總的來說，對采樣率的討論就像看著油漆變干。我們真的需要深入了解細(xì)節(jié)嗎？畢竟，每個(gè)人都知道，您只需要以目標(biāo)信號頻率的兩倍進(jìn)行采樣即可獲得良好的結(jié)果，對吧？如果你對最后一句話的回答是“對！”，也許你應(yīng)該繼續(xù)讀下去。雖然所謂的奈奎斯特速率（即最高信號頻率分量的兩倍）確實(shí)是消除混疊頻率所需的采樣速率，但該規(guī)則經(jīng)常被忽視的限定符是，被數(shù)字化的信號必須被帶寬限制在等于奈奎斯特速率一半的值。重要的不僅僅是您感興趣的頻率，還有您數(shù)字化的信號中包含的所有頻率以及它們與您選擇的采樣率的比較情況。讓我們回到基礎(chǔ)。

什么是別名頻率？

韋伯斯特將“別名”定義為假名或附加名稱。出于數(shù)據(jù)采集的目的，我們可以更準(zhǔn)確地將別名定義為假定頻率或附加頻率。

在觀看超速行駛的汽車的電影時(shí)，您看著汽車的車輪，它們似乎旋轉(zhuǎn)得不可思議，甚至向后旋轉(zhuǎn)。您看到的是由汽車車輪的快速旋轉(zhuǎn)速率與用于記錄圖像的相機(jī)的慢得多的幀速率之間的數(shù)學(xué)碰撞引起的混疊頻率。你下意識地從對圖像的解釋中過濾掉這種異常，因?yàn)閺钠渌麉⒖枷抵泻苋菀状_定汽車正在高速前進(jìn)。但是，如果您正在觀看一部關(guān)于汽車車輪的電影呢？在這種情況下，如果被要求確定汽車移動的速度和方向，你可能會得出一個(gè)完全不同的、錯(cuò)誤的和令人尷尬的結(jié)論。

擴(kuò)展上面的例子，您可以將相機(jī)視為數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，將旋轉(zhuǎn)輪視為它正在數(shù)字化的信號。如果數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的采樣速率相對于信號頻率太慢，您的測量就會崩潰。你沒有電影的方便參考框架。您所擁有的只是隨時(shí)間變化的信號幅度的集合。哪些是真實(shí)的，哪些是別名？就像試圖通過只看車輪來解釋電影中汽車的運(yùn)動一樣，這是不可能知道的，而且你的測量值有太多的東西無法猜測。

別名頻率的數(shù)學(xué)

如果我們知道輸入信號的頻率和采樣率，我們可以預(yù)測混疊頻率。公式（1）表明，混疊頻率是輸入信號頻率與采樣率的最接近整數(shù)倍之差絕對值的函數(shù)。

讓我們用一些例子來擴(kuò)展這個(gè)等式。表1是以1000 Hz的固定速率采樣的各種正弦輸入信號頻率（fin）以及使用公式（1）計(jì)算得出的混疊頻率的匯編。常數(shù) （N） 是一個(gè)整數(shù)，它假定使項(xiàng) Nfs最接近輸入信號頻率 （fin） 所需的值。例如，如果輸入頻率為 150 Hz，采樣率為 75 Hz，則 N等于 2。如果輸入信號頻率增加到 188 Hz，N 將變?yōu)?，因?yàn)?75 和 3 （225） 的乘積比 75 和 2 （150） 的乘積更接近 188。

從表1可以看出，任何小于或等于500 Hz奈奎斯特值（采樣率的一半）的輸入信號頻率都會被準(zhǔn)確再現(xiàn)。任何大于此值的頻率都會產(chǎn)生不準(zhǔn)確的混疊頻率，甚至在輸入頻率是采樣速率的精確倍數(shù)時(shí)再現(xiàn)直流信號的程度也是如此。顯然，當(dāng)輸入信號的頻率成分超過采樣率的一半時(shí)，所有的賭注都是錯(cuò)誤的。

表 1：固定 1000 Hz 采樣率下的混疊與輸入頻率的關(guān)系

混疊頻率是什么樣的？這是陰險(xiǎn)的事情。它看起來就像真實(shí)數(shù)據(jù)一樣。如果我們按照表（1）中所述的方式采集數(shù)據(jù)，當(dāng)fin等于900 Hz時(shí)，我們會看到圖1所示的灰色100 Hz別名波形，而不是實(shí)際連接到數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的黑色900 Hz波形。除了較低的頻率，你能分辨出真實(shí)信號和鬼影之間的區(qū)別嗎？更復(fù)雜的是，我們大多數(shù)人不會四處奔波獲取純正弦波。典型的波形是許多頻率的復(fù)雜組合，而混疊的錄制波形可能看起來非常合理，但會導(dǎo)致您得出完全錯(cuò)誤的結(jié)論。

