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小波變換“變換”的是什么東西

FPGA之家 ? 來(lái)源:FPGA之家 ? 2023-05-22 09:11 ? 次閱讀

記得我還在大四的時(shí)候,在申請(qǐng)出國(guó)和保研中猶豫了好一陣,骨子里的保守最后讓我選擇了先保研。當(dāng)然后來(lái)也退學(xué)了,不過(guò)這是后話。當(dāng)時(shí)保研就要找老板,實(shí)驗(yàn)室,自己運(yùn)氣還不錯(cuò),進(jìn)了一個(gè)在本校很牛逼的實(shí)驗(yàn)室干活路。我們實(shí)驗(yàn)室主要是搞圖像的,實(shí)力在全國(guó)也是很強(qiáng)的,進(jìn)去后和師兄師姐聊,大家都在搞什么小波變換,H264之類的。當(dāng)時(shí)的我心思都不在這方面,盡搞什么操作系統(tǒng)移植,ARM+FPGA這些東西了。對(duì)小波變換的認(rèn)識(shí)也就停留在神秘的“圖像視頻壓縮算法之王”上面。

后來(lái)我才發(fā)現(xiàn),在別的很廣泛的領(lǐng)域中,小波也逐漸開始流行。比如話說(shuō)很早以前,我們接觸的信號(hào)頻域處理基本都是傅立葉和拉普拉斯的天下。但這些年,小波在信號(hào)分析中的逐漸興盛和普及。這讓人不得不感到好奇,是什么特性讓它在圖象壓縮,信號(hào)處理這些關(guān)鍵應(yīng)用中更得到信賴呢?說(shuō)實(shí)話,我還在國(guó)內(nèi)的時(shí)候,就開始好奇這個(gè)問(wèn)題了,于是放狗搜,放毒搜,找遍了中文講小波變換的科普文章,發(fā)現(xiàn)沒(méi)幾個(gè)講得清楚的,當(dāng)時(shí)好奇心沒(méi)那么重,也不是搞這個(gè)研究的,懶得找英文大部頭論文了,于是作罷。后來(lái)來(lái)了這邊,有些項(xiàng)目要用信號(hào)處理,不得已接觸到一些小波變換的東西,才開始硬著頭皮看。看了一些材料,聽了一些課,才發(fā)現(xiàn),還是那個(gè)老生常談的論調(diào):國(guó)外的技術(shù)資料和國(guó)內(nèi)真TNND不是一個(gè)檔次的。同樣的事情,別人說(shuō)得很清楚,連我這種并不聰明的人也看得懂; 國(guó)內(nèi)的材料則繞來(lái)繞去講得一塌糊涂,除了少數(shù)天才沒(méi)幾個(gè)人能在短時(shí)間掌握的。

牢騷就不繼續(xù)發(fā)揮了。在這個(gè)系列文章里,我希望能簡(jiǎn)單介紹一下小波變換,它和傅立葉變換的比較,以及它在移動(dòng)平臺(tái)做motiondetection的應(yīng)用。如果不做特殊說(shuō)明,均以離散小波為例子。考慮到我以前看中文資料的痛苦程度,我會(huì)盡量用簡(jiǎn)單,但是直觀的方式去介紹。有些必要的公式是不能少的,但我盡量少用公式,多用圖。另外,我不是一個(gè)好的翻譯者,所以對(duì)于某些實(shí)在翻譯不清楚的術(shù)語(yǔ),我就會(huì)直接用英語(yǔ)。我并不claim我會(huì)把整個(gè)小波變換講清楚,這是不可能的事,我只能盡力去圍繞要點(diǎn)展開,比如小波變換相對(duì)傅立葉變換的好處,這些好處的原因是什么,小波變換的幾個(gè)根本性質(zhì)是什么,背后的推導(dǎo)是什么。我希望達(dá)到的目的就是一個(gè)小波變換的初學(xué)者在看完這個(gè)系列之后,就能用matlab或者別的工具對(duì)信號(hào)做小波變換的基本分析并且知道這個(gè)分析大概是怎么回事。

