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概念介紹

在介紹算法之前，我們回顧下基本概念：

|X| ：X的度數，(無向圖中)節點的鄰居個數。
CFG ：控制流圖。
successor ：本文指CFG中基本塊的后繼。
四元式 ：(op,result,arg1,arg2)，比如常見的a=b+c就可以看作四元式(+,a,b,c)。
SSA(Static Single Assignment) ：靜態單賦值。
use/def ：舉個例子，對于指令n: c <- c+b來說 use[n]={c,b}，def[n]={c}。
live-in ：當以下任一條件滿足時，則稱變量a在節點n中是live-in的，寫作a∈in[n]。節點n本文中代表指令。

a∈use[n]；
存在從節點n到其他節點的路徑使用了a且不包括a的def。

live-out : 變量a在節點n的任一后繼的live-in集合中。寫作a∈out[n]
干涉：在某一時刻，兩個變量在同一live-in集合中。
RIG(Register Interfere Graph) : 無向圖，其點集和邊集構成如下：
節點：變量
邊：如果兩節點存在干涉，那么這兩節點之間就有一條干涉邊
k-著色 ：給定無向圖G=(V,E)，其中V為頂點集合，E為邊集合。將V分為k個組，每組中沒有相鄰頂點，可稱該圖G是k著色的。當然可著色前提下，k越小越好。

需要注意的是，我們后續的算法會作用在最普通的四元式上，而不是SSA。在介紹寄存器分配算法之前，我們需要活躍變量分析來構建干涉圖。

活躍變量分析與圖著色算法

活躍變量分析

簡單來說，就是計算每個點上有哪些變量被使用。

算法描述如下[1]：

`input: CFG = (N, E, Entry, Exit)  
begin  
// init  
for each basic block B in CFG  
    in[B] = ?  
// iterate  
do{  
    for each basic block B other than Exit{  
        out[B] = ∪(in[s]),for all successors s of B  
        in[B] = use[B]∪(out[B]-def[B])  
    }  
}until all in[] do't change`

活躍變量分析還有孿生兄弟叫Reaching Definitions，不過實現功能類似，不再贅述。

舉個例子：對圖1的代碼進行活躍變量分析

可以得到每個點的活躍變量如圖2所示：

過程呢？限于篇幅，僅僅計算第一輪指令1的結果，剩余部分讀者可自行計算。

可畫出RIG如圖3：

圖著色

經過上文的活躍變量分析，我們得到了干涉圖，下一步對其進行上色。

但是圖著色是一個NP問題，我們會采用啟發式算法對干涉圖進行著色。基本思路是：

找到度小于k的節點;
從圖中刪除;
判斷是否為可著色的圖;
迭代運行前3步直到著色完成。

算法描述[3]：

`input: RIG, k  
// init  
stack = {}  
// iterate  
while RIG != {} {  
    t := pick a node with fewer than k neighbors from RIG // 這里RIG可以先按度數排序節點再返回  
    stack.push(t)  
    RIG.remove(t)  
}  
// coloring  
while stack != {} {  
    t := stack.pop()  
    t.color = a color different from t's assigned colored neighbors  
}`

對于例子1，假設有4個寄存器r1、r2、r3、r4可供分配。

寄存器分配

所以圖3中的RIG是4-著色的。但如果只有三種顏色可用，怎么辦呢？

沒關系，我們還有大容量的內存，雖然速度慢了那么一點點。著色失敗就把變量放在內存里，用的時候再取出來。

依然是上例，但是k=3，只有三個顏色。

如果f的鄰居是2-著色的就好了，但不是。那就只能選一個變量存入內存了。這里我們選擇將變量f溢出至內存。溢出后的IR和RIG如圖：

所以，溢出其實是分割了變量的生命周期以降低被溢出節點的鄰居數量。溢出后的著色圖如圖6：

這里溢出變量f并不是明智的選擇，關于如何優化溢出變量讀者可自行查閱資料。

至此，圖著色算法基本介紹完畢。不過，如果代碼中的復制指令，應該怎么處理呢？

寄存器分配之前會有Copy Propagation和Dead Code Elimination優化掉部分復制指令，但是兩者并不是全能的。

比如：代碼段1中，我們可以合并Y和X。但是代碼段2中Copy Propagation就無能為力了，因為分支會導致不同的Y值。

`// 代碼段1  
X = ...  
A = 10  
Y = X  
Z = Y + A  
return Z  
  
// 代碼段2  
X= A + B  
Y = C  
if (...) {Y = X}  
Z = Y + 4`

所以，寄存器分配算法也需要對復制指令進行處理。如何處理？給復制指令的源和目標分配同一寄存器。

那么如何在RIG中表示呢？如果把復制指令的源和目標看作 RIG中相同的節點 ，自然會分配同一寄存器。

相同節點？可以擴展RIG：新增虛線邊，代表合并候選人。
成為合并候選人的條件是：如果X和Y的生命周期不重合，那么對于Y=X指令中的X和Y是可合并的。
為了保證合并合法且不造成溢出：合并后局部的度數

