“卷積”是信號與系統時域分析中的一個重要內容。本文對此知識點進行了詳細的分析和總結，并給出了多道例題及詳細解答。

（一）常用信號的卷積表

首先，將常用信號的卷積、以及卷積的性質整理成表格，這些信號的卷積，需要熟練掌握其計算方法，并且要記住結果。為了方便大家對比，幫助理解和記憶，我把連續時間信號的卷積積分與離散時間信號的卷積和放在同一張表格中。

（二）卷積的計算

卷積的計算方法有以下幾種：

定義法；

性質法；

圖解法；

豎式法（卷積和）

需要注意的是，這幾種計算方法，不是孤立的，經常需要結合運用。

例題1：

【分析】

這是一道填空題，如果不給題設中的條件，也可以直接計算出結果，但既然已經給了題設的條件，就不需要利用公式再去求解計算，而只需要利用卷積的時移特性。

【解答】

例題2：

【分析】

此題是一道典型的求解卷積積分的題目，一個有限長信號與一個單邊信號卷積題目難度不大，屬于基本題。可以直接利用卷積積分的定義式計算，也可以利用圖解法。

【解答】

方法一：

方法二：

【總結】

有限長信號或者單邊信號卷積，關鍵是判斷被積函數公共的非零區間。

結果通常為分段函數，可以寫成分段的表示形式，也可以利用階躍信號，寫成一個表達式。

例題3：

【分析】

此題也是一道典型的卷積積分計算題，與例題2類似之處是，也是一個有限長信號與一個單邊信號卷積。但例題2中為右邊信號，而此題中為左邊信號。與例題2相比，難度稍大。此題可以直接從定義式出發計算，也可以利用圖解法計算。正確解題的關鍵是：判斷被積函數的共同的非零區間。

【解答】

f(t) 的圖形如下圖：

當然，最終結果也可以寫成閉合表達式：

或者也可以寫為：

例題4：

【分析】

此題是一道典型的離散卷積和計算的題目。可以利用卷積和的定義式計算，也可以利用 z 變換來求解。

【解答】

方法一：利用卷積和的定義式計算

注意，上圖中，（1）式和（2）式中的邊界條件，即可以寫成n＞2和n≤2，也可以寫成n≥2和n＜2，這樣，寫成閉合表達式就有兩種形式，這兩種形式的答案，實質是相同的。

方法二：利用 z 變換的方法。

注意，利用z變換來求解，一定要寫清楚收斂域，否則計算反變換時容易出錯。

【總結】

（1）右邊序列與左邊序列的卷積和，結果為雙邊序列；

（2）卷積和的最終結果，通常有多種不同的形式，但形式不同，本質相同。

例題5：

【分析】

這是一道很有趣的題目。需要用卷積的一些基本概念進行靈活分析，而不是死記硬背式的計算。

考察卷積的兩個知識點：第一個，兩個有限長序列的長度與卷積得到的序列長度之間的關系；第二個，卷積的豎式法。

【解答】

根據題意，序列 x(n) 共10個點，記為 L1 = 10；序列 h(n) 共 N+1 個點，記為 L2 = N+1。則卷積結果 y(n)的長度 L = L1 + L2 - 1 =N+10。

序列x(n)在 n = 0~9 內函數取值均為1，h(n) 在 n=0~N內函數取值均為1，而 y(14)等于0，說明序列 y(n) 的長度不大于14，即：

L= N+10≤ 14，即 N≤4

再根據 y(4)= 5，結合豎式法，可以推斷：N = 4。驗證如下：

【總結】

（1）在解決有限長序列的卷積時，豎式法經常是一種簡單的方法；

（2）兩個有限長序列的卷積，卷積結果也是有限長的，其長度等于兩個序列的長度之和減1。

例題6：

已知 x(t)*h(t) = y(t)，證明

x(-t)*h(-t) = y(-t)。

【分析】

此題有兩種方法，第一種方法是，直接利用卷積的定義式證明；第二種方法是，利用傅里葉變換來證明。

【解答】

方法一：

方法二：

【總結】

（1）注意在運用卷積定義式時，注意下面兩個式子，第一種寫法對，第二種寫法錯：

（2）采取此題方法，可以得出以下結論：

x(at)*h(at)=1/|a|×y(at)

（三）卷積的物理含義

卷積的存在，有它的特殊意義，卷積之所以在信號與系統課程中如此重要，正是因為它的物理含義：

卷積，揭示了LTI系統的零狀態響應與輸入信號、系統單位沖激響應之間的關系，即：

零狀態響應 = 輸入信號 * 系統單位沖激響應

例題7：

【分析】

此題需利用卷積的物理含義進行分析。有兩種方法。

【解答】

方法一：利用單位沖激響應的概念，令輸入信號 x(t) 等于單位沖激信號，帶入積分式中，則得到 h(t)。

方法二：利用卷積的概念，將題目中的積分式與卷積公式對照，得出 h(t)。

例題8：

【分析】

此題用到的知識點：

（1）串聯系統的單位沖激響應，等于各個分系統的單位沖激響應之卷積，并聯系統的單位沖激響應，等于各個分系統的單位沖激響應之和；

（2）積分器的單位沖激響應就是 u(t)；

（3）單位階躍響應 s(t) 與單位沖激響應 h(t) 之間的關系為：h(t) 是 s(t) 的微分，s(t) 是 h(t) 的積分。

【解答】

（四）后續章節中與卷積相關的知識點總結

卷積在信號與系統課程中扮演著重要角色，除了時域分析之外，在課程后續章節的多個知識點中，都有卷積的身影。大家一定要靈活處理。例如：

（1）一個域相乘，另外一個域卷積

（2）周期沖激串的傅里葉變換

（3）周期信號的傅里葉變換與主周期信號傅里葉變換之間的關系

（4）時域/頻域抽樣

（5）單邊周期信號的拉氏變換、單邊周期序列的 z 變換

另外，在數字信號處理課程中，也要用到卷積的概念，例如：DFT分析信號頻譜、窗函數法和頻率抽樣法設計FIR濾波器、脈沖響應不變法設計IIR濾波器等。

由于篇幅關系，就這個問題不再展開。