1 前言

控制系統通常根據有沒有反饋會分為開環系統和閉環系統，在閉環系統的控制中，PID算法非常強大，其三個部分分別為；

• P：比例環節；
• I：積分環節；
• D：微分環節；

PID算法可以自動對控制系統進行準確且迅速的校正，因此被廣泛地應用于工業控制系統。

2 開環控制

首先來看開環控制系統，如下圖所示，隆哥蒙著眼，需要走到虛線旗幟所表示的目標位置，由于缺少反饋（眼睛可以感知當前距離和位置，由于眼睛被蒙上沒有反饋，所以這也是一個開環系統），最終隆哥會較大概率偏離預期的目標，可能會運行到途中實線旗幟所表示的位置。


開環系統的整體結構如下所示；

這里做一個不是很恰當的比喻；

• Input：告訴隆哥目標距離的直線位置（10米）；
• Controller：隆哥大腦中計算出到達目標所需要走多少步；
• Process：雙腿作為執行機構，輸出了相應的步數，但是最終仍然偏離了目標；

看來沒有反饋的存在，很難準確到達目標位置。

3 閉環控制

所以為了準確到達目標位置，這里就需要引入反饋，具體如下圖所示；

在這里繼續舉個不怎么恰當的比喻；隆哥重獲光明之后，基本可以看到目標位置了；

• 第一步Input：告訴隆哥目標距離的直線位置（10米）；
• 第二步Controller：隆哥大腦中計算出到達目標所需要走多少步；
• 第三步Process：雙腿作為執行機構，輸出了相應的步數，但是最終仍然偏離了目標；
• 第四步Feedback：通過視覺獲取到目前已經前進的距離，（比如前進了2米，那么還有8米的偏差）；
• 第五步err：根據偏差重新計算所需要的步數，然后重復上述四個步驟，最終隆哥達到最終的目標位置。

4 PID

4.1 系統架構

雖然在反饋系統下，隆哥最終到達目標位置，但是現在又來了新的任務，就是又快又準地到達目標位置。所以這里隆哥開始采用PID Controller，只要適當調整P，I和D的參數，就可以到達目標位置，具體如下圖所示；

