本篇通過一道面試題，一個面試場景，來好好分析一下如何求遞歸算法的時間復雜度。

相信很多同學對遞歸算法的時間復雜度都很模糊，那么這篇Carl來給大家通透的講一講。

同一道題目，同樣使用遞歸算法，有的同學會寫出了O(n)的代碼，有的同學就寫出了O(logn)的代碼。

這是為什么呢？

如果對遞歸的時間復雜度理解的不夠深入的話，就會這樣！

那么我通過一道簡單的面試題，模擬面試的場景，來帶大家逐步分析遞歸算法的時間復雜度，最后找出最優解，來看看同樣是遞歸，怎么就寫成了O(n)的代碼。

面試題：求x的n次方

想一下這么簡單的一道題目，代碼應該如何寫呢。最直觀的方式應該就是，一個for循環求出結果，代碼如下：

intfunction1(intx,intn){
intresult=1;//注意任何數的0次方等于1
for(inti=0;ireturnresult;
}

時間復雜度為O(n)，此時面試官會說，有沒有效率更好的算法呢。

如果此時沒有思路，不要說：我不會，我不知道了等等。

可以和面試官探討一下，詢問：“可不可以給點提示”。面試官提示：“考慮一下遞歸算法”。

那么就可以寫出了如下這樣的一個遞歸的算法，使用遞歸解決了這個問題。

intfunction2(intx,intn){
if(n==0){
return1;//return1同樣是因為0次方是等于1的
}
returnfunction2(x,n-1)*x;
}

面試官問：“那么這個代碼的時間復雜度是多少？”。

一些同學可能一看到遞歸就想到了O(logn)，其實并不是這樣，遞歸算法的時間復雜度本質上是要看:遞歸的次數 * 每次遞歸中的操作次數。

那再來看代碼，這里遞歸了幾次呢？

每次n-1，遞歸了n次時間復雜度是O(n)，每次進行了一個乘法操作，乘法操作的時間復雜度一個常數項O(1)，所以這份代碼的時間復雜度是 n * 1 = O(n)。

這個時間復雜度就沒有達到面試官的預期。于是又寫出了如下的遞歸算法的代碼：

intfunction3(intx,intn){
if(n==0){
return1;
}
if(n%2==1){
returnfunction3(x,n/2)*function3(x,n/2)*x;
}
returnfunction3(x,n/2)*function3(x,n/2);
}

面試官看到后微微一笑，問：“這份代碼的時間復雜度又是多少呢？” 此刻有些同學可能要陷入了沉思了。

我們來分析一下，首先看遞歸了多少次呢，可以把遞歸抽象出一顆滿二叉樹。剛剛同學寫的這個算法，可以用一顆滿二叉樹來表示（為了方便表示，選擇n為偶數16），如圖：

當前這顆二叉樹就是求x的n次方，n為16的情況，n為16的時候，進行了多少次乘法運算呢？

這棵樹上每一個節點就代表著一次遞歸并進行了一次相乘操作，所以進行了多少次遞歸的話，就是看這棵樹上有多少個節點。

熟悉二叉樹話應該知道如何求滿二叉樹節點數量，這顆滿二叉樹的節點數量就是2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0 = 15，可以發現：這其實是等比數列的求和公式，這個結論在二叉樹相關的面試題里也經常出現。

這么如果是求x的n次方，這個遞歸樹有多少個節點呢，如下圖所示：(m為深度，從0開始)

時間復雜度忽略掉常數項-1之后，這個遞歸算法的時間復雜度依然是O(n)。對，你沒看錯，依然是O(n)的時間復雜度！

此時面試官就會說：“這個遞歸的算法依然還是O(n)啊”， 很明顯沒有達到面試官的預期。

那么O(logn)的遞歸算法應該怎么寫呢？

想一想剛剛給出的那份遞歸算法的代碼，是不是有哪里比較冗余呢，其實有重復計算的部分。

于是又寫出如下遞歸算法的代碼：

intfunction4(intx,intn){
if(n==0){
return1;
}
intt=function4(x,n/2);//這里相對于function3，是把這個遞歸操作抽取出來
if(n%2==1){
returnt*t*x;
}
returnt*t;
}

再來看一下現在這份代碼時間復雜度是多少呢？

依然還是看他遞歸了多少次，可以看到這里僅僅有一個遞歸調用，且每次都是n/2 ，所以這里我們一共調用了log以2為底n的對數次。

每次遞歸了做都是一次乘法操作，這也是一個常數項的操作，那么這個遞歸算法的時間復雜度才是真正的O(logn)。

此時大家最后寫出了這樣的代碼并且將時間復雜度分析的非常清晰，相信面試官是比較滿意的。

總結

對于遞歸的時間復雜度，畢竟初學者有時候會迷糊，刷過很多題的老手依然迷糊。

本篇我用一道非常簡單的面試題目：求x的n次方，來逐步分析遞歸算法的時間復雜度，注意不要一看到遞歸就想到了O(logn)！

同樣使用遞歸，有的同學可以寫出O(logn)的代碼，有的同學還可以寫出O(n)的代碼。

對于function3 這樣的遞歸實現，很容易讓人感覺這是O(logn)的時間復雜度，其實這是O(n)的算法！

intfunction3(intx,intn){
if(n==0){
return1;
}
if(n%2==1){
returnfunction3(x,n/2)*function3(x,n/2)*x;
}
returnfunction3(x,n/2)*function3(x,n/2);
}

可以看出這道題目非常簡單，但是又很考究算法的功底，特別是對遞歸的理解，這也是我面試別人的時候用過的一道題，所以整個情景我才寫的如此逼真，哈哈。

大廠面試的時候最喜歡用“簡單題”來考察候選人的算法功底，注意這里的“簡單題”可并不一定真的簡單哦！

如果認真讀完本篇，相信大家對遞歸算法的有一個新的認識的，同一道題目，同樣是遞歸，效率可是不一樣的！