3D曲面重建之移動最小二乘法
本文我們思考這樣一個問題：如何在一組逐點值的給定域上估計該域的一般函數？這種估計對于給定域上PDE數值的求解，根據掃描數據進行表面重建，或者理解采集到數據的數據結構都有所幫助。下面介紹幾種常見的最小二乘法：
一、全局最小二乘估計
為了解決多項式擬合中的未知系數，我們構建如下的目標函數：
然后我們可以寫個歸一化方程為：
用矩陣的形式表示為：
這個矩陣方程也可以直接用于計算系數向量 ：
或者在大型系統中使用迭代的方法。
或者在大型系統中使用迭代的方法。
圖1 全局最小二乘（實曲線）
二、全局加權最小二乘擬合
我們可以為每個數據值分配一個權重用于最小二乘擬合中，這樣我們將目標函數最小化為：
歸一化方程的解為：
三、加權局部最小二乘
在全局最小二乘擬合中，我們假設整個域中都可以用一個單一的多項式精確地描述數據所代表的函數。但是，對于大型、復雜的數據集，這將要求我們擬合出一個不理想的高階多項式，即便如此，這也不能捕獲數據的所有特征。所以，為了替代全局解決方案，我們嘗試通過對每個數據點 及其鄰域擬合出一個低階多項式來獲得更好的解決方案。因此，有 個最小二乘擬合的值 ，每個值都是點 的近似值并且每個點的系數向量 都不同。注意：不同于其它討論的方法，這不是一種公認的方法并且也不常見。它僅僅是為了我們更好的理解下一部分將要介紹的移動最小二乘法。
用通用的方法就可解決。
圖2 加權局部最小二乘擬合
四、移動最小二乘法
總結
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原文標題：3D曲面重建之移動最小二乘法
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