圖1 - 900 Hz波形（黑色）在1000 Hz采樣不足時(shí)產(chǎn)生混疊的100 Hz波形（灰色）

解決方案是什么？

回到本應(yīng)用筆記開始的地方，只有確保信號中不存在高于此限值的其他頻率分量，我們才能滿足奈奎斯特采樣率準(zhǔn)則，即目標(biāo)最大信號頻率的兩倍。除非我們對信號源的頻率成分有高度的置信度，否則達(dá)到這一條件的唯一方法是在數(shù)字化之前將輸入信號應(yīng)用于低通抗混疊濾波器。對抗混疊濾波器的深入討論超出了本應(yīng)用筆記的范圍，但其顯著特性可歸納如下：

低通設(shè)計(jì)

選擇轉(zhuǎn)折頻率以達(dá)到您感興趣的最大頻率（即采樣率的一半）

從通帶到阻帶的陡峭過渡帶滾降。

圖2是上述理想抗混疊濾波器的圖形表示。請注意，在實(shí)際濾波器設(shè)計(jì)中，過渡帶的理想垂直形狀是不可能的，而是會產(chǎn)生帶有一些負(fù)斜率的滾降。這種現(xiàn)實(shí)迫使以較低的轉(zhuǎn)折頻率或較高的采樣率的形式進(jìn)行折衷。例如，人耳可以響應(yīng)高達(dá) 20 kHz 的頻率。如果可以使用符合理想的抗混疊濾波器，則可以使用40 kHz的采樣率對音樂進(jìn)行數(shù)字化。然而，44.1 kHz的標(biāo)準(zhǔn)速率既反映了濾波器實(shí)現(xiàn)不理想的現(xiàn)實(shí)，也反映了保持20 kHz完整響應(yīng)的愿望。

圖2 - 理想抗混疊濾波器的圖形表示。

您真的需要抗鋸齒過濾器嗎？

該領(lǐng)域的權(quán)威人士堅(jiān)持認(rèn)為，在沒有抗鋸齒濾波器的情況下獲取的數(shù)據(jù)是無用的。這些人可能會堅(jiān)持讓你系安全帶只是為了把車開進(jìn)車庫，因?yàn)椤鞍踩珟Э梢酝炀壬薄Ｊ聦?shí)上，在日常測量中采集的大部分?jǐn)?shù)據(jù)不需要抗混疊濾波器來產(chǎn)生完全準(zhǔn)確和可操作的結(jié)果，這就是為什么絕大多數(shù)數(shù)據(jù)采集和數(shù)據(jù)記錄儀儀器不會在每個(gè)測量通道中內(nèi)置一個(gè)。任何不同意這種說法的人都應(yīng)該問問自己是否需要濾波器來測量電池電壓 - 純 0 Hz。如果沒有，那么我們至少已經(jīng)打開了妥協(xié)的大門，我們可以進(jìn)一步打開它，包括其他直流或近直流信號的測量：溫度、濕度、直流電流、流量、壓力、負(fù)載、扭矩、頻譜圖、GSR、平滑和骨骼肌浴等。那么頻率成分被明確定義和包含的信號呢：50/60/400 Hz 電壓和電流、血壓和流量，甚至一些生物電位，如 ECG 和 EMG？我們開始覆蓋許多測量領(lǐng)域，而無需過濾器。還有更多的例子，但過濾器確實(shí)有其位置。

基于加速度計(jì)的測量是抗混疊濾波器幾乎需要的最佳示例。大多數(shù)壓電加速度計(jì)的頻率響應(yīng)超過15 kHz。盡管您感興趣的頻率可能遠(yuǎn)低于此頻率（例如，由于軸承磨損而導(dǎo)致的 40 Hz 電機(jī)隆隆聲），但您不能忽視傳感器可以并且將會通過更高頻率的事實(shí)。如果你已經(jīng)讀到這里，你應(yīng)該知道，僅僅因?yàn)槟銓?0 Hz以上的頻率不感興趣并不意味著你只需要在80 Hz左右采樣，如果傳感器可以通過更高幾個(gè)數(shù)量級的頻率。

您可能需要過采樣

到目前為止，我們已經(jīng)看到，帶寬受限的輸入信號以至少兩倍于抗混疊濾波器轉(zhuǎn)折頻率的速率采樣，可以再現(xiàn)輸入信號的頻率成分。如果您只對被測系統(tǒng)的頻率內(nèi)容感興趣，并且有些應(yīng)用是分析的范圍，那就太好了。回到加速度計(jì)的例子，你真的不在乎波形是什么樣子的，因?yàn)樗穷l譜來傳達(dá)電機(jī)隆隆聲的存在和頻率。但是對于波形形狀確實(shí)傳達(dá)信息的其他應(yīng)用，祝你好運(yùn)，每個(gè)周期從兩個(gè)樣本中提取信息。參考圖1所示的100 Hz混疊波形，您甚至無法僅用兩個(gè)點(diǎn)遠(yuǎn)程重建正弦波。每當(dāng)您需要精確的波形再現(xiàn)時(shí)，您唯一的辦法就是以超過奈奎斯特最小值 2 倍（通常為 10 倍或更多）的速率進(jìn)行過采樣。假設(shè)您已經(jīng)準(zhǔn)確地考慮了信號的頻率內(nèi)容并消除了混疊頻率的可能性，則您選擇的實(shí)際倍數(shù)由個(gè)人喜好決定。

審核編輯：郭婷