雷達方程大家一直是既熟悉又陌生的狀態，熟悉在于其形式之簡，無非就是幾個物理量的乘除，物理模型及概念又清楚明了；陌生在于雖其形式之簡，但使用起來終究有種食之無味，棄之可惜之感，之后就束之高閣了。原因在于，雷達方程本質是一個將環境電磁傳播，目標散射屬性，雷達射頻硬件，信號處理算法等緊密聯系起來的方程式。換句話說，雷達方程是一個將物理組件實體和軟件信號虛體緊密聯系的偉大方程。

方程同時涉及硬件，射頻天線及軟件算法。負責硬件的同學，可能熟悉PCB特性，比如怎么樣的板材的介電常數比較穩定，損耗較小，從而實現高質量電磁輻射。負責射頻天線的，對天線增益，阻抗匹配，傳輸線損耗比較熟悉。做軟件算法的，對信噪比估計，FFT算法等比較擅長。但是，這三位同學如果只是限于自身領域，是不可能對雷達方程有更深層次認識的，始終會處于似懂非懂的境地，用起來也就味同嚼蠟了。

▲ radar equation

事實上，深入了解雷達方程并不需要硬件，射頻天線及軟件算法方面的艱深知識，只要這三個領域一些基本的知識概念即可，我嘗試拋磚引玉，分享一種我的理解思路及分析邏輯。并且我也會分享關于雷達方程在工程中的作用以及使用注意點等。

需要說明，關于雷達方程模型解釋方面的資料多如牛毛，考慮篇幅以及文章定位，不再贅述，讀者可以自行查閱其他資料，這樣做雖使得文章略欠系統性，但我希望主要把雷達方程最本質的東西呈現于你。

另外指出，雷達方程常用的還有對數形式，對于單發單收（SISO），方程如下，

▲ radar equation(log type)

我以一個具體的例子貫穿全文闡述雷達方程，并且聯系實際。

大家可能看過TI radar chip的datasheet，比如AWR1642（如下圖）

▲ 器件概述（局部）

其中藍框內有個重要的參數指標RX噪聲系數（Noise Figure，NF），在76-77GHz內可以做到14dB。噪聲系數如何定義以及計算大家可以自行查閱資料。這個參數極為重要，并且越小越好。那么TI設計為14dB是否有什么依據，或者說TI將噪聲系數設置為14dB有什么思考邏輯，又或者說這個數值是不是芯片性能與成本的某種平衡。我嘗試從雷達方程的角度提供一個解釋，從中也可以反應雷達方程的作用以及加深你對雷達方程的認識。

TI公司設計的AWR1642，功能框圖如下。

▲ AWR1642功能框圖

其中，RX接收共有4路，如功能框圖圖藍框所示，每一路可以稱為接收模擬鏈路（RX analog chain）,該鏈路包含兩大核心組件，RF(如LNA，mixer)，以及baseband(如IF，VGA，HPF等)，需要指出，前述的噪聲系數并不是鏈路中某個器件的噪聲系數，而是整個模擬接收鏈路（rx analog chain）的整體噪聲系數。因此，噪聲系數(NF)可以理解為，對應于每個channel，接收信號在LNA輸入到ADC輸入這個過程中的信噪比損失。

那么這個信噪比損失也就是噪聲系數設置為多少合適呢，如果太小，當然是極好的，好是好估計要費好多錢和頭發，成本扛不住。如果太大，算法中有用信號被噪聲淹沒了，雷達就廢了。不過，借助雷達方程，我們可以粗略估計其數值。

▲ 雷達電磁傳播

首先，在確定NF之前，我們暫時先回到天線設計，我們設計的天線必須達到足夠的靈敏度（Sensitivity），所謂靈敏度就是雷達天線能夠接收微弱信號的能力表征。這與功能需求有關，比如，要求載頻77GHz雷達在80m處檢測到一個成人（rcs=0dBsm），并且雷達的輻射功率為12dBm，收發天線增益為12dBi。忽略一些損耗，根據前述雷達對數方程，在接收端某個channel，LNA輸入前的雷達接收信號能量為-121dBm(Pr = rcs - R + Gt + Gr + Pt + K)，這些量都是對數形式，K為方程中常數項的對數，所以Pr = 0 - 40*log10(80)+12 + 12 + 12 + 10 log10((0.00392.^2)/((4pi).^3)) =-121dBm。

