0?+12√|1?12|0?+12|1? ，經過A門，還是 12√|0?+12√|1?12|0?+12|1? ，在H門后，我們的比特又變成了 |0?|0? ，此時測量，得到的結果一定是 |0?|0? 。

例子B：

在B的情況下，如果我們的輸入是 （12√|0?+12√|1?）|0?（12|0?+12|1?）|0? ，經過A門，則變成了12√|00?+12√|11?12|00?+12|11? ，此時對第一個比特進行H門操作，得到結果 12|00?+12|10?+12|10??12|10?12|00?+12|10?+12|10??12|10? 。此時對第一個比特測量，得到的結果是 |0?|0? 或者是 |1?|1? 的概率是一樣的。

因為有了第二個比特的存在，所以上述式子中的 ?? 不能直接抵消第一個比特為 |1?|1? 的可能性，這也就是垃圾比特不得不移除的原因。

如何移除垃圾比特

垃圾比特對后續有影響，那么將他移除就好了，因為量子的操作是可逆的，所以怎么來的怎么回去。

但是在回去之前，把我們需要的目標 C（x）C（x） 的量子態用CNOT門復制出來就好。這樣就得到了沒有垃圾比特的結果。

可能有人想問，不是量子態不能復制嗎？事實上，我們并沒有復制 C（x）C（x） 的結果，當我們把結果從原來的比特上轉移到y上后，原來的比特和垃圾比特又通過逆操作返回了最初的情況。垃圾比特最初的狀態是 |0?|0? ，并非疊加態的情況，量子的糾纏或者相干是因為有量子疊加態，不是純態的原因，而今回到純態，就不在造成影響。