最后說(shuō)明,我不是研究信號(hào)處理的專業(yè)人士,所以文中必有疏漏或者錯(cuò)誤,如發(fā)現(xiàn)還請(qǐng)不吝賜教。

要講小波變換,我們必須了解傅立葉變換。要了解傅立葉變換,我們先要弄清楚什么是”變換“。很多處理,不管是壓縮也好,濾波也好,圖形處理也好,本質(zhì)都是變換。變換的是什么東西呢?是基,也就是basis。如果你暫時(shí)有些遺忘了basis的定義,那么簡(jiǎn)單說(shuō),在線性代數(shù)里,basis是指空間里一系列線性獨(dú)立的向量,而這個(gè)空間里的任何其他向量,都可以由這些個(gè)向量的線性組合來(lái)表示。那basis在變換里面啥用呢?比如說(shuō)吧,傅立葉展開的本質(zhì),就是把一個(gè)空間中的信號(hào)用該空間的某個(gè)basis的線性組合表示出來(lái),要這樣表示的原因,是因?yàn)楦盗⑷~變換的本質(zhì),是。小波變換自然也不例外的和basis有關(guān)了。再比如你用Photoshop去處理圖像,里面的圖像拉伸,反轉(zhuǎn),等等一系列操作,都是和basis的改變有關(guān)。

既然這些變換都是在搞基,那我們自然就容易想到,這個(gè)basis的選取非常重要,因?yàn)閎asis的特點(diǎn)決定了具體的計(jì)算過(guò)程。一個(gè)空間中可能有很多種形式的basis,什么樣的basis比較好,很大程度上取決于這個(gè)basis服務(wù)于什么應(yīng)用。比如如果我們希望選取有利于壓縮的話,那么就希望這個(gè)basis能用其中很少的向量來(lái)最大程度地表示信號(hào),這樣即使把別的向量給砍了,信號(hào)也不會(huì)損失很多。而如果是圖形處理中常見的線性變換,最省計(jì)算量的完美basis就是eigenvector basis了,因?yàn)榇藭r(shí)變換矩陣T對(duì)它們的作用等同于對(duì)角矩陣( Tv_n = av_n,a是eigenvalue )。總的來(lái)說(shuō),拋開具體的應(yīng)用不談,所有的basis,我們都希望它們有一個(gè)共同的特點(diǎn),那就是,容易計(jì)算,用最簡(jiǎn)單的方式呈現(xiàn)最多的信號(hào)特性。

好,現(xiàn)在我們對(duì)變換有了基本的認(rèn)識(shí),知道他們其實(shí)就是在搞基。當(dāng)然,搞基也是分形式的,不同的變換,搞基的妙處各有不同。接下來(lái)先看看,傅立葉變換是在干嘛。

傅立葉級(jí)數(shù)最早是Joseph Fourier 這個(gè)人提出的,他發(fā)現(xiàn),這個(gè)basis不僅僅存在與vector space,還存在于function space。這個(gè)function space本質(zhì)上還是一個(gè)linear vector space,可以是有限的,可以是無(wú)限的,只不過(guò)在這個(gè)空間里,vector就是function了,而對(duì)應(yīng)的標(biāo)量就是實(shí)數(shù)或者復(fù)數(shù)。在vector space里,你有vector v可以寫成vector basis的線性組合,那在function space里,function f(x)也可以寫成對(duì)應(yīng)function basis的線性組合,也有norm。你的vector basis可以是正交的,我的function basis也可以是正交的(比如sin(t)和sin(2t))。唯一不同的是,我的function basis是無(wú)窮盡的,因?yàn)槲业膄unction space的維度是無(wú)窮的。好,具體來(lái)說(shuō),那就是現(xiàn)在我們有一個(gè)函數(shù),f(x)。我們希望將它寫成一些cos函數(shù)和一些sin函數(shù)的形式,像這樣

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again,這是一個(gè)無(wú)限循環(huán)的函數(shù)。其中的1,cosx, sinx, cos2x …..這些,就是傅立葉級(jí)數(shù)。傅立葉級(jí)數(shù)應(yīng)用如此廣泛的主要原因之一,就是它們這幫子function basis是正交的,這就是有趣的地方了。為什么function basis正交如此重要呢?我們說(shuō)兩個(gè)vector正交,那就是他倆的內(nèi)積為0。那對(duì)于function basis呢?function basis怎么求內(nèi)積呢?

