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這是好久之前的一篇文章 [學習數據結構的框架思維]的修訂版。之前那篇文章收到廣泛好評，沒看過也沒關系，這篇文章會涵蓋之前的所有內容，并且會舉很多代碼的實例，談談如何使用框架思維，并且給對于算法無從下手的朋友給一點具體可執行的刷題建議。

首先，這里講的都是普通的數據結構和算法，咱不是搞競賽的，野路子出生，只解決常規的問題，以面試為最終目標。另外，以下是我個人的經驗的總結，沒有哪本算法書會寫這些東西，所以請讀者試著理解我的角度，別糾結于細節問題，因為這篇文章就是對數據結構和算法建立一個框架性的認識。

從整體到細節，自頂向下，從抽象到具體的框架思維是通用的，不只是學習數據結構和算法，學習其他任何知識都是高效的。

先說數據結構，然后再說算法。

一、數據結構的存儲方式

數據結構的存儲方式只有兩種： 數組（順序存儲）和鏈表（鏈式存儲） 。

這句話怎么理解，不是還有散列表、棧、隊列、堆、樹、圖等等各種數據結構嗎？

我們分析問題，一定要有遞歸的思想，自頂向下，從抽象到具體。你上來就列出這么多，那些都屬于「上層建筑」，而數組和鏈表才是「結構基礎」。因為那些多樣化的數據結構，究其源頭，都是在鏈表或者數組上的特殊操作，API 不同而已。

比如說 「隊列 」、 「棧」 這兩種數據結構既可以使用鏈表也可以使用數組實現。用數組實現，就要處理擴容縮容的問題；用鏈表實現，沒有這個問題，但需要更多的內存空間存儲節點指針。

「圖」 的兩種表示方法，鄰接表就是鏈表，鄰接矩陣就是二維數組。鄰接矩陣判斷連通性迅速，并可以進行矩陣運算解決一些問題，但是如果圖比較稀疏的話很耗費空間。鄰接表比較節省空間，但是很多操作的效率上肯定比不過鄰接矩陣。

「散列表」 就是通過散列函數把鍵映射到一個大數組里。而且對于解決散列沖突的方法，拉鏈法需要鏈表特性，操作簡單，但需要額外的空間存儲指針；線性探查法就需要數組特性，以便連續尋址，不需要指針的存儲空間，但操作稍微復雜些。

「樹」 ，用數組實現就是「堆」，因為「堆」是一個完全二叉樹，用數組存儲不需要節點指針，操作也比較簡單；用鏈表實現就是很常見的那種「樹」，因為不一定是完全二叉樹，所以不適合用數組存儲。為此，在這種鏈表「樹」結構之上，又衍生出各種巧妙的設計，比如二叉搜索樹、AVL 樹、紅黑樹、區間樹、B 樹等等，以應對不同的問題。

了解 Redis 數據庫的朋友可能也知道，Redis 提供列表、字符串、集合等等幾種常用數據結構，但是對于每種數據結構，底層的存儲方式都至少有兩種，以便于根據存儲數據的實際情況使用合適的存儲方式。

綜上，數據結構種類很多，甚至你也可以發明自己的數據結構，但是底層存儲無非數組或者鏈表， 二者的優缺點如下 ：

數組由于是緊湊連續存儲,可以隨機訪問，通過索引快速找到對應元素，而且相對節約存儲空間。但正因為連續存儲，內存空間必須一次性分配夠，所以說數組如果要擴容，需要重新分配一塊更大的空間，再把數據全部復制過去，時間復雜度 O(N)；而且你如果想在數組中間進行插入和刪除，每次必須搬移后面的所有數據以保持連續，時間復雜度 O(N)。

鏈表因為元素不連續，而是靠指針指向下一個元素的位置，所以不存在數組的擴容問題；如果知道某一元素的前驅和后驅，操作指針即可刪除該元素或者插入新元素，時間復雜度 O(1)。但是正因為存儲空間不連續，你無法根據一個索引算出對應元素的地址，所以不能隨機訪問；而且由于每個元素必須存儲指向前后元素位置的指針，會消耗相對更多的儲存空間。

二、數據結構的基本操作

對于任何數據結構，其基本操作無非遍歷 + 訪問，再具體一點就是：增刪查改。

數據結構種類很多，但它們存在的目的都是在不同的應用場景，盡可能高效地增刪查改 。話說這不就是數據結構的使命么？

如何遍歷 + 訪問？我們仍然從最高層來看，各種數據結構的遍歷 + 訪問無非兩種形式：線性的和非線性的。

線性就是 for/while 迭代為代表，非線性就是遞歸為代表。再具體一步，無非以下幾種框架：

數組遍歷框架，典型的線性迭代結構：

void traverse(int[] arr) {
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
        // 迭代訪問 arr[i]
    }
}

鏈表遍歷框架，兼具迭代和遞歸結構：

/* 基本的單鏈表節點 */
class ListNode {
    int val;
    ListNode next;
}

void traverse(ListNode head) {
    for (ListNode p = head; p != null; p = p.next) {
        // 迭代訪問 p.val
    }
}

void traverse(ListNode head) {
    // 遞歸訪問 head.val
    traverse(head.next)
}

二叉樹遍歷框架，典型的非線性遞歸遍歷結構：

/* 基本的二叉樹節點 */
class TreeNode {
    int val;
    TreeNode left, right;
}

void traverse(TreeNode root) {
    traverse(root.left)
    traverse(root.right)
}

