三相系統在大型住宅區和商業和工業設施中最常見。三相系統在固定功率損耗下傳輸電力比單相系統更經濟，這主要是因為減少了 I2R 損耗和導體中的電壓降。本文討論了計算三相系統中電壓降的方法。

在三相系統中使用單相電壓降公式和表格

減少三相系統中的 I2R 損耗和電壓降允許使用更小的導體，從而減少所需的銅或鋁的重量。

用于計算單相系統中電壓降的公式和表格可以通過乘以因子在三相系統中使用。對這些因素的闡述需要回顧一些三階段的基礎知識。

平衡三相系統中的電壓

公用發電廠中的同步發電機產生大部分通過作為三相電路運行的線路傳輸和分配的電力。

這些發生器產生三個正弦電壓，它們之間具有相等的中方根 （RMS） 幅度和 120 電度的相移。由于電壓是正弦的，因此它們的表示使用相量。

系統是平衡的，因為它們具有相等的 RMS 幅度。在正常運行條件下沒有不平衡的發電機。

三個生成的電壓可以以星形配置或三角形配置連接。Y 形連接在公用發電機中是典型的。圖 1 顯示了這兩種格式。

圖 1.平衡三相電壓源 Y 形和三角形連接。圖片由 Lorenzo Mari 提供

Wye 連接

在 Y 形連接（圖 1a）中，三個源端子形成一個公共節點，標記為中性線 （N）。

線對中性線的系統電壓或相電壓等于各個電源電壓

V AN = E 00°

\［V_{BN} = E?-120° V\］

\［V_{CN}= E?120° V\］

為了確定線間電壓或線電壓，我們應用基爾霍夫電壓定律 （KVL）

\［V_{AB} = V_{AN} – V_{BN} = E?0° - E?-120° = √3E?30° V\］

\［V_{BC} = V_{BN} – V_{CN} = E?-120° - E?120° = √3E?270° V\］

\［V_{CA} = V_{CN} – V_{AN} = E?120° - E?0° = √3E?150° V\］

用 V L表示線電壓的大小，用 V P表示相電壓，我們有

V L = √3 V P

在 Y 形連接中，線電壓幅度是相電壓的 √3 倍。線電壓和相電壓之間存在相移。

三角洲連接

我們通過串聯三個源來獲得三角形連接（圖 1b）。發電機中性點不存在，因為三個源沒有共同點。例如，除了線對地電容（本分析未涵蓋）外，不存在線對中性線電壓。

在三角形連接中，線電壓等于各個相電壓，如下所示

\［V_{AB} = E?0° V\］

\［V_{BC} = E?-120° V\］

\［V_{CA} = E?120° V\］

然后

V L = V P

平衡三相負載中的電流

圖 2 顯示了連接到 A、B 和 C 相的發電機的三個單相負載。

圖 2.連接到發電機的單相負載。圖片由 Lorenzo Mari 提供

三個單相電路具有電流 IL1、IL2 和 IL3，從電源流向負載并返回電源 - 假設星形連接的發電機繞組可連接中性點。每個中性線將承載電流，并且將應用單相電壓降公式。

