1 直立行走任務(wù)分解

電磁組比賽要求車模在直立的狀態(tài)下以兩個(gè)輪子著地沿著賽道進(jìn)行比賽，相比四輪著地狀態(tài)，車模控制任務(wù)更為復(fù)雜。為了能夠方便找到解決問題的辦法，首先將復(fù)雜的問題分解成簡(jiǎn)單的問題進(jìn)行討論。

為了分析方便，根據(jù)比賽規(guī)則，假設(shè)維持車模直立、運(yùn)行的動(dòng)力都來自于車模的兩個(gè)后車輪，后輪轉(zhuǎn)動(dòng)由兩個(gè)直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)。因此從控制角度來看，由控制車模兩個(gè)電機(jī)旋轉(zhuǎn)方向及速度實(shí)現(xiàn)對(duì)車模的控制。車模運(yùn)動(dòng)控制任務(wù)可以分解成以下三個(gè)基本任務(wù)，如圖2- 1所示：

▲ 圖2-1 車模控制任務(wù)分解

（1） 控制車模直立：通過控制兩個(gè)電機(jī)正反向運(yùn)動(dòng)保持車模直立狀態(tài)；
（2） 控制車模速度：通過調(diào)節(jié)車模的傾角來實(shí)現(xiàn)車模速度控制。
（3） 控制車模轉(zhuǎn)向：通過控制兩個(gè)電機(jī)之間的轉(zhuǎn)動(dòng)差速實(shí)現(xiàn)車模轉(zhuǎn)向控制。

車模直立和方向控制任務(wù)都是直接通過控制車模兩個(gè)后輪驅(qū)動(dòng)電機(jī)完成的。可以假設(shè)車模的電機(jī)可以虛擬地被拆解成兩個(gè)不同功能的驅(qū)動(dòng)電機(jī)，它們同軸相連，分別控制車模的直立平衡、左右方向。在實(shí)際控制中，是將控制車模直立和方向的控制信號(hào)疊加在一起加載電機(jī)上，只要電機(jī)處于線性狀態(tài)就可以同時(shí)完成上面兩個(gè)任務(wù)。

車模的速度是由車模傾角控制完成的。車模不同的傾角會(huì)引起車模向前和向后速度變化，從而達(dá)到對(duì)于速度的控制。

▲ 圖2-2 車模傾角引起車速變化

在上述三個(gè)任務(wù)中保持車模直立是關(guān)鍵。由于車模同時(shí)受到三種控制的影響，從車模直立控制的角度，其它兩個(gè)控制就成為它的干擾。因此在速度、方向控制的時(shí)候，應(yīng)該盡量平滑，以減少對(duì)于直立控制的干擾。三者之間的配合如圖2- 3所示。

▲ 圖2-3 三層控制之間相互配合

上述三個(gè)控制各自獨(dú)立進(jìn)行控制，它們各自假設(shè)其它兩個(gè)控制都已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)定。比如速度控制時(shí)，需要車模已經(jīng)能夠保持直立控制，通過調(diào)節(jié)車模傾角的偏移量，改變車模的實(shí)際物理傾角。車模前傾和后傾會(huì)改變車模的速度。為了避免影響車模直立控制，在進(jìn)行速度控制時(shí)，對(duì)于車模傾角的改變一定需要非常的緩慢。這一點(diǎn)將會(huì)在后面速度控制中進(jìn)行詳細(xì)討論。

下面分別討論以上三個(gè)控制的實(shí)現(xiàn)方式。

2 車模直立控制

控制車模直立的直觀經(jīng)驗(yàn)來自于雜技表演。一般的人通過簡(jiǎn)單練習(xí)就可以讓一個(gè)直木棒在手指尖上保持直立。這需要兩個(gè)條件：一個(gè)是托著木棒的手掌可以移動(dòng)；另一個(gè)是眼睛可以觀察到木棒的傾斜角度和傾斜趨勢(shì)（角加速度）。通過手掌移動(dòng)抵消木棒的傾斜角度和趨勢(shì)，從而保持木棒的直立。這兩個(gè)條件缺一不可，實(shí)際上就是控制中的負(fù)反饋機(jī)制，參見圖2- 4。

▲ 圖2-4 保持木棒直立的反饋控制

世界上還沒有任何一個(gè)天才雜技演員可以蒙著眼睛使得木棒在自己手指上直立，因?yàn)闆]有了負(fù)反饋。

車模直立也是通過負(fù)反饋實(shí)現(xiàn)的。但相對(duì)于上面的木棒直立相對(duì)簡(jiǎn)單。因?yàn)檐嚹Ｓ袃蓚€(gè)輪子著地，因此車體只會(huì)在輪子滾動(dòng)的方向上發(fā)生傾斜。控制輪子轉(zhuǎn)動(dòng)，抵消傾斜的趨勢(shì)便可以保持車體直立了。如圖2- 5所示。

