你在繪制某個(gè)信號(hào)處理系統(tǒng)的頻率響應(yīng)時(shí)，是否遇到過意外滾降的情況——原本預(yù)計(jì)它是平坦的（或至少跟所設(shè)計(jì)的曲線差不多），但結(jié)果卻平穩(wěn)而慢吞吞地滾離了目標(biāo)值，而讓你大失所望？如果你遇到過這種情況，那你就受到了sinc（）頻率響應(yīng)的影響。下面來看看具體情況。

這個(gè)滾降問題可能會(huì)在采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)的輸入和輸出中出現(xiàn)。先來看一下輸出。如果你想要將一串樣本值轉(zhuǎn)換回模擬信號(hào)，那么可以將這些數(shù)字樣本送到DAC。現(xiàn)在，大多數(shù)DAC IC和模塊都具有“保持”輸出。也就是說，當(dāng)它們接收到一個(gè)新的數(shù)字樣本時(shí)，輸出電壓會(huì)迅速變?yōu)橄鄳?yīng)的新值并保持在那里，直到出現(xiàn)下一個(gè)樣本。這種現(xiàn)象非常普遍，以至于許多工程師會(huì)認(rèn)為這是正常現(xiàn)象，并認(rèn)為此類DAC的輸出電壓以某種方式正確地代表了樣本流（除了有一些令人討厭的高頻噪聲外）。

事實(shí)并非如此。這種“保持”過程會(huì)使這種系統(tǒng)的頻率響應(yīng)與僅在每個(gè)采樣時(shí)刻非常短暫地確定輸出電壓的系統(tǒng)不同。這種尖峰輸出電壓在實(shí)際應(yīng)用中很不方便，這就是為什么我們很少遇到它。

將每個(gè)樣本的電壓擴(kuò)展至“填充可用的空間”，是零階保持器的一個(gè)示例。這種系統(tǒng)的輸出頻譜等于理想的尖峰輸出系統(tǒng)的頻譜乘以兩個(gè)采樣點(diǎn)之間矩形脈沖的頻譜，也即其寬度與采樣間隔相等。這樣的矩形時(shí)間響應(yīng)與具有sinc（）特性的頻率響應(yīng)對(duì)應(yīng)。sinc（x）是sin（x）/x的縮寫，而一個(gè)域中的矩形與另一個(gè)域中的sinc（）之間存在傅立葉鏡像對(duì)應(yīng)，這不僅在信號(hào)理論而且在整個(gè)物理學(xué)都非常常見。

計(jì)算sinc函數(shù)的值——參數(shù)x的值是π乘以信號(hào)頻率（f）與采樣頻率（fs）之比，即sinc（πf/fs）——可知在大約fs的0.444倍處，滾降已經(jīng)達(dá)到-3dB。圖1給出了在每秒1個(gè)樣本（sps）的采樣速率下sinc（）滾降的頻率效應(yīng)。請(qǐng)注意，它在采樣率倍數(shù)的頻率處具有深而窄的陷波。

圖1：每秒1個(gè)樣本的零階保持器的sinc（）響應(yīng)，從中可以看到在采樣頻率倍數(shù)處具有深陷波。

現(xiàn)在來看時(shí)域當(dāng)中的情況。圖2顯示了一個(gè)0.444Hz正弦波以及每秒對(duì)其采樣一次的結(jié)果。樣本所達(dá)到的峰值顯然是輸入電壓的峰值。但是，隨著采樣時(shí)鐘在信號(hào)上“走動(dòng)”，某些區(qū)域的低輸出電壓會(huì)持續(xù)一段相當(dāng)長的時(shí)間。

圖2：以每秒1個(gè)樣本的速度采樣并保持的0.444Hz正弦波，從中可看到具有衰減峰值的長段。

0.444Hz信號(hào)仍然存在，但由于某些能量已移至較高頻率的“圖像”中，因此其水平已經(jīng)降低了，如圖3所示。可以看到輸入信號(hào)的單個(gè)傅立葉分量會(huì)比輸出信號(hào)中0.444Hz分量的值高3dB。

圖3：以每秒1個(gè)樣本的速率采樣并保持的0.444Hz正弦波的頻譜圖，表明原始信號(hào)中的某些能量如何分布在多個(gè)圖像上。

得出的結(jié)論是，采樣正弦波的峰峰值不是衡量基頻所含能量的好方法。相反，隨著輸入頻率的增加，輸出信號(hào)中的能量會(huì)越來越多地逐漸駐留在這些較高頻圖像分量上——這些分量是我們通常試圖濾除的污物，以便獲得良好的干凈輸出信號(hào)。因此就出現(xiàn)了滾降。