與源類似，三個單相負載可以以星形或三角形配置連接（圖 3）。

圖 3.三相負載 Y 形和三角形連接。圖片由 Lorenzo Mari 提供

星形連接

圖 3a 顯示了以星形連接的三個負載。術語 wye-wye 意味著源和負載是星形連接的。

施加到負載的電壓等于源相電壓。

在平衡系統中，三個阻抗相等。假設負載阻抗 Z 1 = Z 2 = Z 3 = Z P 0θ，歐姆定律給出以下相電流

\［I_{A} = V_{AN}/Z_{P} ?θ = E?0°/Z_{P} ?θ A\］

\［I_{B} = V_{BN}/Z_{P} ?θ = E-120°/Z_{P} ?θ A\］

\［I_{C} = V_{CN}/Z_{P} ?θ = V_{CN} = E?120°/Z_{P} ?θ A\］

三相電流大小相同，相移120°。

在星形連接的每一相中，線電流在幅度和相位上等于相電流。用 IL 表示線電流的大小，用 IP 表示相電流，我們有

我L = 我P = 我

應用基爾霍夫現行定律 （KCL）

我N = 我A + 我B + 我C = 0

在 Y 形連接的平衡三相系統中，中性線電流為零。由于在此對稱電路中中性線不承載電流，因此可以忽略建立三相三線系統——盡管它在物理上是四線系統。

在我們關于電壓降的討論中，必須讓電路在平衡條件下運行。因此，只有一根導體為每個負載供電，產生的電壓降僅為不平衡條件下的一半——相位和中性線承載電流。

Wye-delta 連接

圖 3b 顯示了以三角形連接的三個平衡負載。施加到負載的電壓等于源線電壓。具有三角形連接負載的系統是三線制的，因為沒有中性線連接。

根據源連接（星形或三角形連接），系統為星形或三角洲連接。Delta 連接的源是非典型的，因此我們將采用 Y 型連接的源。

假設負載阻抗 Z 1 = Z 2 = Z 3 = Z P 0θ，相電流為

\［I_{L1} = V_{AB}/ Z_{P} ?θ = √3E30°/Z_{P} ?θ A\］

\［I_{L2} = V_{BC}/ Z_{P} ?θ = √3E270°/Z_{P} ?θ A\］

\［I_{L3} = V_{CA}/ Z_{P} ?θ = √3E150°/Z_{P} ?θ A\］

具有三個相似的阻抗，這是一個具有相等相電流幅度的平衡負載，位移 120°。

應用 KCL 確定線路電流 I A、 I B和 I C

我A = 我L1 – 我L3

I B = I L2 – I L1

我C = 我L3 - 我L2

經過一些計算，我們得到

\［I_{A} = √3 I_{L1}30°A\］

\［I_{B} = √3 I_{L2}?-30° A\］

\［I_{C} = √3 I_{L3}3-30° A\］

然后

I L = √3 I P

我們得出結論，線電流幅度等于相電流幅度的 √3 倍，假設正序，線電流滯后相電流 30°。

倍增因素

回憶一下計算單相電路中近似電壓降的典型公式

VD = 2 x K x I L x L / A

在哪里

VD = 電壓降

K = 導體電阻率

I L = 線電流（I L = I P在單相電路中）

A = 導體的橫截面積

L = 從源到負載的距離

常數 2 考慮從負載到源的返回導體

尋找乘數的標準是

一個。常數 2 應該被刪除，因為在三角形連接負載和平衡 Y 形連接負載中沒有返回導體（中性線）——它們是三線電路。

灣。在三角形連接的負載中 I L = √3 I P。將公式中的I L代入√3 I P。VD 基于 V L，系數為 √3/2 = 0.866。

C。在星形連接負載中，V L = √3 V P。

c1。VD 基于 V L，將 VD 除以 √3，系數為 √3/2 = 0.866。

c2。對于基于 V P的 VD ，該因子為 ? = 0.5。

總而言之，在三相系統中，如果使用線電壓，則將單相結果乘以 0.866，如果使用相電壓，則乘以 0.5。

示例 1

圖 4 顯示了一個為三角形連接的低電感負載供電的分支電路。使用以下鋁單相公式計算三相電壓降。

VD = 2 x 17.35 Ω CM/ft x I L （A） x L（ft） /CM

圖 4.平衡的三相三角形連接負載。圖片由 Lorenzo Mari 提供

I P = 240 V/41.6 Ω = 5.77 A

I L = √3 I P = 10 A

NEC 表 8 顯示導體尺寸 N° 12 AWG 的 6 530 圓密耳。

VD = （2 x 17.35 Ω CM/ft x 10 A x 100 ft / 6 530） x 0.866 = 4.6 V

示例 2

圖 5 顯示了一個為星形連接的低電感負載供電的分支電路。根據 V P計算電壓降不高于 1% 的銅線尺寸。對銅使用以下單相公式

CM = 2 x 10.895 Ω CM/ft x I（A） x L（ft） /VD（V）

圖 5.平衡的三相星形連接負載。圖片由 Lorenzo Mari 提供

I = 277 V/18.47 Ω = 15 A

VD = 0.01 x 277 V = 2.77 V

CM = （2 x 10.895 Ω CM/ft x 15 A x 200 ft / 2.77 V） x 0.5 = 11 800

NEC 表 8 顯示 N° 10 AWG 為 10 830 CM，N° 8 AWG 為 16 510。使用 N° 8 AWG。

示例 3

對基于 V L的不高于 1% 的電壓降重復示例 2 。

I = 277 V/18.47 Ω = 15 A

VD = 0.01 x 480 V = 4.8 V

CM = （2 x 10.895 Ω CM/ft x 15 A x 200 ft / 4.8 V） x 0.866 = 11 800

使用 N° 8 AWG。

計算電壓降的比例法

以下表達式有助于計算由于沿導體的電壓降引起的電壓降和相移

V R = V S x Z L /Z S

在哪里

V R = 負載相電壓

V S = 源相電壓

Z L = 負載阻抗

Z S = 系統阻抗，包括 Z L

所有量相表示

電壓降的大小為

?VD? = ?V S? – ?V R?