▲ 圖2-5 通過車輪運(yùn)動(dòng)保持車模直立

那么車輪如何運(yùn)行，才能夠最終保持車體垂直穩(wěn)定？為了回答這個(gè)問題，一般的做法需要建立車模的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型，通過設(shè)計(jì)最優(yōu)控制來保證車模的穩(wěn)定。為了使得同學(xué)們能夠比較清楚理解其中的物理過程。下面通過對(duì)比單擺模型來說明保持車模穩(wěn)定的控制規(guī)律。

重力場(chǎng)中使用細(xì)線懸掛著重物經(jīng)過簡(jiǎn)化便形成理想化的單擺模型。直立著的車模可以看成放置在可以左右移動(dòng)平臺(tái)上的倒立著的單擺。如圖2- 6所示。

▲ 圖2-6 車模簡(jiǎn)化成倒立的單擺

普通的單擺受力分析如圖2- 7所示。

▲ 圖2-7 普通單擺受力分析

當(dāng)物體離開垂直的平衡位置之后，便會(huì)受到重力與懸線的作用合力，驅(qū)動(dòng)重物回復(fù)平衡位置。這個(gè)力稱之為回復(fù)力，其大小為：

F = ? m g ? sin ? θ ≈ ? m g θ F = - mg \cdot \sin \theta \approx - mg\theta

在此回復(fù)力作用下，單擺便進(jìn)行周期運(yùn)動(dòng)。在空氣中運(yùn)動(dòng)的單擺，由于受到空氣的阻尼力，單擺最終會(huì)停止在垂直平衡位置。空氣的阻尼力與單擺運(yùn)行速度成正比，方向相反。阻尼力越大，單擺越會(huì)盡快在垂直位置穩(wěn)定下來。圖2- 8顯示出不同阻尼系數(shù)下，單擺的運(yùn)動(dòng)曲線。

▲ 圖2-8 不同阻尼力下的單擺運(yùn)動(dòng)

總結(jié)單擺能夠穩(wěn)定在垂直位置的條件有兩個(gè)：
（1） 受到與位移（角度）相反的恢復(fù)力；
（2） 受到與運(yùn)動(dòng)速度相反的阻尼力。

如果沒有阻尼力，單擺會(huì)在垂直位置左右擺動(dòng)。阻尼力會(huì)使得單擺最終停止在垂直位置。阻尼力過小（欠阻尼）會(huì)使得單擺產(chǎn)生震蕩，阻尼力過大（過阻尼）會(huì)使得單擺到達(dá)平衡位置時(shí)間拉長(zhǎng)。存在一個(gè)阻尼臨界阻尼系數(shù)，使得單擺最快穩(wěn)定在平衡位置。

為什么倒立擺在垂直位置時(shí)，在受到外部擾動(dòng)的情況下，無法保持穩(wěn)定呢？分析倒立擺的受力，如圖2- 9所示。

▲ 圖2-9 在車輪上的參照系中的車模受力分析

倒立擺之所以不能象單擺一樣可以穩(wěn)定在垂直位置，就是因?yàn)樵谒x平衡位置的時(shí)候，所受到的回復(fù)力與位移方向相同，而不是相反！因此，倒立擺便會(huì)加速偏離垂直位置，直到倒下。

如何通過控制使得倒立擺能夠像單擺一樣，穩(wěn)定在垂直位置呢？要達(dá)到這一目的，只有兩個(gè)辦法：一個(gè)是改變重力的方向；另一個(gè)是增加額外的受力，使得恢復(fù)力與位移方向相反才行。由此，能夠做的顯然只有第二種方式。

控制倒立擺底部車輪，使得它作加速運(yùn)動(dòng)。這樣站在小車上（非慣性系）看倒立擺，它就會(huì)受到額外的力(慣性力)，該力與車輪的加速度方向相反，大小成正比。這樣倒立擺所受到的回復(fù)力為

式中，假設(shè)控制車輪加速度與偏角θ \thetaθ成正比，比例為k 1 k_1k1?。顯然，如果k 1 > g k_1 > gk1?>g，（g gg是重力加速度）那么回復(fù)力的方向便于位移方向相反了。

此外，為了使得倒立擺能夠盡快地在垂直位置穩(wěn)定下來，還需要增加阻尼力，與偏角的速度成正比，方向相反。因此式（2-1）可變?yōu)?/p>

按照上面的控制方法，可把倒立擺模型變?yōu)閱螖[模型，能夠穩(wěn)定在垂直位置。因此，可得控制車輪加速度的控制算法

編輯：hfy