二進制加法

我已經忘了是什么時候學的加法了，應該是小學吧，先學10以內的，再學100以內的，然后不管多大的數都可以隨便加了，算式很簡單，就是逢10進1。

下面這個式子是一個萬以內的加法：

相應的，二進制就是逢2進1，下面這個式子是2個8位二進制數的加法計算：

半加器

8位二進制數還太復雜，我們先來看看1位二進制數怎么計算的，一共有以下4種情況：

觀察一下就能發現2個規律。

第一個規律，只考慮加法，不考慮進位時，加數與和之間的關系如下：

相同為0，不同為1。這個關系和「異或門」是相同的：

異或門我們之前沒有聊到過，電路圖長這樣：

第二個規律是，如果只考慮進位，不考慮加法，加數與進位之間的關系如下：

只有全1時，才為1。發現了嗎，這和本文開頭與門的真值表是一樣的。

2個一位二進制數相加將產生一個加法位和一個進位位，加法位輸入與輸出的關系跟與門是一樣的，進位位跟異或門相同。

所以，可以像這樣把兩個門電路連起來，計算2個二進制數（A和B）的和：

我們稱這個電路為「半加器」，因為它只能計算2個一位二進制數的加法，沒有辦法將前面加法可能產生的進位納入下一次計算中，如果有進位則實際上是需要3個加數參與計算。

用門電路畫太復雜，可以封裝起來這樣表示半加器：

全加器

怎樣計算3個加數的二進制加法呢？需要將2個半加器和一個或門如圖連接起來：

左邊能看到它有3個輸入，右邊依舊是1位加和輸出，1位進位輸出。

2個數的加和與上一次的進位相加，得出的加和作為3個數最終的加和；2個數相加或3個數相加的進位作為3個數加和最終的進位位。

用文字描述有點不好理解，把這個電路圖全部輸入和輸出情況都展示出來，畫一個表就明白了：

很明顯，這個表就是2個一位二進制數帶進位的全部狀態。

每次做加法時畫2個半加器和一個或門很麻煩，我們用下面這個圖示把它們封裝起來，這個能計算3位二進制數加法的電路就稱為「全加器」。

加法器

現在回到開頭那個二進制加法：

它有8個二進制位，到目前為止我們還只能計算2個一位二進制數，最多再增加一個進位的加法，我們最終的目標當然是2個8位、16位乃至32位數的加法。

其實，非常簡單，用8個全加器一塊算！

把8個全加器每個進位輸出作為下一個的進位輸入，首尾相連就可以啦！

每次這樣畫太麻煩，可以封裝成一個框圖：

大箭頭代表8個輸入/輸出端，有8個獨立的信號。

一旦我們擁有了8位二進制加法器，把它們級聯起來，很容易就能得到一個16位或32位的加法器啦。

end

加法計算是計算機的基本運算，其實，計算機唯一的工作就是做加法計算。不論是減法、乘法、除法、在線支付、火箭升空還是AI下棋，都是利用加法實現的。

把加減乘除和邏輯運算等運算單元集成起來，就組成了CPU中的基本計算單元：ALU（算術邏輯單元Arithmetic and Logic Unit）。

用加法器計算2個數的加法其實就是用硬件方式實現了一個加法計算器，輸入A和輸入B的高低電平決定了輸出S和CO的高低電平。

這樣的電路同一時刻只能表示一種狀態，只要改變了A、B中任意一位，輸出就會有所變化。

現在我們想計算更多二進制數的加法，比如5個數A、B、C、D、E的加法（先不考慮進位）。

步驟應該是這樣：首先把A、B作為輸入，得出一個輸出S1，我們要記下來S1的值，然后把S1和C作為輸入，得出S2....以此類推，要記下很多個數，然后再用加法器計算。

