控制系統微分方程是在時間域描述系統動態性能的數學模型,在給定外作用及初始條件下,求解微分方程可以得到系統的輸出響應。
應用微分方程列寫控制系統數學模型的方法比較直觀,對于復雜的高階微分方程,特別適合于計算機編程求解,采用迭代的方法循環計算一定時間后獲得輸出量波形曲線。缺點是系統結構改變或某個參數改變時,需要重新列寫并求解微分方程,才能獲得系統的性能指標數據,不方便系統的分析和設計。
用拉氏變換法求解線性系統微分方程時,可以獲得控制系統在復數域的數學模型,即傳遞函數,傳遞函數可以表征系統的動態性能,并且可以在不求系統輸出解的情況下,研究系統的結構或參數變化時系統性能指標,特別適合于不借助于計算機情況下分析和設計控制系統的性能,當然,也可以利用MATLAB進行系統性能分析,由此可見,傳遞函數是經典控制理論中最基本和最重要的概念。
1.傳遞函數概念
定義:線性定常系統的傳遞函數,定義為零初始條件下,系統輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比;
設線性定常系統的n階微分方程為:
這里,c(t)是系統輸出量,r(t)是系統輸入量,ai,bj是與系統結構和參數有關常系數;
在零初始條件下,即輸入量和輸出量及其各階導數在t=0時的值均為0;對上式兩側分別求取拉氏變換,可獲得s的代數方程為:
于是,可求出系統傳遞函數為:
已知RLC串聯無源網絡,求電容電壓Uo(s)與輸入電壓Ui(s)之間的傳遞函數
RLC網絡電容電壓微分方程為:
在零初始條件下,對上式中各項求拉氏變換,可得到關于s的代數方程,
令Uo(s)=L[Uo(t)],Ui(s)=L[Ui(t)],則關于s的代數方程為:
根據傳遞函數的定義,系統輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換比值為:
傳遞函數示意圖如下:
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