一、圖像旋轉原理

圖像旋轉是指圖像按照某個位置轉動一定角度的過程，旋轉中圖像仍保持這原始尺寸。圖像旋轉后圖像的水平對稱軸、垂直對稱軸及中心坐標原點都可能會發生變換，因此需要對圖像旋轉中的坐標進行相應轉換。

如圖，原圖像經過順時針旋轉角度為 θ 后，源圖像的坐標為 P0 （ Xo， Yo ） 的點移動到了 P1（X1， Y1）。

經過推導，可以得到上述的 P0 和P1 的坐標變換關系式。

二、MATLAB仿真

方案一、【正向預設】從原圖映射到目標圖像在此方案中，實現代碼的方式是正向的思路，將原圖中的像素點的坐標進行坐標的旋轉，然后直接幅值到輸出的圖像中，此方案旨在找到輸入坐標與輸出坐標之間的代數對應關系。

在該方法中，首先將原始坐標以及目標坐標放入了極坐標中，并且通過在極坐標中的關系，找到了同時滿足X0，Y0，X1，Y1四個參量的方程組，以此來解出對應的坐標關系，并以此為基礎得到了輸入與輸出之間的矩陣運算關系如下：

Matlab代碼實現如下：

clear allclc

% 讀入圖片im = imread（‘1.jpg’）;figure;imshow（im）;

% 求出旋轉矩陣a = 40 / 180 * pi;R = ［cos（a）， -sin（a）; sin（a）， cos（a）］;

% 求出圖片大小 ch為通道數 h為高度 w為寬度sz = size（im）;h = sz（1）;w = sz（2）;ch = sz（3）;c = ［h; w］ / 2;

% 初始化結果圖像im2 = uint8（zeros（h， w， 3））;

for k = 1:ch for i = 1:h for j = 1:w p = ［i; j］; % round為四舍五入 pp = round（R*（p-c）+c）; if （pp（1） 》= 1 && pp（1） 《= h && pp（2） 》= 1 && pp（2） 《= w） im2（pp（1）， pp（2）， k） = im（i， j， k）; end end endend

% 顯示圖像figure;imshow（im2）;

但在實際的測試中發現，這種方法所旋轉得到的圖像有著較為嚴重的失真現象，具體情況如下圖所示：

原圖

旋轉后的圖像

很明顯可以看到，在旋轉之后這兩張圖片出現了較大的差別，首先是原圖像被裁減了，其次是目標圖像中有較多的瑕點（雜點）。究其原因在于，從原圖旋轉后得到的目標圖像的像素位置在原圖中找不到。另外就是邊緣被裁剪的問題，由于在這個方案中約束了顯示區域，因此在旋轉的過程中，部分像素點就會由于超出邊界而被裁剪。針對以上的兩個問題，進行了如下改進。

方案二、【逆向預設】從目標圖像映射到原圖

由于在之前的方案中出現了雜點以及圖像邊緣裁剪的問題，因此在本方案中，我們采用了逆向思維，用目標圖像的坐標去與原圖的坐標進行坐標匹配，若在原圖像中能找到匹配的圖像，就顯示該點旋轉后的點坐標，若在原圖中找不到該點，則不顯示該點，通過這樣就解決了雜點的問題。 其中，pp為旋轉在后的坐標對應矩陣，在if語句中限定了原圖的區域，用此區域則可以到原圖中的坐標點，以此來排除不在區域中的坐標點，這樣就可以解決雜點的問題。

在這種方案下，坐標的對應關系如下：

MATLAB仿真代碼如下：

clear allclc

% 讀入圖片im = imread（‘1.jpg’）;figure;imshow（im）;

% 求出旋轉矩陣a = 20 / 180 * pi;R = ［cos（a）， sin（a）; -sin（a）， cos（a）］;

% 求出圖片大小 ch為通道數 h為高度 w為寬度

sz = size（im）;h = sz（1）;w = sz（2）;ch = sz（3）;c = ［w;h］ /2;

% 初始化結果圖像im2 = uint8（zeros（h， w， 3））;for k = 1:ch %遍歷輸出圖像所有位置的像素 for i = 1:h for j = 1:w p = ［j; i］; % p ：輸出圖像的像素坐標 % round為四舍五入 pp = round（R*（p-c）+c）; %pp ：對應到輸入圖像的像素坐標 %逆向進行像素的查找 if （pp（1） 》= 1 && pp（1） 《= w && pp（2） 》= 1 && pp（2） 《= h） im2（i， j， k） = im（pp（2）， pp（1）， k）; end end endend