現(xiàn)在先復(fù)習(xí)一下vector正交的定義。我們說(shuō)兩個(gè)vector v,w如果正交的話,應(yīng)符合:

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那什么是function正交呢?假設(shè)我們有兩個(gè)函數(shù)f(x)和g(x),那是什么?我們遵循vector的思路去想,兩個(gè)vector求內(nèi)積,就是把他們相同位置上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的乘積做一個(gè)累加。那移過(guò)來(lái),就是對(duì)每一個(gè)x點(diǎn),對(duì)應(yīng)的f和g做乘積,再累加。不過(guò)問(wèn)題是,f和g都是無(wú)限函數(shù)阿,x又是一個(gè)連續(xù)的值。怎么辦呢?向量是離散的,所以累加,函數(shù)是連續(xù)的,那就是…….積分!

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我們知道函數(shù)內(nèi)積是這樣算的了,自然也就容易證明,按照這個(gè)形式去寫的傅立葉展開,這些級(jí)數(shù)確實(shí)都是兩兩正交的。證明過(guò)程這里就不展開了。好,下一個(gè)問(wèn)題就是,為什么它們是正交basis如此重要呢?這就牽涉到系數(shù)的求解了。我們研究了函數(shù)f,研究了級(jí)數(shù),一堆三角函數(shù)和常數(shù)1,那系數(shù)呢?a0, a1, a2這些系數(shù)該怎么確定呢?好,比如我這里準(zhǔn)備求a1了。我現(xiàn)在知道什么?信號(hào)f(x)是已知的,傅立葉級(jí)數(shù)是已知的,我們?cè)趺辞骯1呢?很簡(jiǎn)單,把方程兩端的所有部分都求和cosx的內(nèi)積,即:

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然后我們發(fā)現(xiàn),因?yàn)檎坏男再|(zhì),右邊所有非a1項(xiàng)全部消失了,因?yàn)樗麄兒蚦osx的內(nèi)積都是0!所有就簡(jiǎn)化為

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這樣,a1就求解出來(lái)了。到這里,你就看出正交的奇妙性了吧:)

好,現(xiàn)在我們知道,傅立葉變換就是用一系列三角波來(lái)表示信號(hào)方程的展開,這個(gè)信號(hào)可以是連續(xù)的,可以是離散的。傅立葉所用的function basis是專門挑選的,是正交的,是利于計(jì)算coefficients的。但千萬(wàn)別誤解為展開變換所用的basis都是正交的,這完全取決于具體的使用需求,比如泰勒展開的basis就只是簡(jiǎn)單的非正交多項(xiàng)式。

有了傅立葉變換的基礎(chǔ),接下來(lái),我們就看看什么是小波變換。首先來(lái)說(shuō)說(shuō)什么是小波。所謂波,就是在時(shí)間域或者空間域的震蕩方程,比如正弦波,就是一種波。什么是波分析?針對(duì)波的分析拉(囧)。并不是說(shuō)小波分析才屬于波分析,傅立葉分析也是波分析,因?yàn)檎也ㄒ彩且环N波嘛。那什么是小波呢?這個(gè)”小“,是針對(duì)傅立葉波而言的。傅立葉所用的波是什么?正弦波,這玩意以有著無(wú)窮的能量,同樣的幅度在整個(gè)無(wú)窮大區(qū)間里面振蕩,像下面這樣:

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那小波是什么呢?是一種能量在時(shí)域非常集中的波。它的能量是有限的,而且集中在某一點(diǎn)附近。比如下面這樣:

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這種小波有什么好處呢?它對(duì)于分析瞬時(shí)時(shí)變信號(hào)非常有用。它有效的從信號(hào)中提取信息,通過(guò)伸縮和平移等運(yùn)算功能對(duì)函數(shù)或信號(hào)進(jìn)行多尺度細(xì)化分析,解決了傅立葉變換不能解決的許多困難問(wèn)題。恩,以上就是通常情況下你能在國(guó)內(nèi)網(wǎng)站上搜到的小波變換文章告訴你的。但為什么呢?這是我希望在這個(gè)系列文章中講清楚的。不過(guò)在這篇文章里,我先點(diǎn)到為止,把小波變換的重要特性以及優(yōu)點(diǎn)cover了,在下一篇文章中再具體推導(dǎo)這些特性。

