本文研究了奈奎斯特-香農采樣定理的一個重要方面，并解釋了它與模數轉換中抗混疊濾波器需求的聯系。

到目前為止，我們已經探討了奈奎斯特-香農定理的理論基礎，包括頻域對采樣的影響。然后我們談到了這些基本原則如何應用于現實生活中的電路設計——具體來說，解決了 現實生活中混合信號系統中過采樣的重要性。

在整個系列中，我使用的采樣定理版本指出，當采樣率等于或大于原始信號中最高頻率的兩倍時，完美重建是可能的——不是感興趣的頻率，也不是主頻率，但頻率 最高 。

這個看似無害的小細節實際上在理論采樣和現實生活中的 A/D 轉換之間造成了重大裂痕。

您的信號的最高頻率是多少?

采樣定理的第一個問題是您永遠無法以最高頻率的兩倍進行采樣：由于熱噪聲在太赫茲范圍內具有恒定的功率譜密度，每個信號的帶寬都遠遠超過模擬信號的能力- 到數字轉換器。

當然，我并不是說所有信號在 1 THz 下都有一點噪聲，因此混合信號電子設備不存在。相反，我試圖戲劇性地證明不可能查看信號的傅里葉變換，繪制一條垂直線，并聲明該線右側的頻譜完全為空。

噪聲、干擾和自然現象的逐漸變化特征都會導致信號頻譜沒有容易識別的最高頻率。

高頻元件和混疊

為什么我們不能忽略那些麻煩的頻率分量呢?我們不打算將它們數字化，我們不需要分析或記錄它們——讓我們忘記它們并根據我們想要的頻率選擇采樣率吧!

我希望事情就這么簡單，但我們必須記住，當模擬輸入頻率超過采樣頻率的一半時會導致混疊——順便說一下，這有時被稱為折疊頻率，因為高于該頻率的分量會圍繞采樣頻率折疊從而與原始光譜重疊。我們不能簡單地忽略折疊頻率以上的成分，因為它們會與感興趣的頻率混合，從而消除我們完美重建原始信號的能力。

考慮下圖：

假設頻譜的主要鐘形部分包含感興趣的頻率，逐漸向零衰減的低幅度尾部代表不重要的高頻分量。

該系統中選擇的采樣率足以捕獲感興趣的頻率，但我們不能忽略不重要的頻率，因為混疊會導致不重要的頻率延伸到我們想要準確重建的頻譜部分并使其失真。

然而，這種忽略不重要頻率的想法實際上是我們如何在工程系統中處理這個問題的基礎。歸根結底，我們必須忽略不需要的高頻，因為我們無法完全消除它們。但在我們忽略它們之前，我們至少應該做出一些努力來減輕它們對系統性能的有害影響。

這就是抗混疊濾波器發揮作用的地方。

采樣前過濾

香農采樣定理指定了相對于信號最高頻率的最小可接受采樣率。另一種說法是，香農給了我們帶限信號的采樣率要求，即傅立葉變換具有可識別上限的信號。

我們在物理電路中發現的信號并不是真正的帶限信號，但我們無論如何都要對它們進行采樣，因此，我們將嘗試使它們成為帶限信號。這就是抗混疊濾波器的目的。

通過在采樣前讓信號通過低通濾波器，我們可以衰減指定頻率以上的頻譜內容，從而創建頻率上限。

信號不會完全受限，因為現實生活中的濾波器不會在截止頻率以上產生無限衰減。然而，它可以足夠接近帶寬限制：混疊會發生，但它對整體系統性能的影響可以忽略不計。

我們如何選擇截止頻率?

這將取決于各種因素。一般的想法是保留頻譜的重要部分并抑制不重要的部分。然后，您可以根據希望將混疊到感興趣的頻譜中的頻率分量衰減多少來選擇 ADC 采樣率。

假設您正在為抗混疊濾波器使用一階RC 低通濾波器，截止頻率為 20 kHz。頻率響應如下所示：

如果您以 100 kHz 采樣，則折疊頻率為 50 kHz：高于 50 kHz 的所有頻率都會導致混疊誤差。因此，使用這個濾波器，“混疊帶”將有 9 dB 的最小衰減。

夠了嗎?

這個問題沒有簡單的答案，無論如何，答案取決于系統要求。

盡管如此，我的工程直覺告訴我，我們應該努力將混疊帶的幅度降低至少一個數量級。這個一階 RC 濾波器在 200 kHz 時為我們提供 20 dB 的衰減，因此我們需要以 400 kHz 進行采樣。在我喜歡使用的 ADC 的背景下，這是一個相當高的采樣率——即那些可以方便地集成到微控制器中的 ADC 。因此，我可能不得不放寬衰減要求，或者我可以考慮為抗混疊濾波器使用二階拓撲。

結論

顧名思義，抗混疊濾波器可減少我們對信號進行采樣時發生的混疊量。他們通過抑制折疊頻率以上的頻譜內容來做到這一點，從而使現實生活中的信號與香農采樣定理適用的帶限信號更加一致。

雖然您可以通過提高采樣率來降低抗混疊濾波器的重要性，但我認為在您的 ADC 電路中始終至少包含一個基本 RC 濾波器是一種很好的做法。

審核編輯：湯梓紅