請(qǐng)注意，專為音頻市場設(shè)計(jì)的現(xiàn)代DAC不會(huì)出現(xiàn)這個(gè)問題。這是因?yàn)樗鼈兠總€(gè)樣本不只更新一次，然后保持信號(hào)。它們?cè)?a target="_blank">轉(zhuǎn)換器的內(nèi)部深處運(yùn)行得更快，然后運(yùn)用數(shù)字濾波技術(shù)來產(chǎn)生輸出，這樣在偶然檢查中就完全看不到被采樣的現(xiàn)象。獲得具有超平坦頻率響應(yīng)的音頻DAC非常容易，這也讓工程師容易忘記“老式”采樣DAC不具有這種平坦響應(yīng)特性。

這就是我們系統(tǒng)輸出部分的“原因”。當(dāng)我們?cè)跀?shù)字域中分析數(shù)據(jù)而沒有回到模擬狀態(tài)時(shí)，輸入通路是否還會(huì)導(dǎo)致可能檢測到的滾降？好吧，是的，有時(shí)候可以。讓我們看看這種情況。

如果使用的是采樣ADC，那么答案通常是“不用擔(dān)心”。這種ADC會(huì)在短暫的時(shí)間“縫隙”內(nèi)拍攝輸入信號(hào)的快照。通常，這個(gè)縫隙比兩次采樣之間的時(shí)間要窄得多，因此它對(duì)頻率響應(yīng)的影響不明顯。但是，如果使用的是針對(duì)工業(yè)儀器儀表應(yīng)用的Δ-Σ ADC，則滾降的幅度可能會(huì)超出預(yù)期。

Δ-Σ ADC具有滾降頻率響應(yīng)的原因在于，它們用來平滑其前端“調(diào)制器”中快速脈沖流的均值濾波器，具有與上述零階保持器類似的脈沖響應(yīng)。實(shí)際上，在任何給定的頻率下，響應(yīng)的滾降通常會(huì)惡化2至4倍。這是因?yàn)樗褂玫臑V波器通常至少實(shí)際上是兩到四個(gè)均值濾波器的級(jí)聯(lián)。

例如，對(duì)于我在高性能應(yīng)用中使用多年的賽普拉斯PSoC3和PSoC5器件中的Δ-Σ ADC來說，該ADC的抽取濾波器具有四個(gè)級(jí)（在其大部分范圍內(nèi)），因此具有sinc4（）響應(yīng)。因此，在任何給定信號(hào)頻率下，它的滾降幅度都是圖1所示的四倍（以dB表示）。換句話說，它在0.443倍fs時(shí)為-12dB。當(dāng)你真正想要的只是簡單的稱重時(shí)，這樣大的頻率響應(yīng)平坦度偏差就無關(guān)緊要。但是對(duì)于大多數(shù)音頻、通信和振動(dòng)測量系統(tǒng)來說，這就非常可怕了。這個(gè)偏差在你把數(shù)字信號(hào)送到DAC，產(chǎn)生額外的滾降信號(hào)之前就已有之。

不過，這種響應(yīng)效應(yīng)也有好的一面。圖1表明，sinc（）響應(yīng)在fs的約1.43倍處“反彈”至約13.3dB。這提醒我們，簡單的平均器對(duì)于消除高頻變化來說并不是很好的濾波器。但是，如果將四個(gè)平均器串聯(lián)起來獲得sinc4（），則得到的阻帶響應(yīng)僅會(huì)反彈至53dB左右，如圖4所示。這是非常有用的濾波，通常對(duì)于在沒有太多高頻干擾的時(shí)域中進(jìn)行精確測量已經(jīng)足夠了。

圖4：PSoC3 ADC抽取濾波器的sinc4（）響應(yīng)的“反彈”比簡單的平均器要低得多。

因此，當(dāng)需要平坦的頻率響應(yīng)而又確實(shí)必須使用保持DAC、Δ-Σ儀表ADC或同時(shí)使用兩者時(shí)，該怎么辦？現(xiàn)在你應(yīng)該能夠預(yù)料，推薦的解決方案涉及一個(gè)濾波器，結(jié)果不會(huì)讓你失望的！
編輯：hfy