小波變換的本質(zhì)和傅立葉變換類似,也是用精心挑選的basis來(lái)表示信號(hào)方程。每個(gè)小波變換都會(huì)有一個(gè)mother wavelet,我們稱之為母小波,同時(shí)還有一個(gè)scaling function,中文是尺度函數(shù),也被成為父小波。任何小波變換的basis函數(shù),其實(shí)就是對(duì)這個(gè)母小波和父小波縮放和平移后的集合。下面這附圖就是某種小波的示意圖:

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從這里看出,這里的縮放倍數(shù)都是2的級(jí)數(shù),平移的大小和當(dāng)前其縮放的程度有關(guān)。這樣的好處是,小波的basis函數(shù)既有高頻又有低頻,同時(shí)還覆蓋了時(shí)域。對(duì)于這點(diǎn),我們會(huì)在之后詳細(xì)闡述。

小波展開的形式通常都是這樣(注意,這個(gè)只是近似表達(dá),嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼归_形式請(qǐng)參考第二篇):

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其中的

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就是小波級(jí)數(shù),這些級(jí)數(shù)的組合就形成了小波變換中的基basis。和傅立葉級(jí)數(shù)有一點(diǎn)不同的是,小波級(jí)數(shù)通常是orthonormal basis,也就是說(shuō),它們不僅兩兩正交,還歸一化了。小波級(jí)數(shù)通常有很多種,但是都符合下面這些特性:

1.小波變換對(duì)不管是一維還是高維的大部分信號(hào)都能cover很好。這個(gè)和傅立葉級(jí)數(shù)有很大區(qū)別。后者最擅長(zhǎng)的是把一維的,類三角波連續(xù)變量函數(shù)信號(hào)映射到一維系數(shù)序列上,但對(duì)于突變信號(hào)或任何高維的非三角波信號(hào)則幾乎無(wú)能為力。

2. 圍繞小波級(jí)數(shù)的展開能夠在時(shí)域和頻域上同時(shí)定位信號(hào),也就是說(shuō),信號(hào)的大部分能量都能由非常少的展開系數(shù),比如a_{j,k},決定。這個(gè)特性是得益于小波變換是二維變換。我們從兩者展開的表達(dá)式就可以看出來(lái),傅立葉級(jí)數(shù)是

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,而小波級(jí)數(shù)是

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3. 從信號(hào)算出展開系數(shù)a需要很方便。普遍情況下,小波變換的復(fù)雜度是O(Nlog(N)),和FFT相當(dāng)。有不少很快的變換甚至可以達(dá)到O(N),也就是說(shuō),計(jì)算復(fù)雜度和信號(hào)長(zhǎng)度是線性的關(guān)系。小波變換的等式定義,可以沒(méi)有積分,沒(méi)有微分,僅僅是乘法和加法即可以做到,和現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的計(jì)算指令完全match。

可能看到這里,你會(huì)有點(diǎn)暈了。這些特性是怎么來(lái)的?為什么需要有這些特性?具體到實(shí)踐中,它們到底是怎么給小波變換帶來(lái)比別人更強(qiáng)的好處的?計(jì)算簡(jiǎn)單這個(gè)可能好理解,因?yàn)榍懊嫖覀円呀?jīng)講過(guò)正交特性了。那么二維變換呢?頻域和時(shí)域定位是如何進(jìn)行的呢?恩,我完全理解你的感受,因?yàn)楫?dāng)初我看別的文章,也是有這些問(wèn)題,就是看不到答案。要說(shuō)想完全理解小波變換的這些本質(zhì),需要詳細(xì)的講解,所以我就把它放到下一篇了。

接下來(lái),上幾張圖,我們以一些基本的信號(hào)處理來(lái)呈現(xiàn)小波變換比傅立葉變換好的地方,我保證,你看了這個(gè)比較之后,大概能隱約感受到小波變換的強(qiáng)大,并對(duì)背后的原理充滿期待:)

假設(shè)我們現(xiàn)在有這么一個(gè)信號(hào):

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看到了吧,這個(gè)信號(hào)就是一個(gè)直流信號(hào)。我們用傅立葉將其展開,會(huì)發(fā)現(xiàn)形式非常簡(jiǎn)單:只有一個(gè)級(jí)數(shù)系數(shù)不是0,其他所有級(jí)數(shù)系數(shù)都是0。好,我們?cè)倏唇酉聛?lái)這個(gè)信號(hào):