示例 4

圖 6 顯示了向功率因數不同于 100% 的設備供電的電源。

圖 6.為設備供電的源。圖片由 Lorenzo Mari 提供

一個。以極坐標形式計算 Z L。

極坐標格式為

?Z L?êθ _

?Z L? = √（122 + 92） = 15 Ω

θ = tanˉ1 9/12 = tanˉ1 0.75 = 36.9°

\［Z_{L} = 15 36.9° Ω\］

灣。以矩形和極坐標形式計算 Z S。

矩形的格式是

Z S = R + jX

Z S = 1 + j0 + 12 + j9 = 13 + j9 Ω

?Z S? = √（132 + 92） = 15.81 Ω

θ = tanˉ1 9/13 = tanˉ1 0.69 = 34.7°

\［Z_{S} = 15.81? 34.7° Ω\］

C。計算負載上的電壓。選擇 VS 作為參考。

\［V_{R} = 480 x 0° \times 15 x 36.9°/15.81 x 34.7° = 455.4 x 2.2° V\］

d。以伏特和百分比計算電壓降幅度。

?VD? = 480 V – 455.4 V = 24.6 V

24.6 V/480 V x 100 = 5.13%

e. 導體引入的相移是多少？

2.2°

F。計算設備負載系數。

PF = cos θ = cos 36.9° = 0.8 = 80% 滯后

三相電路中使用的典型近似公式

只需要一相來確定在平衡條件下運行的三相系統中的電壓降。圖 7 的相量圖顯示了電源、負載和導體（閉合回路）的單相電壓。

圖 7.用于電壓降計算的單相相量圖。圖片由 Lorenzo Mari 提供

實軸上的導體電壓投影近似于電壓降幅值。結果是

?VD? = I （R cos θ + X sin θ）

在哪里

?VD? = 線電壓降幅度

I = 線路電流大小

R = 導體電阻

X = 導體電抗

θ = 負載角

cos θ = 負載功率因數

sin θ = 負載無功系數

隨著角度 Φ 接近于零，公式誤差減小——公式對于 Φ = 0 是精確的。實際上，角度 Φ 很小。

修改這個方程直接計算百分比電壓降，我們得到

VD% = kVA （R cos θ + X 無 θ） /10 kV2

在哪里

VD% = 電壓降百分比

kVA = 三相視在功率

kV = 線電壓

請注意，kVA 和 kV 是三相值。

示例 5

一個。使用近似公式和示例 4 的結果，計算圖 6 電路中的電壓降幅值。

\［I = 480V0°/15.81？34.7° = 30.36？-34.7°A\］

線電流的大小 = 30.36 A

Z L角 = θ = 36.9°

R = 導體電阻 = 1 Ω

X = 導體電抗 = 0 Ω

cos θ = 負載功率因數 = 0.8

sin θ = 負載無功系數 = 0.6

?VD? = 30.36 x （1 x 0.8 + 0 x 0.6） = 24.29 V

灣。計算百分比電壓降。

24.29 V/480 V x 100 = 5.06%

C。直接計算電壓降百分比。

視在功率 = 30.36 A x 0.48 kV = 14.57 kVA

VD% = 14.57 （1 cos 36.9° + 0 sin 36.9°） /10 x 0.482 = 5.06%

例 6

三相地下電纜為平衡的感應負載（滯后功率因數）供電。系統數據如下

電纜阻抗 ZC = 0.0771 + j0.0724 Ω/相

負載阻抗 ZL = 13.75 + j10.31 = 17.19 36.86° Ω/相

源電壓 4.16Y/2.4 kV

一個。使用比例法確定電壓降。

V R = V S x Z L /Z S

\［Z_{S} = Z_{C} + Z_{L} = 0.0771 + 13.75 + j（0.0724 + 10.31） = 13.83 + j10.38 = 17.29

36.9° Ω/相\］

選擇相電壓作為參考

\［V_{S} = 2 400 0° V\］

\［V_{R} = 2 400 ε0° \乘以 17.19 ε36.86° / 17.29 ε36.9° = 2 385.4 ε-0.04°\］

\［?VD? = 2 400 V - 2 385.4 V = 14.6 V\］

\［14.6 V/2 400 V x 100 = 0.61%\］

灣。使用近似公式確定電壓降。

?VD? = I （R cos θ + X sin θ）

Z L角 = θ = 36.86°

R = 導體電阻 = 0.0771 Ω

X = 導體電抗 = 0.0724 Ω

cos θ = 負載功率因數 = 0.8

sin θ = 負載無功系數 = 0.6

\［I = V_{S}/Z_{S} = 2 400 0° /17.29 36.9° = 138.72 ～-36.9° A\］

線電流的大小 = 138.72 A

?VD? = 138.72 （0.0771 x 0.8 + 0.0724 x 0.6） = 8.56 + 6.03 = 14.6 V

C。直接計算電壓降百分比。

VD% = kVA （R cos θ + X 無 θ） /10 kV2

線電壓 = V L = 4.16 kV

三相 kVA = √3 x V L x I = √3 x 4.16 kV x 138.72 A = 1 000 kVA

VD% = 1 000 （0.0771 x 0.8 + 0.0724 x 0.6） / 10 x 4.162 = 0.61%