引：

最近在搞一個音頻解碼器，將隨意錄制好的聲音按照不同的頻率分離出不同的音頻流，然后推到不同的音箱中，如果再考慮一下音場的諧性，那就是一個N.1聲道的解碼系統(tǒng)了。我只是想在女兒(或者兒子)出生之前為她做點(diǎn)事情，以便能最終做出個東西送給她(或者他)。

在實(shí)踐的過程中，遇到了傅里葉變換，作文以記之。最終我會導(dǎo)出一個很常用的變換-傅里葉變換

信號：

信號是一個很廣義的概念，它可以是一種波，也可以是一個陣列，它還可以是一個函數(shù)，它甚至是整個世界，總之只要能運(yùn)載信息，它就可以被稱為信號 。我們可以去分析一個信號，以獲得信號本身更多的屬性，從而可以更好的獲得信息。比如，我們發(fā)現(xiàn)了諧波信號，我們就可以用波的理論去構(gòu)造復(fù)雜的復(fù)合信號，典型就是頻分復(fù)用。

欲想理 解信號，我們首先要學(xué)會將其分解，將之分解成不同的元素，如果這些元素之間互不相關(guān)，我們就可以對其分而治之了，分而解之了。我們需要有一個信念，那就是所有的信號都是可分解的，我們必須明白這個復(fù)雜的世界其實(shí)是由很多次復(fù)雜的小世界疊加而成的，每一個次復(fù)雜的小世界都是由更簡單的次次復(fù)雜的小小世界疊加而成的，諸如此類，以此類推，最終的元素就是質(zhì)子和電子(如果不想提夸克或者弦理論的話)。如果我們有了這個信念，我們就可以將一個信號分解成不同的信號的疊加。

比如一個物理概念，力，按照作用效果來說，它可以被分解在不同的兩個方向，如果這兩個方向互相垂直的話，那么一個方向的分力在另一個方向上沒有效果，我們說這兩個方向是正交的，當(dāng)然，正交是一個數(shù)學(xué)概念。同樣的道理，一個函數(shù)，如果我們將它當(dāng)成一個矢量的話，我們也可以將之分解，關(guān)鍵問題是我們基于什么去分解它，在《碼分多址(CDMA)的本質(zhì)-正交之美》中，我們知道了正交多維矢量的概念，如果我們能找到一組正交的矢量，我們就可以將一個函數(shù)基于這組矢量進(jìn)行分解。

尋找正交矢量：

對于信號，如果我們想用諧波來表示它的話，我們最好基于不同的頻率將之進(jìn)行分解，那么接下來的問題就是尋找一個正交基，它可以表示不同的頻率的諧波。換句話說，我們希望用不同頻率的諧波的疊加來表示原始函數(shù)。我們也就是尋找一組函數(shù)I，使得下列正交條件成立：

由于簡諧波本身可以表示成三角函數(shù)，通過分析三角函數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)下面的I函數(shù)系列滿足正交條件：

表示：

既然有了表示方法，接下來就是確定a，b等系數(shù)了，這些系數(shù)其實(shí)就是f(x)在各個相互正交的三角函數(shù)“坐標(biāo)軸”上的分量，由于它們彼此都是正交的，我們能確定一個“坐標(biāo)軸”上的分量不會在其它坐標(biāo)軸上產(chǎn)生效果，因此它們的量是總的f(x)和該分量的乘積在區(qū)間a和b的積分，還記得公式

嗎？那是離散的情況，現(xiàn)在是它的連續(xù)情況！最終我們得到了系數(shù)b的表示法。所謂離散的情況和連續(xù)的情況區(qū)別僅在兩個符號：

離散的情況下，求和符號1直接相加了所有的項(xiàng)，而在連續(xù)的情況下，“一個項(xiàng)”需要由兩部分組成，即“積分表達(dá)式”和dx，每一個項(xiàng)都是這兩部分的乘積，并且各項(xiàng)的dx中的x是實(shí)數(shù)域的。

最終，我們得到了一個分解后的通用表示：

然后類比離散版的分量公式，求得了系數(shù)a和b，類比是次要的，重要的是：一個“坐標(biāo)軸”上的分量不會在其它坐標(biāo)軸上產(chǎn)生效果，因此它們的量是總的f(x)和該分量的乘積在區(qū)間a和b的積分 ：

傅里葉變換：

其實(shí)已經(jīng)說完了，以上的推導(dǎo)過程其實(shí)就是傅里葉變換，我們看得出，直到最后我才使用了積分公式，并且通篇沒有使用任何關(guān)于更深層的數(shù)學(xué)原理性的論述，我們發(fā)現(xiàn)，其實(shí)理解傅里葉變換并不需要太多數(shù)學(xué)，甚至都不需要微積分知識，你只需要直到一個道理：數(shù)學(xué)原理背后都有其物理模型，物理模型背后都有其現(xiàn)實(shí)解釋。

如果你確實(shí)將一個函數(shù)表示成了傅里葉級數(shù)，那么對于分析這個函數(shù)就太TM簡單了，以濾波為例，如果我們需要得到低頻信號，那么就可以將分量cosNx以后的全部丟掉，這樣，我們就可以得到任何頻率的信號了，N.1聲道的分頻自動就解決了。

傅里葉級數(shù)的現(xiàn)實(shí)解釋就是：任何一個信號都是多個周期信號疊加而成的。我們可以用我們學(xué)過的波的干涉原理來理解它，一個兩列簡諧波1,2疊加的波a，在任何時間點(diǎn)，波a的幅度都是波1和波2幅度的算術(shù)和！

后記：

碼分多址是將“碼”本身當(dāng)成了正交分量，而傅里葉級數(shù)卻將頻率當(dāng)成了正交分量，它們倆的本質(zhì)是相同的，唯一不同的就是對其的物理解釋不同，如果我做了一個離散版本的傅里葉變換，過濾了高頻信號，和碼分多址的沃爾什編碼相比較一下，它們的公式最終是一模一樣了。

只要我們將一個信號按照一定的物理解釋進(jìn)行分解，各種級數(shù)就都出來了，除了那些純數(shù)學(xué)的抽象解釋，泰勒級數(shù)遠(yuǎn)比傅里葉級數(shù)更抽象，但是大多數(shù)教科書都是先講泰勒級數(shù)，即使這樣，泰勒級數(shù)也是有背后物理原理的，那就是任何一個大的變化都是由小的變化漸變而成的，哲學(xué)上的解釋就是量變和質(zhì)變，我們有拐點(diǎn)和馬鞍面的概念！對一個函數(shù)的不斷求導(dǎo)其實(shí)就是挖掘它的變化層次，也就是最終有多少層的變化導(dǎo)致了最終函數(shù)曲線走向的變化。

本文沒有使用常規(guī)的方法且求解傅里葉級數(shù)系數(shù)，而是純粹從物理解釋方面上進(jìn)行形象化的解釋和求解。傳統(tǒng)的求解方式也比較簡單就是在式子(1)兩邊同時乘以一個coskx和sinkx分別求解a和b，這是一種純數(shù)學(xué)的求解方式。

審核編輯 ：李倩