% 顯示圖像figure;imshow（im2）;

這樣，該旋轉后的圖像就有了較好的還原度，達到了相應的題目要求，具體的方案的效果如下圖所示：

原圖

旋轉后的圖像

如圖所示，相對方案一而言，圖像的效果就好了很多，但圖像邊緣仍然存在邊緣被切割的現象。 方案三：考慮到未對旋轉后的圖像進行顯示區域的劃分，因此此類旋轉只是對單一像素點的旋轉，然后在原圖像的顯示區域上進行坐標點的重新組合，得到顯示的圖像。在解決的方法的思路上，采用目標顯示區域的重新劃分來解決該問題。

具體思路是，采用原圖像的長寬作為基準，再用坐標轉換的關系，將長和寬轉換到旋轉后的坐標系中，得到目標圖像在旋轉后坐標系中的顯示區域，代碼具體如下：

% 讀入圖片im = imread（‘1.jpg’）;

figure;imshow（im）;

% 求出旋轉矩陣a = 30 / 180 * pi;R = ［cos（a）， -sin（a）; sin（a）， cos（a）］;R = R‘; % 求出旋轉矩陣的逆矩陣進行逆向查找

% 計算原圖大小sz = size（im）;h = sz（1）;w = sz（2）;ch = sz（3）;c1 = ［h; w］ / 2;

% 計算顯示完整圖像需要的畫布大小hh = floor（w*sin（a）+h*cos（a））+1;ww = floor（w*cos（a）+h*sin（a））+1;c2 = ［hh; ww］ / 2;

% 初始化目標畫布im2 = uint8（ones（hh， ww， 3）*128）;for k = 1:ch for i = 1:hh for j = 1:ww p = ［i; j］; pp = （R*（p-c2）+c1）; mn = floor（pp）; ab = pp - mn; a = ab（1）; b = ab（2）; m = mn（1）; n = mn（2）; % 線性插值方法 if （pp（1） 》= 2 && pp（1） 《= h-1 && pp（2） 》= 2 && pp（2） 《= w-1） im2（i， j， k） = （1-a）*（1-b）*im（m， n， k） + a*（1-b）*im（m+1， n， k）。.. + （1-a）*b*im（m， n， k） + a*b*im（m， n， k）; end end endend

% 顯示圖像figure;imshow（im2）;

這樣，就解決了圖像邊緣被裁剪的問題，是整個圖像得以完整的顯示，實際的效果如下：

原圖

旋轉后的圖像

從圖示的效果可以看出，邊緣區域被裁剪的問題被解決了，但問題是圖片加陰影的區域面積比原圖大很多。 綜合以上三種方案，結合實際需求，由于我們的顯示是在一塊固定大小的屏幕上進行顯示，整個圖像的顯示范圍有限，采用CORDIC算法進行坐標變換產生的延時太大。最終基于處理速度和資源占用的均衡考慮，最終選擇方案二作為我們圖像旋轉的設計方案。

三、旋轉坐標計算

在該設計中，要求圖像擁有0到360的任意角度的旋轉，坐標變換需要角度的正弦和余弦值。 利用matlab生成正余弦表，并將其擴大256倍，打印到文件中。利用得到的正余弦表數值，將其寫入verilog代碼中，生成正余弦查找表。通過輸入角度值來索引其正余弦數值。Matlab生成正余弦列表的代碼如下：

該正弦，余弦通過MATLAB計算得到，并預先儲存到FPGA的片上儲存空間中，在進行坐標變換時，讀取對應角度的正弦，余弦值，進行坐標變換。由于計算得到的正弦和余弦值為浮點數，而FPGA擅長于進行整數運算。故要進行浮點數到整數的轉換，具體的實現方法是，將計算得到的浮點正弦，余弦值乘上 256 后再取整，計算得到的結果于原結果相比被擴大了256倍，而在數字電路中，除法操作可以用移位來進行。結果右移8位即等效于除于256 。 坐標變換的核心代碼如下：

將坐標變換計算模塊封裝為一個子模塊，輸入輸出圖像的坐標和旋轉角度后，即可計算出對應的輸入圖像對應的像素的坐標。然后讀取該坐標的像素值，寫入到旋轉重建的圖像對應的坐標位置即可。

四、效果展示（Results show）

0、原圖 （正常顯示）

1、順時針旋轉22度

2、順時針旋轉90度

3、順時針旋轉270度

4、順時針旋轉341度

五、說明

在公眾號對話框回復 FPGA2019 ，即可獲得該項目的工程源代碼，詳細的文檔說明，MATLAB仿真代碼。
編輯：lyn