華東師范大學精密光譜科學與技術國家重點實驗室曾和平教授課題組在激光領域取得重要進展，該團隊首次揭示了呼吸子超快激光器中的分形動力學。研究成果“Farey tree and devil’s staircase of frequency-locked breathers in ultrafast lasers”于2022年10月發表于Nature Communications上。曾和平教授和彭俊松研究員為論文的共同通訊作者，博士生吳修齊和張穎分別為論文的第一、第二作者。合作者包括英國阿斯頓大學的S.Boscolo博士和法國勃艮第大學的C.Finot教授。

“分形”一詞由數學家Benoit Mandelbrot在1975年首次提出，并由此誕生了一門新的學科-分形幾何學。Mandelbrot將分形定義為“分形是局部和整體以某種方式相似的形狀”。分形在自然界中的一個典型例子是西蘭花，西蘭花每一個分支和整體的形狀都是相似的。雖然分形最初只是一個數學概念，但已經在眾多系統中被觀察到，例如材料學、生物學、神經學、電路、網絡、地理和股票價格波動等。2000年，光學孤子和分形之間的聯系在理論上被建立起來（Phys. Rev. Lett. 84, 1902， 2000)。由于光孤子較為穩定，將其“分形”為多個分支需要對傳輸介質（例如光纖）的物理性質進行多次改變，且需要在多個位置對光孤子進行探測。這些條件在實驗上很難實現，相關實驗幾乎無法開展。

曾和平教授團隊另辟蹊徑，提出并證明了激光器中的呼吸孤子(或呼吸子)可構成分形。呼吸子是參數周期性變化的局域化波包。由于呼吸子與湍流、混沌、極端事件、調制不穩定性等非線性現象密切相關，獲得了學界的廣泛關注。該工作首次將呼吸子和分形聯系起來。研究發現呼吸頻率(呼吸子演化周期的倒數)與激光器重復頻率(由激光器長度決定)的比值隨著光強的變化會出現一系列平臺（階梯）。平臺的出現表明此時該比值是個常數。這些平臺對應的數值展現出經典的分形結構-法里樹。該分形結構被稱為魔鬼階梯是因為其分形維度的大小和魔鬼階梯一致，均為0.87。平臺上對應的呼吸子被稱為頻率鎖定呼吸子，因為其呼吸頻率自發地鎖在激光器重復頻率上，在外界擾動下保持不變。其頻率穩定性比沒有鎖定的呼吸子高3000倍左右！

分形呼吸子的另一個特點是可以產生不受激光器腔長限制的密集頻率梳。例如，該工作展示了該激光器出射的激光的梳齒密度比相同腔長的激光器大幅增加了41倍，從而實現了亞兆赫茲間距的頻率梳。普通激光器要實現亞兆赫茲的梳齒間距，需要百米量級的腔長，因此很不穩定。由此可見，基于分形的呼吸子激光器作為替代方案有很強的吸引力。