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簡(jiǎn)單說(shuō),就是在前一個(gè)直流信號(hào)上,增加了一個(gè)突變。其實(shí)這個(gè)突變,在時(shí)域中看來(lái)很簡(jiǎn)單,前面還是很平滑的直流,后面也是很平滑的直流,就是中間有一個(gè)階躍嘛。但是,如果我們?cè)俅巫屍涓盗⑷~展開呢?所有的傅立葉級(jí)數(shù)都為非0了!為什么?因?yàn)楦盗⑷~必須用三角波來(lái)展開信號(hào),對(duì)于這種變換突然而劇烈的信號(hào)來(lái)講,即使只有一小段變換,傅立葉也不得不用大量的三角波去擬合,就像這樣:

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看看上面這個(gè)圖。學(xué)過(guò)基本的信號(hào)知識(shí)的朋友估計(jì)都能想到,這不就是Gibbs現(xiàn)象么?Exactly。用比較八股的說(shuō)法來(lái)解釋,Gibbs現(xiàn)象是由于展開式在間斷點(diǎn)鄰域不能均勻收斂所引起的,即使在N趨于無(wú)窮大時(shí),這一現(xiàn)象也依然存在。其實(shí)通俗一點(diǎn)解釋,就是當(dāng)變化太sharp的時(shí)候,三角波fit不過(guò)來(lái)了,就湊合出Gibbs了:)

接下來(lái)我們來(lái)看看,如果用剛才舉例中的那種小波,展開之后是這樣的:

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看見了么?只要小波basis不和這個(gè)信號(hào)變化重疊,它所對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)系數(shù)都為0!也就是說(shuō),假如我們就用這個(gè)三級(jí)小波對(duì)此信號(hào)展開,那么只有3個(gè)級(jí)數(shù)系數(shù)不為0 。你可以使用更復(fù)雜的小波,不管什么小波,大部分級(jí)數(shù)系數(shù)都會(huì)是0。原因?由于小波basis的特殊性,任何小波和常量函數(shù)的內(nèi)積都趨近于0。換句話說(shuō),選小波的時(shí)候,就需要保證母小波在一個(gè)周期的積分趨近于0。正是這個(gè)有趣的性質(zhì),讓小波變換的計(jì)算以及對(duì)信號(hào)的詮釋比傅立葉變換更勝一籌!原因在于,小波變換允許更加精確的局部描述以及信號(hào)特征的分離。一個(gè)傅立葉系數(shù)通常表示某個(gè)貫穿整個(gè)時(shí)間域的信號(hào)分量,因此,即使是臨時(shí)的信號(hào),其特征也被強(qiáng)扯到了整個(gè)時(shí)間周期去描述。而小波展開的系數(shù)則代表了對(duì)應(yīng)分量它當(dāng)下的自己,因此非常容易詮釋。

小波變換的優(yōu)勢(shì)不僅僅在這里。事實(shí)上,對(duì)于傅立葉變換以及大部分的信號(hào)變換系統(tǒng),他們的函數(shù)基都是固定的,那么變換后的結(jié)果只能按部就班被分析推導(dǎo)出來(lái),沒(méi)有任何靈活性,比如你如果決定使用傅立葉變換了,那basis function就是正弦波,你不管怎么scale,它都是正弦波,即使你舉出余弦波,它還是移相后的正弦波。總之你就只能用正弦波,沒(méi)有任何商量的余地。而對(duì)于小波變換來(lái)講,基是變的,是可以根據(jù)信號(hào)來(lái)推導(dǎo)或者構(gòu)建出來(lái)的,只要符合小波變換的性質(zhì)和特點(diǎn)即可。也就是說(shuō),如果你有著比較特殊的信號(hào)需要處理,你甚至可以構(gòu)建一個(gè)專門針對(duì)這種特殊信號(hào)的小波basis function集合對(duì)其進(jìn)行分析。這種靈活性是任何別的變換都無(wú)法比擬的。總結(jié)來(lái)說(shuō),傅立葉變換適合周期性的,統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間變化的信號(hào); 而小波變換則適用于大部分信號(hào),尤其是瞬時(shí)信號(hào)。它針對(duì)絕大部分信號(hào)的壓縮,去噪,檢測(cè)效果都特別好。

