位操作（Bit Manipulation）可以有很多技巧，有一個叫做 Bit Twiddling Hacks 的網(wǎng)站收集了幾乎所有位操作的黑科技玩法

但是這些技巧大部分都過于晦澀，我覺得可以作為字典查閱，沒必要逐條深究。但我認(rèn)為那些有趣的、有用的位運算技巧，是我們每個人需要掌握的。

所以本文由淺入深，先展示幾個有趣（但沒卵用）的位運算技巧，然后再匯總幾個在算法題以及工程開發(fā)中常用的位運算技巧。

幾個有趣的位操作

利用或操作`|`和空格將英文字符轉(zhuǎn)換為小寫

('a'|'')='a'
('A'|'')='a'

利用與操作`&`和下劃線將英文字符轉(zhuǎn)換為大寫

('b'&'_')='B'
('B'&'_')='B'

利用異或操作`^`和空格進行英文字符大小寫互換

('d'^'')='D'
('D'^'')='d'

以上操作能夠產(chǎn)生奇特效果的原因在于 ASCII 編碼。ASCII 字符其實就是數(shù)字，恰巧空格和下劃線對應(yīng)的數(shù)字通過位運算就能改變大小寫。有興趣的讀者可以查 ASCII 碼表自己算算，本文就不展開講了。

不用臨時變量交換兩個數(shù)

inta=1,b=2;
a^=b;
b^=a;
a^=b;
//現(xiàn)在a=2,b=1

加一

intn=1;
n=-~n;
//現(xiàn)在n=2

減一

intn=2;
n=~-n;
//現(xiàn)在n=1

判斷兩個數(shù)是否異號

intx=-1,y=2;
booleanf=((x^y)

	

	如果說前 6 個技巧的用處不大，這第 7 個技巧還是比較實用的，利用的是補碼編碼的符號位。整數(shù)編碼最高位是符號位，負(fù)數(shù)的符號位是 1，非負(fù)數(shù)的符號位是 0，再借助異或的特性，可以判斷出兩個數(shù)字是否異號。

	當(dāng)然，如果不用位運算來判斷是否異號，需要使用 if else 分支，還挺麻煩的。你可能想利用乘積來判斷兩個數(shù)是否異號，但是這種處理方式容易造成整型溢出，從而出現(xiàn)錯誤。

	index & (arr.length - 1) 的運用

	我在單調(diào)棧解題套路中介紹過環(huán)形數(shù)組，其實就是利用求模（余數(shù)）的方式讓數(shù)組看起來頭尾相接形成一個環(huán)形，永遠都走不完：

	
int[]arr={1,2,3,4};
intindex=0;
while(true){
//在環(huán)形數(shù)組中轉(zhuǎn)圈
print(arr[index%arr.length]);
index++;
}
//輸出：1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4...


	

	但模運算%對計算機來說其實是一個比較昂貴的操作，所以我們可以用&運算來求余數(shù)：

	
int[]arr={1,2,3,4};
intindex=0;
while(true){
//在環(huán)形數(shù)組中轉(zhuǎn)圈
print(arr[index&(arr.length-1)]);
index++;
}
//輸出：1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4...


	

	簡單說，& (arr.length - 1)這個位運算能夠替代% arr.length的模運算，性能會更好一些。

	那問題來了，現(xiàn)在是不斷地index++，你做到了循環(huán)遍歷。但如果不斷地index--，還能做到環(huán)形數(shù)組的效果嗎？

	答案是，如果你使用%求模的方式，那么當(dāng)index小于 0 之后求模的結(jié)果也會出現(xiàn)負(fù)數(shù)，你需要特殊處理。但通過&與運算的方式，index不會出現(xiàn)負(fù)數(shù)，依然可以正常工作：

	
int[]arr={1,2,3,4};
intindex=0;
while(true){
//在環(huán)形數(shù)組中轉(zhuǎn)圈
print(arr[index&(arr.length-1)]);
index--;
}
//輸出：1,4,3,2,1,4,3,2,1,4,3,2,1...


	

	我們自己寫代碼一般用不到這個技巧，但在學(xué)習(xí)一些其他代碼庫時可能會經(jīng)常看到，這里留個印象，到時候就不會懵逼了。

	n & (n-1) 的運用

	n & (n-1)這個操作在算法中比較常見，作用是消除數(shù)字n的二進制表示中的最后一個 1。

	看個圖就很容易理解了：

	

	其核心邏輯就是，n - 1一定可以消除最后一個 1，同時把其后的 0 都變成 1，這樣再和n做一次&運算，就可以僅僅把最后一個 1 變成 0 了。

	1、計算漢明權(quán)重（Hamming Weight）

	這是力扣第 191 題「位 1 的個數(shù)」：

	

