本文只涉及各種傅利葉之間的概念關系，不考慮數學嚴謹性。

一張圖理解各種傅利葉

from Understanding Digital Signal Processing. Richard G. Lyous

a為連續時間非周期信號的傅利葉變換，頻譜為連續非周期譜；（CFT）

b為連續時間周期信號的傅利葉級數，頻譜為離散非周期譜；（FS）

c為離散時間非周期信號的傅利葉變換，頻譜為連續周期譜；（DTFT）

c為離散時間周期信號的傅利葉變換，頻譜為離散周期譜；（CFT）

上面的描述有些蒼白，那怎么理解這張圖呢？

就像電容電感有對偶一樣，時域和頻域也有對偶的現象。離散時間信號可以看作是對連續時間信號的抽樣；而離散頻譜也可以看作是對連續頻譜的抽樣。那么上面四組圖的規律就是：

1. 時域的周期化對應頻域的抽樣化，如(a)與(b)，或(c)與(d)；

2. 時域的抽樣化對應頻域的周期化，如(a)與(c)，或(b)與(d)；

對于這一點的進一步理解，有以下簡單說明：

1. 最初的傅利葉級數的意義為任何周期信號都可以由一系列正弦信號加權疊加生成，即頻域為一系列頻率，頻域不是連續的。而時域的非周期信號可以看作是周期信號將其周期T逐漸加大到無窮大，則頻率間隔1/T逐漸減小到無窮小，即形成了連續的頻譜；

2. 對連續時間進行抽樣，則頻譜會受采樣頻率的影響，因為同樣的采樣數據可以對應不同頻率的分量，如下圖所示。即時域抽樣過程使頻域形成以采樣頻率fs為周期的周期頻譜。

from ircam.fr

以上為理解思路，詳細內容不綴述。

P.S.

DFT與離散時間周期信號的CFT等效。

各種傅利葉都有其適用范圍，例如，因為計算只能處理離散的數據，所以只有DFT是數字計算機可以直接處理的傅利葉變換。

編輯：hfy