5個數都已經很麻煩了，如果要計算更多個數該怎么辦？能不能把每次計算完的結果存起來，下次繼續使用呢？

我們的需求

這個加法器有個特點，就是兩個加數A和B的值決定著加和S的值。

這個值是實時決定的，也就是說，A、B中只要有一個數據位發生了改變（0變1或1變0），加和就一定、立即發生改變。

我們如果想用這個加法器算「累加和」將會很麻煩，比如5個數A、B、C、D、E的加法。

首先把A、B作為輸入，得出一個輸出S1，我們要記下來S1的值，然后把S1和C作為輸入，得出S2....以此類推，要記下很多個數，然后再用加法器計算。

工程師怎么會做這種無腦循環的工作呢，得想辦法交給計算機寄幾做。

好像只要做一個什么器件連在這個加法器的輸出上，這個新器件能夠保存加法器輸出的和，并將算好的和再作為一個參數輸入，傳遞給加法器就可以了。

注意這個新器件，首先它支持輸入和輸出；其次它能「保存」當前的值；最后，有一個類似「開關」的引腳決定它是否保持當前的值。

「保存」是什么意思？其實很好理解，就是不論輸入的數據位怎么變化，輸出都不變。

不考慮8個數據位，先只搭建一個這樣具有「保存」功能的門電路，能保存一個bit就ok。

或非門點燈

科巖已經點燈無數，這次依然從點燈開始，用或非門試一下。

「或非門」的真值關系如下表，記住輸入只要有1，輸出一定為0就可以了。

或非門的符號：

按照下面這個電路把兩個或非門與一個小燈泡連起來，如圖：

仔細觀察，能發現我把右邊或非門的輸出直接作為輸入連接到左邊或非門上，這會產生什么神奇的現象呢？

如上圖，最開始，左邊或非門的輸入都是0，輸出為1；右邊或非門輸入一個是0，一個是1，輸出0，燈泡是不亮的。

現在把開關S1連通，連通瞬間，左邊或非門輸出0，右邊或非門輸出1，燈泡被點亮，然后右邊或非門輸出的1給到左邊或非門，2個輸入都是1，它的輸出為0保持不變，燈泡點亮不變。

接著我們把開關S1斷開，如下圖神奇的事情發生了，燈泡依然保持點亮狀態！因為左邊或非門仍有一個輸入是1。

如果把S2閉合會怎樣呢？燈泡馬上熄滅了。

這時再打開S2，電路回到最初的狀態，燈泡還是熄滅狀態。

可以總結規律了：

?導通S1，燈泡點亮，不論我們怎么控制S1，燈泡都是亮的?導通S2，燈泡熄滅，不論我們怎么控制S2，燈泡都是亮的

這不就達到我們想要的「保存」功能了嘛，不論輸入的數據位怎么變化，輸出都不變。

觸發器（Flip-Flop）

像上面把兩個或非門連起來，能夠穩定保存電路狀態的電路被稱為「觸發器」。

Flip-Flop的意思是「翻轉」，中文翻譯比較奇怪，我們通常理解的觸發器是Trigger，不過沒關系，其實就是個名稱而已。

上面這個觸發器叫做R-S觸發器，它有2個輸入端S（Set）和R（Reset），2個輸出端Q和~Q（實在打不出Q上面的橫線o(╥﹏╥)o）。

當S為1時，輸出Q為1，~Q為0；當R為1時，輸出Q為0，~Q為1；當S和R都為0時，輸出Q和~Q保持不變；當S和R都為1時是一個不正確的狀態，我們不使用這個狀態。

不是特別繞吧？畫個表：

R-S觸發器最大特點就是它能記住2個輸入端的狀態。想要記住上一次的狀態時，把2個輸入端都置0就可以了。

每次畫2個或非門太麻煩，封裝一下：

end

有了觸發器，計算機除了算些加減乘除、與或非邏輯運算，開始具備了存儲功能，我覺得觸發器真是一個神奇的存在，把平平無奇的門電路連起來竟然就賦予了計算機「記憶」。

計算機中寄存器（Register）、內存（RAM）最最基礎的組成單元就是觸發器。

理解了觸發器的工作原理，也就理解了內存的工作原理。

編輯：jq