	就是讓你返回n的二進制表示中有幾個 1。因為n & (n - 1)可以消除最后一個 1，所以可以用一個循環(huán)不停地消除 1 同時計數(shù)，直到n變成 0 為止。

	
inthammingWeight(intn){
intres=0;
while(n!=0){
n=n&(n-1);
res++;
}
returnres;
}


	

	2、判斷一個數(shù)是不是 2 的指數(shù)

	力扣第 231 題「2 的冪」就是這個問題。

	一個數(shù)如果是 2 的指數(shù)，那么它的二進制表示一定只含有一個 1：

	
2^0=1=0b0001
2^1=2=0b0010
2^2=4=0b0100


	

	如果使用n & (n-1)的技巧就很簡單了（注意運算符優(yōu)先級，括號不可以省略）：

	
booleanisPowerOfTwo(intn){
if(n<=?0)?return?false;
????return?(n?&?(n?-?1))?==?0;
}


	

	a ^ a = 0 的運用

	異或運算的性質(zhì)是需要我們牢記的：

	一個數(shù)和它本身做異或運算結(jié)果為 0，即a ^ a = 0；一個數(shù)和 0 做異或運算的結(jié)果為它本身，即a ^ 0 = a。

	1、查找只出現(xiàn)一次的元素

	這是力扣第 136 題「只出現(xiàn)一次的數(shù)字」：

	

	對于這道題目，我們只要把所有數(shù)字進行異或，成對兒的數(shù)字就會變成 0，落單的數(shù)字和 0 做異或還是它本身，所以最后異或的結(jié)果就是只出現(xiàn)一次的元素：

	
intsingleNumber(int[]nums){
intres=0;
for(intn:nums){
res^=n;
}
returnres;
}


	

	2、尋找缺失的元素

	這是力扣第 268 題「丟失的數(shù)字」：

	

	給一個長度為n的數(shù)組，其索引應(yīng)該在[0,n)，但是現(xiàn)在你要裝進去n + 1個元素[0,n]，那么肯定有一個元素裝不下嘛，請你找出這個缺失的元素。

	這道題不難的，我們應(yīng)該很容易想到，把這個數(shù)組排個序，然后遍歷一遍，不就很容易找到缺失的那個元素了嗎？

	或者說，借助數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的特性，用一個 HashSet 把數(shù)組里出現(xiàn)的數(shù)字都儲存下來，再遍歷[0,n]之間的數(shù)字，去 HashSet 中查詢，也可以很容易查出那個缺失的元素。

	排序解法的時間復(fù)雜度是 O(NlogN)，HashSet 的解法時間復(fù)雜度是 O(N)，但是還需要 O(N) 的空間復(fù)雜度存儲 HashSet。

	這個問題其實還有一個特別簡單的解法：等差數(shù)列求和公式。

	題目的意思可以這樣理解：現(xiàn)在有個等差數(shù)列0, 1, 2,..., n，其中少了某一個數(shù)字，請你把它找出來。那這個數(shù)字不就是sum(0,1,..n) - sum(nums)嘛？

	
intmissingNumber(int[]nums){
intn=nums.length;
//雖然題目給的數(shù)據(jù)范圍不大，但嚴(yán)謹(jǐn)起見，用long類型防止整型溢出
//求和公式：(首項+末項)*項數(shù)/ 2
longexpect=(0+n)*(n+1)/2;
longsum=0;
for(intx:nums){
sum+=x;
}
return(int)(expect-sum);
}


	

	不過，本文的主題是位運算，我們來講講如何利用位運算技巧來解決這道題。

	再回顧一下異或運算的性質(zhì)：一個數(shù)和它本身做異或運算結(jié)果為 0，一個數(shù)和 0 做異或運算還是它本身。

	而且異或運算滿足交換律和結(jié)合律，也就是說：

	
2^3^2=3^(2^2)=3^0=3


	

	而這道題索就可以通過這些性質(zhì)巧妙算出缺失的那個元素，比如說nums = [0,3,1,4]：

	

	為了容易理解，我們假設(shè)先把索引補一位，然后讓每個元素和自己相等的索引相對應(yīng)：

	

	這樣做了之后，就可以發(fā)現(xiàn)除了缺失元素之外，所有的索引和元素都組成一對兒了，現(xiàn)在如果把這個落單的索引 2 找出來，也就找到了缺失的那個元素。

	如何找這個落單的數(shù)字呢，只要把所有的元素和索引做異或運算，成對兒的數(shù)字都會消為 0，只有這個落單的元素會剩下，也就達到了我們的目的：

	
intmissingNumber(int[]nums){
intn=nums.length;
intres=0;
//先和新補的索引異或一下
res^=n;
//和其他的元素、索引做異或
for(inti=0;i

	

	由于異或運算滿足交換律和結(jié)合律，所以總是能把成對兒的數(shù)字消去，留下缺失的那個元素。

	到這里，常見的位運算差不多都講完了。這些技巧就是會者不難難者不會，也不需要死記硬背，只要有個印象就完全夠用了。

	




	審核編輯：劉清