假設rx端靈敏度足夠高，能夠檢測接收-121dbm的信號功率，也就是說LNA端的輸入是-121dBm，若不考慮通道增益不平衡以及環境雜波，每個channel的-121dBm能量將通過各自的rx analog chain 以及ADC處理。之后就是算法上距離維，速度維，角度維的處理。這個過程中，rx analog chain若干組件會放大接收信號，也就是接收信號獲得增益，但同時也會引入噪聲（通常是熱噪聲）。算法上的處理，如FFT處理同樣引入信號處理增益。那上述這些增益及噪聲與NF有何關聯？繼續分析。

▲ Receive Subsystem (Per Channel）

信號目標判決通常在算法層實施，如在range-Doppler map 進行閾值判斷以及CFAR處理從而確定有效檢測，這里有個算法上的核心工作： 確定全局信噪比 。信噪比的確定方法有很多，不過不在本文討論之列，假設我確定了該信噪比SNR為17dB，也就是說，任何低于17dB的目標檢測都視作無效目標檢測點。

將前述增益，噪聲，NF，以及SNR這幾個量統一的方式就是修正后的雷達方程。其對數形式為，

其中SNR中的Pr是在算法中做完距離維，多普勒維FFT后估計的接收功率。如果Pr是LNA前的接收信號功率，那么上式將修正為，

本文開頭的雷達方程止于接收端LNA之前的信號分析。如果再考慮rx analog chain以及信號處理算法鏈路，并引入檢測信噪比，那么雷達方程的形式將得到修正，也就是得到式(1)。

修正后的雷達方程非常有用。我們首先用它來估計NF。

比如接收端的檢測信噪比為17dB，上式kTNF表征熱噪聲，在微波頻率上，噪聲通常是在接收機內部產生的。在接收機輸入級的電阻部分會由于導電電子的熱運動而產生噪聲，稱為“熱噪聲”或“約翰遜噪聲”，k為玻耳茲曼常數，數值上等于1.38e-23。T為熱力學溫度。NF為噪聲系數。NTr中N為chirp個數，Tr為chirp時寬。

那么若NTr為10ms，也就是累計時間為10ms，該數據代入方程(1)后得到，

NF = -40*log10(80)+12+12+12-81+174-20-17 = 15.8dB

通常，NTr要遠大于10ms，對NF的要求更低。所以式中的數據相對苛刻些。至此我們完成了NF的合理估計。那么你可能還有疑惑，方程(1)如何來的？

事實上，式(1)的非對數形式為，

其中的NTr = NMTs，其中M為chirp采樣點個數，Ts為快時間維采樣間隔。所以，上式可以進一步得到，

其中P_algo是算法中估計信號功率，P_beforeADC是信號輸入ADC之前的功率，P_LNA是LNA前測量的信號功率。由此可見，式(1)與本文開頭的雷達方程也是統一的，只不過經過算法處理后需要補償FFT的增益而已。

以上分析以及計算都是基于一定的前提條件，包括但不限于

1 收發天線無波束傾斜（no Antenna beam tilt measurement）,也就是天線輻射boresight.必須對準0°。天線波束tilt與多種因素有關，比如PCB，天線與饋電設計，RF，殼體與天線罩。像一些高增益天線以及低成本PCB材料容易發生波束tilt，需要詳細測試或校準。

2 無多通道天線增益不平衡以及無相位失配（mismatch），如果存在問題，需校準。

3 忽略PCB傳導損耗（Conductor Loss）,介電常數變化，銅箔不平整等問題。

4 不考慮溫度影響，否則需要溫度校準。比如溫度對相位的校準表。

5 環境路徑損耗，天氣引起的各類損耗，可以作為修正項引入。

事實上，式（1）的作用包括但不限于，

*TX-RX 回環SNR測量計算，并與RF鏈路理論分析結果對比，從而評估SNR合理性

*將TX輸出功率以及RX端噪聲系數整合，能夠識別整個鏈路中發射端天線增益，輸出功率，接收端天線增益可能存在的問題。

也就是說，如果你的雷達測距范圍在算法上已經窮途末路，那不妨試試雷達方程鏈路分析手段，或許你會發現一些鏈路組件值得改進優化的點，從而進一步增強你的雷達測距性能。