隆哥為了最短時間內到達目標位置，進行了不斷的嘗試，分別出現了以下幾種情況；

• 跑得太快，最終導致沖過了目標位置還得往回跑；
• 跑得太慢，最終導致到達目標位置所用時間太長；

經過不斷的嘗試，終于找到了最佳的方式，其過程大概如下圖所示；

這里依然舉一個不是很恰當的比喻；

• 第一步：得到與目標位置的距離偏差（比如最開始是10米，后面會逐漸變小）；
• 第二步：根據誤差，預估需要多少速度，如何估算呢，看下面幾步；

P比例則是給定一個速度的大致范圍，滿足下面這個公式；

綠色線為上述例子中從初始位置到目標位置的距離變化；紅色線為上述例子中從初始位置到目標位置的偏差變化，兩者為互補的關系；

---

I積分則是誤差在一定時間內的和，滿足以下公式；

如下圖所示；

紅色曲線陰影部分面積即為積分作用的結果，其不斷累積的誤差，最終乘以積分系數就得到了積分部分的輸出；

---

D微分則是誤差變化曲線某處的導數，或者說是某一點的斜率，因此這里需要引入微分；

從圖中可知，當偏差變化過快，微分環節會輸出較大的負數，作為抑制輸出繼續上升，從而抑制過沖。

---

綜上，，分別增加其中一項參數會對系統造成的影響總結如下表所示； 參數 上升時間 超調量 響應時間 穩態誤差 穩定性

Kp	減少	增加	小變化	減少	降級
Ki	減少	增加	增加	消除	降級
Kd	微小的變化	減少	減少	理論上沒有影響	小，穩定性會提升

4.2 理論基礎

上面扯了這么多，無非是為了初步理解PID在負反饋系統中的調節作用，下面開始推導一下算法實現的具體過程；PID控制器的系統框圖如下所示；
圖片來自Wiki

因此不難得出輸入和輸出的關系；

是比例增益；是積分增益；是微分增益；

4.3 離散化

在數字系統中進行PID算法控制，需要對上述算法進行離散化；假設系統采樣時間為則將輸入序列化得到；

將輸出序列化得到；

• 比例項：離散化
• 積分項：
• 微分項：

所以最終可以得到式①，也就是網上所說的位置式PID：

將式①再做一下簡化；

最終得到增量式PID的離散公式如下：

4.4 偽算法

這里簡單總結一下增量式PID實現的偽算法；

previous_error:=0//上一次偏差 integral:=0//積分和 //循環 //采樣周期為dt loop: //setpoint設定值 //measured_value反饋值 error:=setpoint?measured_value//計算得到偏差 integral:=integral+error×dt//計算得到積分累加和 derivative:=(error?previous_error)/dt//計算得到微分 output:=Kp×error+Ki×integral+Kd×derivative//計算得到PID輸出 previous_error:=error//保存當前偏差為下一次采樣時所需要的歷史偏差 wait(dt)//等待下一次采用 gotoloop

5 C++實現

這里是增量式PID算法的C語言實現；pid.cpp

#ifndef_PID_SOURCE_ #define_PID_SOURCE_ #include #include #include"pid.h" usingnamespacestd; classPIDImpl { public: PIDImpl(doubledt,doublemax,doublemin,doubleKp,doubleKd,doubleKi); ~PIDImpl(); doublecalculate(doublesetpoint,doublepv); private: double_dt; double_max; double_min; double_Kp; double_Kd; double_Ki; double_pre_error; double_integral; }; PID::PID(doubledt,doublemax,doublemin,doubleKp,doubleKd,doubleKi) { pimpl=newPIDImpl(dt,max,min,Kp,Kd,Ki); } doublePID::calculate(doublesetpoint,doublepv) { returnpimpl->calculate(setpoint,pv); } PID::~PID() { deletepimpl; } /** *Implementation */ PIDImpl::PIDImpl(doubledt,doublemax,doublemin,doubleKp,doubleKd,doubleKi): _dt(dt), _max(max), _min(min), _Kp(Kp), _Kd(Kd), _Ki(Ki), _pre_error(0), _integral(0) { } doublePIDImpl::calculate(doublesetpoint,doublepv) { //Calculateerror doubleerror=setpoint-pv; //Proportionalterm doublePout=_Kp*error; //Integralterm _integral+=error*_dt; doubleIout=_Ki*_integral; //Derivativeterm doublederivative=(error-_pre_error)/_dt; doubleDout=_Kd*derivative; //Calculatetotaloutput doubleoutput=Pout+Iout+Dout; //Restricttomax/min if(output>_max) output=_max; elseif(output//Saveerrortopreviouserror _pre_error=error; returnoutput; } PIDImpl::~PIDImpl() { } #endifpid.h

#ifndef_PID_H_ #define_PID_H_ classPIDImpl; classPID { public: //Kp-proportionalgain //Ki-Integralgain //Kd-derivativegain //dt-loopintervaltime //max-maximumvalueofmanipulatedvariable //min-minimumvalueofmanipulatedvariable PID(doubledt,doublemax,doublemin,doubleKp,doubleKd,doubleKi); //Returnsthemanipulatedvariablegivenasetpointandcurrentprocessvalue doublecalculate(doublesetpoint,doublepv); ~PID(); private: PIDImpl*pimpl; }; #endifpid_example.cpp

#include"pid.h" #include intmain(){ PIDpid=PID(0.1,100,-100,0.1,0.01,0.5); doubleval=20; for(inti=0;i100;i++){ doubleinc=pid.calculate(0,val); printf("val:%7.3finc:%7.3f ",val,inc); val+=inc; } return0; } 編譯并測試；

g++-cpid.cpp-opid.o #Tocompileexamplecode: g++pid_example.cpppid.o-opid_example

6 總結

以上內容總結了PID控制器算法在閉環系統中根據偏差變化的具體調節作用，每個環節可能對系統輸出造成什么樣的變化，給出了位置式和增量式離散PID算法的推導過程，并給出了位置式算法的C++程序實現。

1 什么是增量式PID?

