文章詳細對高斯濾波器的綜合設計進行講解，解釋如何從時域無過沖推導出高斯濾波器的。并且深入探討了高斯濾波器的零極點分布。最后介紹基于Matlab的濾波器設計軟件，以低通、帶通濾波器為例，展示其功能，并給出Github相關鏈接。

高斯濾波器特點和用途

高斯濾波器(Gaussian Filter)濾波器是具有最佳時域特性的濾波器，其幅頻曲線具有高斯函數(Gaussian function)曲線分布特性，對階躍響應無任何過沖，實際應用中高斯逼近濾波器和貝塞爾逼近濾波器特性非常類似，隨著兩者階數增加兩者表現將趨于一致，高斯濾波器的能夠高保真的傳輸時域信號特點使得它在時域應用中很重要，比如示波器設備，雷達設備等。當然現在在數字圖像處理中應用也非常廣泛。

高斯濾波器逼近

約束

• 1,是階多項式(可實現性，在頻率增益為0)
• 2,(低通定義，在頻率為0的位置增益為1)
• 3,(定義低通半帶寬)
• 4, 給定一個階躍信號, 無過沖
• 5, 給定一個階躍信號, 有最快上升沿(按階躍信號導數所生成的鐘形曲線的半寬度最小定義)

傅里葉變換

首先我們需要復習下連續時間傅里葉變換：

如下左圖是一個脈沖信號，右圖是這個脈沖信號的連續傅里葉變換結果。

可以看到左邊曲線和右邊曲線的胖瘦關系相反，若左邊時域脈沖信號越瘦，右邊越胖，反之左邊越胖，右邊越瘦，這個特點即時間-頻域的不確定性原理(類似海森堡動量-位置的不確定性原理)，即時頻特性不能兼得(感興趣的同學可以參考時頻分析的相關書籍)。

時域階躍到頻響

從約束4可以看到一個階躍信號無過沖，這是一個時域信號，而最后我們要求解的頻域響應，所以這里必然要用到時域-頻域轉換，即前面提到的傅里葉變換，以下是一個階躍信號如何變換為一個頻域響應的：

首先我們要對階躍響應進行微分，即可得到沖擊響應，然后運用連續傅里葉變換(式1)將沖擊響應轉換到頻域，即可得到頻響。

這里有一個重要的點是，階躍響應的上升時間的計算，如圖中的階躍信號所展示的，表示上升時間，所對應了沖擊響應的脈沖寬度，這里的時域脈沖寬度選擇了脈沖的半時間寬度。而幅頻響應的頻域寬度代表了這個脈沖系統響應的帶寬，這里的頻域脈沖寬度選擇了脈沖的半頻域寬度(即-6dB截止頻率點)。

有了上述鋪墊，我們可以求解出一個無過沖的最佳時頻濾波器了，從上面約束可以得到，當頻域寬度一定情況下，我們希望得到的階躍響應無過沖，并且上升時間(即沖擊響應寬度)最小的系統函數，那么滿足這樣的系統函數是什么呢？

這要求，Gabor給出了答案(有關這個問題的討論可以參考)，滿足這個時頻最佳響應的濾波器即高斯濾波器(Gaussian Filter)，即系統函數是:

換句話說：在給定的帶寬下，其階躍響應上升時間最短且無過沖的濾波器就是高斯濾波器。

注意這里的帶寬和上升時間的定義與通常定義的不同。

高斯濾波器

高斯濾波器是一類特殊的理想濾波器，其地位和矩形濾波器(Rectangular Filter, 也叫理想濾波器, Ideal Filter, 磚墻濾波器, Brick-wall Filter, sinc濾波器)相當，是無法通過多項式直接擬合得到的，只能通過函數逼近的方式得到，現在我們總結下現有濾波器設計。

總共有兩類濾波器綜合如下(當然這個圖還可以擴展)：

高斯濾波器綜合全流程如下：

高斯濾波器逼近

高斯濾波器是理想濾波器，其原因可以用如下動圖說明，圖中高斯濾波器曲線是紅色曲線(式2)，在對數-對數坐標系下這樣高斯濾波器就是指數函數，而藍色曲線是有理多項式逼近，在對數-對數坐標系下，高頻范圍是線性的。使用一個線性函數去逼近指數函數顯然是不能完成的，所以無法使用有限階的有理多項式來逼近高斯函數。

我們只能使用多項式盡可能的去逼近高斯濾波器，這里常用的方法是泰勒展開，公式如下：

當我們系統中要求頻率在時為其截止點時：

令得到前7階高斯濾波器系數為()：

在s平面取其左半邊極點得到前7階高斯濾波器系數為()：

前7階高斯數濾波器極點為()：

同Bessel濾波器一樣需要有高斯濾波器帶寬修正系數：

注：手機黨可橫屏查看表格

高斯濾波器零極點

和貝塞爾濾波器極點符合反斯托克斯線類似，高斯濾波器極點分布符合某個曲線，這個曲線公式為:

其中是實軸,是虛軸，其來源于的泰勒展開部分展開式零點的漸進線——Szeg?曲線，Szeg?曲線分布（注意下圖橫坐標為虛軸，縱坐標為實軸）如下，其極點分布在一個水滴型曲線上，具體公式是(注意：這個是個近似公式，當越大，精確度越高)：

上式也可以化為和的形式：

這個公式只能在趨于無窮大時才和實際零點重合，而且趨近速度很慢，這里對其進行擬合得到一個新近似公式(若希望得到更高精度的逼近可以參考，關于指數函數泰勒級數求和零點分布問題也是一個研究熱點)：