你看二叉樹的遞歸遍歷方式和鏈表的遞歸遍歷方式，相似不？再看看二叉樹結構和單鏈表結構，相似不？如果再多幾條叉，N 叉樹你會不會遍歷？

二叉樹框架可以擴展為 N 叉樹的遍歷框架：

/* 基本的 N 叉樹節點 */
class TreeNode {
    int val;
    TreeNode[] children;
}

void traverse(TreeNode root) {
    for (TreeNode child : root.children)
        traverse(child)
}

N 叉樹的遍歷又可以擴展為圖的遍歷，因為圖就是好幾 N 叉棵樹的結合體。你說圖是可能出現環的？這個很好辦，用個布爾數組 visited 做標記就行了，這里就不寫代碼了。

所謂框架，就是套路。不管增刪查改，這些代碼都是永遠無法脫離的結構，你可以把這個結構作為大綱，根據具體問題在框架上添加代碼就行了，下面會具體舉例。

三、算法刷題指南

首先要明確的是， 數據結構是工具，算法是通過合適的工具解決特定問題的方法 。也就是說，學習算法之前，最起碼得了解那些常用的數據結構，了解它們的特性和缺陷。

那么該如何在 LeetCode 刷題呢？之前的文章 [算法學習之路]寫過一些，什么按標簽刷，堅持下去云云。現在距那篇文章已經過去將近一年了，我不想說那些不痛不癢的話了，直接說具體的建議：

先刷二叉樹，先刷二叉樹，先刷二叉樹 ！

這是我這刷題的親身體會，下圖是我從 2018/10 到 2019/10 這一年的心路歷程：

公眾號文章的閱讀數據顯示，大部分人對數據結構相關的算法文章不感興趣，而是更關心動規回溯分治等等技巧。為什么要先刷二叉樹呢， 因為二叉樹是最容易培養框架思維的，而且大部分算法技巧，本質上都是樹的遍歷問題 。

刷二叉樹看到題目沒思路？根據很多讀者的問題，其實大家不是沒思路，只是沒有理解我們說的「框架」是什么。 不要小看這幾行破代碼，幾乎所有二叉樹的題目都是一套這個框架就出來了 。

void traverse(TreeNode root) {
    // 前序遍歷
    traverse(root.left)
    // 中序遍歷
    traverse(root.right)
    // 后序遍歷
}

比如說我隨便拿幾道題的解法出來，不用管具體的代碼邏輯，只要看看框架在其中是如何發揮作用的就行。

LeetCode 124 題，難度 Hard，讓你求二叉樹中最大路徑和，主要代碼如下：

看出來了嗎，這就是個后序遍歷嘛。

LeetCode 105 題，難度 Medium，讓你根據前序遍歷和中序遍歷的結果還原一棵二叉樹，很經典的問題吧，主要代碼如下：

不要看這個函數的參數很多，只是為了控制數組索引而已，本質上該算法也就是一個前序遍歷。

LeetCode 99 題，難度 Hard，恢復一棵 BST，主要代碼如下：

這不就是個中序遍歷嘛，對于一棵 BST 中序遍歷意味著什么，應該不需要解釋了吧。

你看，Hard 難度的題目不過如此，而且還這么有規律可循，只要把框架寫出來，然后往相應的位置加東西就行了，這不就是思路嗎。

剛開始刷二叉樹的題目，前 10 道也許有點難受；結合框架再做 20 道，也許你就有點自己的理解了；刷完整個專題，再去做什么回溯動規分治專題，你就會發現只要涉及遞 歸的問題，都是樹的問題 。

直接舉例吧，說幾道我們之前文章寫過的問題。

[動態規劃詳解]說過湊零錢問題，暴力解法就是遍歷一棵 N 叉樹：

def coinChange(coins: List[int], amount: int):

    def dp(n):
        if n == 0: return 0
        if n < 0: return -1

        res = float('INF')
        for coin in coins:
            subproblem = dp(n - coin)
            # 子問題無解，跳過
            if subproblem == -1: continue
            res = min(res, 1 + subproblem)
        return res if res != float('INF') else -1

    return dp(amount)

這么多代碼看不懂咋辦？直接提取出框架，就能看出核心思路了：

# 不過是一個 N 叉樹的遍歷問題而已
def dp(n):
    for coin in coins:
        dp(n - coin)

其實很多動態規劃問題就是在遍歷一棵樹，你如果對樹的遍歷操作爛熟于心，起碼知道怎么把思路轉化成代碼，也知道如何提取別人解法的核心思路。

再看看回溯算法，前文 [回溯算法詳解]干脆直接說了，回溯算法就是個 N 叉樹的前后序遍歷問題，沒有例外。

比如 N 皇后問題吧，主要代碼如下：

void backtrack(int[] nums, LinkedList) {
    if (track.size() == nums.length) {
        res.add(new LinkedList(track));
        return;
    }

    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        if (track.contains(nums[i]))
            continue;
        track.add(nums[i]);
        // 進入下一層決策樹
        backtrack(nums, track);
        track.removeLast();
    }

/* 提取出 N 叉樹遍歷框架 */
void backtrack(int[] nums, LinkedList) {
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        backtrack(nums, track);
}