先看一下增量式PID的離散公式如下：

：比例系數 ：積分系數 ：微分系數 ：偏差

對于所謂的位置式，增量式的算法，這兩者只是在算法的實現上的存在差異，本質的控制上對于系統控制的影響還是相同，單純從輸入和輸出的角度來比較，具體如下表所示；

這里簡單的說明一下；

• 位置式：位置式算法較為簡單，直接輸入當前的偏差 ，即可得到輸出；
• 增量式：增量式算法需要保存歷史偏差，，即在第次控制周期時，需要使用第和第次控制所輸入的偏差，最終計算得到 ，此時，這還不是我們所需要的PID輸出量；所以需要進行累加；

不難發現第一次控制周期時，即時；

由以上公式我們可以推導出下式；

所以可以看出，最終PID的輸出量，滿足以下公式；

可見增量式算法，就是所計算出的PID增量的歷史累加和；

2 舉個例子

2.1 位置式PID

下面從一個簡單的例子中去理解一下增量式PID，這里依然舉一個不是很恰當的例子；如果是位置式PID算法的話：

• 隆哥對一個直流電機進行調速，設定了轉速為 1000；
• 這時由于反饋回來的速度和設定的速度偏差為 ；
• 經過位置式PID計算得到；
• 作為Process的輸入值（可以是PWM的占空比），最終Process輸出相應的PWM驅動直流電機；
• 反饋裝置檢測到電機轉速，然后重復以上步驟；

整體框圖如下所示；

2.2 增量式PID

對于增量式PID來說；

• 隆哥對一個直流電機進行調速，設定了轉速為 1000；
• 這時由于反饋回來的速度和設定的速度偏差為 ，系統中保存上一次的偏差和上上次的偏差，這三個輸入量經過增量PID計算得到；
• 系統中還保存了上一次的PID輸出的，所以加上增量，就是本次控制周期的PID輸出——；
• 作為Process的輸入值（可以是PWM的占空比），最終Process輸出相應的PWM驅動直流電機；
• 反饋裝置檢測到電機轉速，然后重復以上步驟；

整體框圖如下所示；

所以這里不難發現，所謂增量式PID，它的特點有：

• 需要輸入歷史的偏差值；
• 計算得到的是PID輸出增量，因此每一次需要累加歷史增量最為當前的PID輸出；

下面簡單介紹一下如何實現增量式PID算法；

3 偽算法

previous02_error:=0//上上次偏差
previous01_error:=0//上一次偏差
integral:=0//積分和
pid_out:=0//pid增量累加和
//循環
//采樣周期為dt
loop:
//setpoint設定值
//measured_value反饋值
error:=setpoint?measured_value//計算得到偏差
proportion:=error-previous01_error//計算得到比例輸出
integral:=error×dt//計算得到積分累加和
derivative:=(error?2*previous01_error+previous02_error)/dt//計算得到微分
pid_delta:=Kp×error+Ki×integral+Kd×derivative//計算得到PID增量
pid_out:=pid_out+pid_delta//計算得到PID輸出

//保存當前的偏差和上一次偏差作為下一次采樣所需要的歷史偏差
previous02_error:=previous01_error
previous01_error:=error//保存當前偏差為下一次采樣時所需要的歷史偏差
wait(dt)//等待下一次采用
gotoloop

4 C語言實現

這里直接使用了TI公司的PID算法，做了積分抗飽和；具體可以參考controlSUITElibsapp_libsmotor_controlmath_blocksv4.2pid_grando.h

具體代碼如下所示；

pid_grando.h

/*=================================================================================
Filename:PID_GRANDO.H
===================================================================================*/


