傳遞函數零點和極點

傳遞函數分子多項式和分母多項式經因式分解后可寫為如下形式：

Zi是分子多項式零點，稱為傳遞函數零點，Pj是分母多項式零點，稱為傳遞函數極點。系數K*=b0/a0稱為傳遞函數系數或根軌跡增益。

比較傳遞函數的一般表達式:

可知，根軌跡增益是分子和分母代數方程中最高階項對應的系數比值；

在復數平面上表示傳遞函數零點和極點的圖形，稱為傳遞函數的零極點分布圖。在圖中一般用O表示零點，用X表示極點；通過研究零極點分布圖可以分析任意參數變化所對應的系統性能指標。

傳遞函數的分子和分母多項式經因式分解后也可以寫為如下因式連乘積形式：

上式中，一次因子對應于實數零極點，二次因子對應于共軛復數零極點，τ和T為時間常數，ζ為阻尼比。

定義傳遞函數系數K為：

可知，分子分母分解為時間常數形式，增益是分子和分母代數方程中零階項對應的比值；

這里注意到，二次因子對應的共軛復數零極點的時間常數形式，與彈簧和RLC系統獲得二階微分方程很相似：

把彈簧阻尼系統的二階微分方程改寫為如下形式：

可知：

二階系統的標準形式中，時間τ與質量M呈現正相關性，質量M越大時間常數越大。從慣性原理的角度考慮，質量越大，慣性越大，物體運動加速度越小，震蕩頻率越低，時間常數就越大；

阻尼比ζ與阻尼系數f呈現正相關性，阻尼系數越大，阻尼比ζ越大。

阻尼比ζ與質量M呈現負相關性，當f一定時，質量M越大，阻尼比ζ越小。這個關系可以從慣性的角度理解，質量M大，說明慣性大，對于同樣大小的彈簧阻尼系數f，慣性越大的物體，在相等的時間內，使其由運動到停止所需要的彈簧阻尼系數f應該更大，即阻尼比ζ應該更大，而當彈簧阻尼系數f不變的情況下，慣性越大的物體由運動到停止所需要的時間更長，等效為阻尼比ζ相對于更大質量M來說產生的使物體從運動到停止的單位時間相對阻力更小。

傳遞函數極點和零點對輸出的影響：

傳遞函數的極點就是微分方程的特征根，因此它們決定了所描述系統的自由運動模態。

設某系統傳遞函數為：

可知，極點p1=-1,p2=-2,零點z1=-3.

自由運動模態為e-t和e-2t。當輸入r(t)=r1+r2e-5t時，可求出系統的零狀態響應為：

第一項輸出值為：

第二項輸出值為：

把兩個輸出值進行疊加獲得兩個輸入量的輸出響應：

上式中前一項包含了輸入量的模態，后一項包含了極點-1和-2產生的自由運動模態；

兩個不同的輸入函數都形成了自由運動模態，說明自由運動模態是系統固有的成分，與輸入函數形式無關；但是，如果沒有輸入量，也就不會產生自由模態，因此，可以認為自由模態是由輸入函數激發而形成的。

傳遞函數的零點不形成自由模態，但影響著各個自由模態在輸出響應中的模態系數。

設兩個極點相同零點不同的傳遞函數：

極點都是-1，-2，零點分別為-0.5和-1.33.

求傳遞函數的單位階躍響應：

上式說明，兩個不同零點的系統，相同的自由模態對應的模態系數不相同。

在極點相同情況下，零點接近原點且距離兩個極點的距離都比較遠，對應的兩個模態的系數大，反之，零點遠離原點且距離兩個極點距離較近，對應的兩個模態的系數小；

上圖為兩個輸出響應曲線

極點靠近原點，自由模態衰減慢，極點遠離原點，自由模態衰減快；當零點位于兩個極點之間時，運動模態系數符號都為負，系統不會產生過沖。

當零點位于兩個極點右側時，靠近零點的自由運動模態系數為正，由于極點靠近原點，衰減速度慢，所以在曲線上表現為過沖衰減。