審核編輯:彭靜
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原文標(biāo)題:小波變換 完美通俗解讀

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    本文介紹了 小變換 理論, 系統(tǒng)地研究了小變換在信號(hào)處理尤其是信號(hào)濾波去噪方面的應(yīng)用。根據(jù)不同類型的噪音, 給出了基于不同小
    發(fā)表于 08-03 17:46 ?56次下載

    基于變分和小變換的圖像放大算法

    變換 金字塔模型 基于變分和小變換的圖像放大算法
    發(fā)表于 11-24 16:38 ?12次下載

    時(shí)頻變換工具_(dá)小變換及其工程應(yīng)用

    時(shí)頻變換工具_(dá)小變換及其工程應(yīng)用,參考下。
    發(fā)表于 01-15 15:17 ?12次下載

    變換原理與應(yīng)用_小變換的基本原理_小變換的應(yīng)用

    變換(wavelet transform,WT)是一種新的變換分析方法,它繼承和發(fā)展了短時(shí)傅立葉變換局部化的思想,同時(shí)又克服了窗口大小不隨頻率變化等缺點(diǎn),能夠提供一個(gè)隨頻率改變的“
    發(fā)表于 01-13 09:42 ?2.6w次閱讀

    變換比傅里葉變換好在哪里_小變換與傅里葉變換詳解

    變換與傅里葉變換有什么區(qū)別嗎?小變換與傅里葉變換哪個(gè)好?我們通過(guò)小
    發(fā)表于 01-13 11:02 ?1.6w次閱讀
    小<b class='flag-5'>波</b><b class='flag-5'>變換</b>比傅里葉<b class='flag-5'>變換</b>好在哪里_小<b class='flag-5'>波</b><b class='flag-5'>變換</b>與傅里葉<b class='flag-5'>變換</b>詳解

    詳解傅里葉變換與小變換

    詳細(xì)講述傅里葉變換和小變換原理
    發(fā)表于 01-16 14:34 ?9次下載

    如何使用LabVIEW實(shí)現(xiàn)小變換

    本文檔的主要內(nèi)容詳細(xì)介紹的是如何使用LabVIEW實(shí)現(xiàn)小變換包括了:小變換的基本理論,在LabVIEW中實(shí)現(xiàn)小
    發(fā)表于 04-20 08:00 ?56次下載
    如何使用LabVIEW實(shí)現(xiàn)小<b class='flag-5'>波</b><b class='flag-5'>變換</b>

    了解小變換針對(duì)傅立葉變換的優(yōu)點(diǎn)

    牢騷就不繼續(xù)發(fā)揮了。在這個(gè)系列文章里,我希望能簡(jiǎn)單介紹一下小變換,它和傅立葉變換的比較,以及它在移動(dòng)平臺(tái)做motion detection的應(yīng)用。如果不做特殊說(shuō)明,均以離散小為例子
    的頭像 發(fā)表于 05-07 17:14 ?5712次閱讀
    了解小<b class='flag-5'>波</b><b class='flag-5'>變換</b>針對(duì)傅立葉<b class='flag-5'>變換</b>的優(yōu)點(diǎn)

    離散小變換的FPGA實(shí)現(xiàn)(一)

    在正式進(jìn)入小變換之前,我們不妨來(lái)討論一下傅里葉變換的局限性和為什么我們需要引入小變換
    發(fā)表于 06-27 11:30 ?1291次閱讀
    離散小<b class='flag-5'>波</b><b class='flag-5'>變換</b>的FPGA實(shí)現(xiàn)(一)

    變換與傅里葉變換的區(qū)別和聯(lián)系

    變換與傅里葉變換的區(qū)別和聯(lián)系? 1. 傅里葉變換和小變換的定義 傅里葉
    的頭像 發(fā)表于 09-07 17:04 ?2877次閱讀

    短時(shí)傅里葉變換和小變換差別

    短時(shí)傅里葉變換和小變換差別 短時(shí)傅里葉變換(short-time Fourier transform,STFT)和小
    的頭像 發(fā)表于 09-07 17:04 ?3461次閱讀

    變換是如何定義的?

    變換是如何定義的? 小變換是一種多尺度分析方法,它可以將信號(hào)分解成不同頻率下的小基函數(shù)。小
    的頭像 發(fā)表于 09-07 17:04 ?1981次閱讀
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