#ifndef__PID_H__
#define__PID_H__

typedefstruct{_iqRef;//Input:referenceset-point
_iqFbk;//Input:feedback
_iqOut;//Output:controlleroutput
_iqc1;//Internal:derivativefiltercoefficient1
_iqc2;//Internal:derivativefiltercoefficient2
}PID_TERMINALS;
//note:c1&c2placedheretokeepstructuresizeunder8words

typedefstruct{_iqKr;//Parameter:referenceset-pointweighting
_iqKp;//Parameter:proportionalloopgain
_iqKi;//Parameter:integralgain
_iqKd;//Parameter:derivativegain
_iqKm;//Parameter:derivativeweighting
_iqUmax;//Parameter:uppersaturationlimit
_iqUmin;//Parameter:lowersaturationlimit
}PID_PARAMETERS;

typedefstruct{_iqup;//Data:proportionalterm
_iqui;//Data:integralterm
_iqud;//Data:derivativeterm
_iqv1;//Data:pre-saturatedcontrolleroutput
_iqi1;//Data:integratorstorage:ui(k-1)
_iqd1;//Data:differentiatorstorage:ud(k-1)
_iqd2;//Data:differentiatorstorage:d2(k-1)
_iqw1;//Data:saturationrecord:[u(k-1)-v(k-1)]
}PID_DATA;


typedefstruct{PID_TERMINALSterm;
PID_PARAMETERSparam;
PID_DATAdata;
}PID_CONTROLLER;

/*-----------------------------------------------------------------------------
DefaultinitalisationvaluesforthePIDobjects
-----------------------------------------------------------------------------*/

#definePID_TERM_DEFAULTS{
0,
0,
0,
0,
0
}

#definePID_PARAM_DEFAULTS{      
_IQ(1.0),
_IQ(1.0),
_IQ(0.0),
_IQ(0.0),
_IQ(1.0),
_IQ(1.0),
_IQ(-1.0)
}

#definePID_DATA_DEFAULTS{   
_IQ(0.0),
_IQ(0.0),
_IQ(0.0),
_IQ(0.0),
_IQ(0.0),
_IQ(0.0),
_IQ(0.0),
_IQ(1.0)
}


/*------------------------------------------------------------------------------
PIDMacroDefinition
------------------------------------------------------------------------------*/

#definePID_MACRO(v)      
      
/*proportionalterm*/   
v.data.up=_IQmpy(v.param.Kr,v.term.Ref)-v.term.Fbk;         
      
/*integralterm*/      
v.data.ui=_IQmpy(v.param.Ki,_IQmpy(v.data.w1, 
(v.term.Ref-v.term.Fbk)))+v.data.i1;      
v.data.i1=v.data.ui;    
      
/*derivativeterm*/    
v.data.d2=_IQmpy(v.param.Kd,_IQmpy(v.term.c1,
(_IQmpy(v.term.Ref,v.param.Km)-v.term.Fbk)))-v.data.d2;      
v.data.ud=v.data.d2+v.data.d1;          
v.data.d1=_IQmpy(v.data.ud,v.term.c2);     
      
/*controloutput*/     
v.data.v1=_IQmpy(v.param.Kp,
(v.data.up+v.data.ui+v.data.ud));
v.term.Out=_IQsat(v.data.v1,v.param.Umax,v.param.Umin);
v.data.w1=(v.term.Out==v.data.v1)?_IQ(1.0):_IQ(0.0);

#endif//__PID_H__

example

/*InstancethePIDmodule*/

PIDpid1={PID_TERM_DEFAULTS,PID_PARAM_DEFAULTS,PID_DATA_DEFAULTS};

main(){

pid1.param.Kp=_IQ(0.5);
pid1.param.Ki=_IQ(0.005);
pid1.param.Kd=_IQ(0);
pid1.param.Kr=_IQ(1.0);
pid1.param.Km=_IQ(1.0);
pid1.param.Umax=_IQ(1.0);
pid1.param.Umin=_IQ(-1.0);

}

voidinterruptperiodic_interrupt_isr(){

pid1.Ref=input1_1;//Pass_iqinputstopid1
pid1.Fbk=input1_2;//Pass_iqinputstopid1
PID_MACRO(pid1);//Callcomputemacroforpid1
output1=pid1.Out;//Accesstheoutputofpid1
}

5 總結

簡單總結了位置式PID算法和增量式PID算法的差異，參考了TI公司的增量式PID算法實現，對于不同的控制對象可以根據系統要求選擇合適的PID算法。

原文標題：干貨 | 什么是PID算法，增量式PID又是什么?

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審核編輯：湯梓紅