那么如何計算局部的度數？介紹三種算法：

簡單算法
Brigg's 算法
George's 算法

簡單算法：(|X|+|Y|)，很保守的算法但是可能會錯過一些場景比如k=2時，圖7應用簡單算法是沒辦法合并的

圖7\\[3\\]

但明顯圖7可以合并成圖8：

圖8\\[3\\]

Brigg's 算法：X和Y可合并，如果X和Y中度數≥k的鄰居個數＜k。但是如果X的度數很大，算法效率就不高
George's算法：X和Y可合并，如果對Y的每個鄰居T，|T| ?比如k=2時，圖9就可以合并X和Y。或者t和x沖突。

相對于Brigg算法、George算法不用遍歷節點的鄰居。注意，圖著色時可以按節點度數從小到大依次訪問。

到此，圖著色算法介紹完畢。

線性掃描

接下來介紹一種不同思路的算法：線性掃描。算法描述如下[4]：

`LinearScanRegisterAllocation:  
    active := {}  
    for i in live interval in order of increasing start point  
        ExpireOldIntervals(i)  
        if length(avtive) == R  
            SpillAtInterval(i)  
        else  
            register[i] := a regsiter removed from pool of free registers  
            add i to active, sorted by increasing end point  
ExpireOldInterval(i)  
    for interval j in active, in order of increaing end point  
        if endpoint[j] >= startpoint[i]  
            return  
        remove j from active  
        add register[j] to pool of free registers  
SpillAtInterval(i)  
    spill := last interval in active  
    if endpoint[spill] > endpoint[i]  
        register[i] := register[spill]  
        location[spill] := new stack location  
        remove spill from active  
        add i to active, sorted by increasing end point  
    else  
        location[i] := new stack location`

live interval其實就是變量的生命期，用活躍變量分析可以算出來。不過需要標識第一次出現和最后一次出現的時間點。

舉個例子：

llvm中實現

在上文中介紹的算法都是作用在最普通的四元式上，但LLVM-IR是SSA形式，有PHI節點，但PHI節點沒有機器指令表示，所以在寄存器分配前需要把PHI節點干掉，消除PHI節點的算法限于篇幅不展開，如感興趣的話請后臺留言。

llvm作為工業級編譯器，有多種分配算法，可以通過llc的命令行選項-regalloc=pbqp|greedy|basic|fast來手動控制分配算法。

不同優化等級默認使用算法也不同：O2和O3默認使用greedy，其他默認使用fast。

fast算法的策略很簡單，掃描代碼并為出現的變量分配寄存器，寄存器不夠用就溢出到內存。用途主要是調試。

basic算法以linearscan為基礎并對life interval設置了溢出權重而且用優先隊列來存儲life interval。

greedy算法也使用優先隊列，但特點是先為生命期長的變量分配寄存器，而短生命期的變量可以放在間隙中，詳情可以參考[5]。

pbqp算法全稱是Partitioned Boolean Quadratic Programming，限于篇幅，感興趣的讀者請查閱[6]。

至于具體實現，自頂向下依次是：

TargetPassConfig::addMachinePasses含有寄存器分配和其他優化
addOptimizedRegAlloc中是與寄存器分配密切相關的pass，比如上文提到的消除PHI節點
addRegAssignAndRewriteOptimized是實際的寄存器分配算法
寄存器分配相關文件在lib/CodeGen下的RegAllocBase.cpp、RegAllocGreedy.cpp、RegAllocFast.cpp、RegAllocBasic.cpp和RegAllocPBQP.cpp等。
RegAllocBase類定義了一系列接口，重點是selectOrSplit和enqueue/dequeue方法，數據結構的重點是priority queue。selectOrSplit方法可以類比上文中提到的SpillAtInterval。priority queue類比active list。簡要代碼如下：

void RegAllocBase::allocatePhysRegs() {  // 1. virtual reg其實就是變量  while (LiveInterval *VirtReg = dequeue()) {    // 2.selectOrSplit 會返回一個可用的物理寄存器然后返回新的live intervals列表    using VirtRegVec = SmallVector4>;    VirtRegVec SplitVRegs;    MCRegister AvailablePhysReg = selectOrSplit(*VirtReg, SplitVRegs); // 3.分配失敗檢查    if (AvailablePhysReg == ~0u) {     ...    } // 4.正式分配    if (AvailablePhysReg)      Matrix->assign(*VirtReg, AvailablePhysReg);     for (Register Reg : SplitVRegs) {      // 5.入隊分割后的liver interval      LiveInterval *SplitVirtReg = &LIS->getInterval(Reg);      enqueue(SplitVirtReg);    }  }}
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