效果如下動圖所示(其中New Fit：式8的曲線；藍色曲線：Szego曲線的式6a；黑色的圓圈是Szego曲線的式6b，綠色盤面即指數泰勒展開式零點分布區域，紅色點是不同n下的實際零點位置)：

有了的零點，那么高斯函數的零點也就可以簡單的通過來求解，即:

令且那么得到：

通過這個變換后可以將指數函數的零點轉換為高斯函數的零點：

上面的公式有所以，平方后將零點映射到虛軸(這里是軸)的右半部分。

按照轉換公式11，可以得到修正后的高斯函數零點為：

下圖是修正后的高斯函數(式12)零點曲線圖(注意，這里圖橫坐標為虛軸，縱坐標為實軸。藍色為Szego曲線式6經過式11映射后的曲線，紅色虛線式式12表示的曲線，紅色點是高斯函數泰勒級數展開部分和的零點分布)：

圖中出現了和Bessel多項式零點非常相似的圖形，是一個眼型曲線。

PS.通過平方，這個曲線變得更加對稱了，而且對稱點為原點。

下面是四種不同濾波器極點的對比(以上討論是零點，濾波器中由于求了個倒數，故零點變極點)，在這里我們得到了一只完整的眼睛。藍色曲線是切比雪夫I型濾波器極點分布，是瞳孔(Pupil)；品紅色曲線是巴特沃斯濾波器極點分布，是眼球(Eyeball)；青色曲線是貝塞爾濾波器極點分布，是眼瞼(Eyelash)；紅色曲線是高斯濾波器極點分布，是眼皮(Eyelid)。

高斯濾波器的過沖

高斯濾波器在理想情況下無過沖，原因是高斯函數的逆傅里葉變換也是高斯函數，也是時域的沖擊響應，高斯函數恒定大于0，即積分后無斜率小于0的點，所以沒有過沖。但是使用泰勒展開高斯函數逼近后的濾波器卻是有過沖的，如下圖顯示了不同濾波器的過沖(縱坐標改為對數用于不同濾波器的對比)：

從中可以看到巴特沃斯濾波器的Peaking隨著階數增加而增加，但是貝塞爾和高斯濾波器隨著階數的增加Peaking是減小的！而且從趨勢看到，當后，高斯濾波器和貝塞爾濾波器的過沖都會趨近于0。

高斯濾波器綜合

高斯濾波器綜合和巴特沃斯濾波器一樣，屬于全極點濾波器，所以這里僅僅列出一個3階高斯濾波器綜合實例，以供參考：

對于高斯濾波器，其綜合出來的電路器件值和貝塞爾濾波器器件值非常相似：

可以看到濾波器第一個器件值幾乎是相等的，而且距源越遠器件值越小，下圖繪出了2-20階低通高斯濾波器系數圖，可以看出隨著階數的增加，前級器件值非常接近。

對比貝塞爾濾波器器件值而言，高斯濾波器器件值要小些。

任意負載條件下的高斯濾波器綜合

這里需要求解特征多項式，即需要求解(這里有關概念可以參考濾波器設計的逼近方法 - Butterworth, Chebyshev, Elliptic)：

式中的定義參考模擬無源濾波器設計（六）-Chebyshev濾波器設計詳解中關于任意負載條件下的求解公式。

不同濾波器通帶類型之間的轉換

只要有了低通原型, 其他濾波器通帶類型之間的轉換同Butterworth濾波器模擬無源濾波器設計（五）-Butterworth濾波器設計詳解。

高斯濾波器設計軟件

基于Matlab的appdesign工具開發了一套濾波器設計軟件, 主要特點是：

• 支持高斯濾波器(Gaussian Filter)、貝塞爾濾波器(Bessel Filter)、橢圓函數濾波器(Elliptic/Cauer Filter)、切比雪夫濾波器(Chebyshev I)、逆切比雪夫濾波器(Chebyshev II, Inverse Chebyshev)、巴特沃斯濾波器(Butterworth)設計
• 支持4種不同濾波器通帶類型(LPF,HPF,BPF,BRF)設計
• T型和PI型結構濾波器隨意切換
• 可以設置阻帶衰減決定濾波器階數
• 可以設置通帶衰減來綜合濾波器
• 可以隨意配置負載和終端阻抗, 并支持一端接載(源端電阻短路, 源端電流源, 終端開路, 終端短路)設計
• 可以幅頻響應分析、零極點分析、瞬態分析
• 可以顯示理想頻率響應、零極點和實際仿真的的頻率響應、零極點
• 可以支持實際標準器件逼近設計

Gaussian LPF設計舉例

設計一款-3dB截止頻率為1GHz, 7階低通Gaussian濾波器，輸入輸出阻抗為50歐姆，設計過程如下：

最終設計參數如下：

高斯濾波器瞬態仿真結果：

Gaussian BPF設計舉例

設計6階帶通Gaussian濾波器, 中心頻率為1GHz，帶寬為1GHz，50歐姆輸入，輸出阻抗為高阻，最后進行瞬態仿真，設計過程如下：

最終設計參數如下：

AC仿真結果：

瞬態仿真結果：

如果將濾波器帶寬繼續變窄為100MHz：

高斯濾波器的瞬態特性：

同樣參數對比貝塞爾濾波器的瞬態特性：

同樣參數對比巴特沃斯瞬態特性:

可以看到同樣濾波器設置參數下，高斯濾波器具有最小延遲和最小過沖。

程序的Matalb源碼已經上傳GitHub中(https://github.com/etools361/MatlabGaussianFilterDesignApp)，有興趣的同學可以下載試用體驗，當然也歡迎技術交流。