系統中的噪聲限制了一個電路能夠正確處理的最小信號電平，它與功耗、速度、線性度之間是相互制約的。比如在一個接收機中，系統整體的噪聲系數和系統帶寬和載噪比共同決定該接收機的靈敏度，越低的噪聲系數意味著接收機能檢測并接收到更低的信號功率，其靈敏度越高。這說明了在電路中進行噪聲優化和分析的必要性。此篇通過分析電阻和MOS管器件噪聲的來源，主要介紹二端口網絡噪聲分析方法，并在設計低噪聲放大器時應用該方法對器件合理選型以在輸入匹配的前提下實現盡可能低的噪聲系數。

01

基本噪聲源

由于噪聲是一個隨機變量，直接從時域研究幅值較為困難，因此可以根據噪聲的統計特性，可以將噪聲利用功率密度譜的方式定義成S(f)，其單位為，其在電路模型中又通常可以表示為電壓噪聲源或電流噪聲源的形式，這些噪聲電流源（或噪聲電壓源）既可能是相關的，也可能是無關的，這主要取決于在器件中噪聲源的相關性。

噪聲通過大類大致可分為熱噪聲、散粒噪聲、閃爍噪聲、爆米噪聲等。對于散粒噪聲，在MOSFET中幾乎不是一個顯著的噪聲；對于神秘的MOS管閃爍噪聲，其公式包含著各種經驗參數，比較統一的結論是電荷的捕獲現象能夠解釋1/f噪聲的產生、增大晶體管可以減少1/f噪聲等，在混頻器和VCO中也存在對閃爍噪聲的分析；對于爆米噪聲，用數學描述它的意義不大，因為它時時在發生變化，同樣人們對其認知也有限。一般，由于希望通過建模的方式去分析噪聲，因此我們側重于分析熱噪聲（由于其比較成熟的理論公式和來源分析）。

電阻熱噪聲公式：

MOS管溝道和柵熱噪聲公式：

上述公式的推導和現代理論對于上述公式的修正和考慮可以參見參考文獻。

02

二端口網絡的噪聲因子

網絡噪聲性能的優劣主要通過噪聲因子來衡量，可以定義為：

進一步，為適用不同二端口網絡的分析，網絡的噪聲特性可以用輸入參考噪聲電壓和電流表示，則噪聲系數的表達式為：

這里的二端口網絡由一個導納以及等效的并聯噪聲電流構成的噪聲源驅動。

由于和可能表現出相關性，將表示與無關的部分，其噪聲功率可以直接相加；相關部分，將因此可以將噪聲系數表達式簡化為，：

觀察上式，、、是網絡特有的參數，和是噪聲驅動源的參數，每個噪聲源都可以看作一個等效電阻或電導產生的熱噪聲，電納部分不產生噪聲：

則噪聲因子最后可以只用阻抗和導納項表示：

觀察上式，、、、是網絡特有的參數，、是驅動源電導和電納。在設計中，若網絡參數固定后（如表現為輸入阻抗為50歐的限制），則可以求解平方項歸零和對源電導求導，讓噪聲系數達到最小時的噪聲源導納如下：

噪聲因子可以表示成：

是最小噪聲系數，常數噪聲因子的等值線理論上是一些不相重疊的圓，稱為恒噪聲系數圓。

03

MOS管的端口網絡噪聲參數

在具體的網絡分析中，掌握模型內部的噪聲源在輸入的表示還是必要的，這有助于推算每個網絡特性參數，最后代入通式求解。對于單個MOS，若要進行噪聲匹配，可以計算出輸入網絡噪聲參數：

可以知道最優信號源電導值為：

又由可知所要求的信號源電納本質上是電感性的，且頻率特性不正確（本應與成反比），因此很難做到寬帶噪聲匹配，且計算過程與最大功率傳輸條件（阻抗匹配）無關。不過可以從的表達式中得出兩個有效的結論，即隨著MOSFET尺寸的減小，截止頻率提高，在噪聲參數不變的前提下，最小噪聲因子會降低；另外在后續放大器拓撲的噪聲匹配中，將以為參考，表示放大器拓撲能達到的的最小噪聲因子。

設計中通常要求網絡對外展現一定的輸入阻抗（如50歐），問題轉變為在固定輸入阻抗下的最優噪聲系數求解。

04

源退化匹配下的噪聲優化

為了獲得50歐的輸入阻抗，除了利用電阻強制匹配，負反饋電阻匹配，共柵電路匹配（溝道電阻）之外（這三種的信號通路都存在有噪聲的電阻），一種比較巧妙的辦法能夠在不加入真實電阻的情況下獲得輸入阻抗的電阻分量，從而不降低放大器的噪聲性能，即源退化電感結構。

對于單管的輸入阻抗大家都比較熟悉，但對于源退化單管，由于器件尺寸的縮小將呈現為一個有限值，這會導致共源負載諧振網絡對輸入阻抗較大的影響，尤其是在中心諧振頻率附近輸入阻抗下降嚴重：

同時隨著頻率的上升，也將參與到輸入阻抗實部的貢獻：

這直接要求我們利用Cascode結構和增加源退化電感值來減小輸入阻抗的波動。

同樣對于這種方式，依然可以求解輸入網絡噪聲參數（是柵極非準靜態阻抗系數，一般為5）：

可求出對應的噪聲因子：

在上式中若保持過驅動電壓固定的情況下，意味著截止頻率不變，從數學上講存在最優跨導，對應于最優的MOS寬度選型（注意不一定是功耗最優處）。

對上式的項求導并令其結果為零，在滿足工作頻率遠小于特征頻率和另外一個參數條件時，該結構能達到的最低噪聲因子理論上就是單MOS管的最小噪聲因子（代入可見與式單管一致）：

此時最優跨導為：

由于截止頻率與跨導存在如下關系：

則MOS管的最優寬度W為：

*注：在文獻[2]中，最后也能得到與上述同樣的結論，為直接使用了晶體管最優導納公式，而上面為考慮非準靜態阻抗得出的結論，兩者復雜度完全不在一個層面。這里為謹慎起見，按照新的網絡輸入噪聲參數計算。

因此在設計中，可以直接通過上述公式選擇最優柵寬，這是一個與過驅動電壓無關的量。假設工作在10.525GHz的中心頻率處，我們選取:

（由介電常數和厚度比值計算得到）

計算可得最優的柵寬約為140，結合晶體管單元優化寬度為5，一般就可以合理選取晶體管的unit cell數目了，最優噪聲因子約為1.19，噪聲系數約為0.75dB。過驅動電壓的選取可以根據噪聲系數的要求選取最低的值。

另外，從公式中可以看出最小噪聲因子和過驅動電壓（即截止頻率）成反比，更大的過驅動電壓能導致更低的噪聲系數，在其他條件不變的情況下放大器的功耗也會進一步增加。定性來講，可以通過增加過驅動電壓，改變柵寬 W （由于前面推得最優噪聲因子的條件是在過驅動電壓恒定下的噪聲因子），使噪聲因子不變的同時降低功耗。定量來說，需要構建直流功耗和噪聲系數之間的數學關系，期間需要通過復雜的數學運算，在功耗確定的情況下，調整可變參數達到最優值，對應最小噪聲因子。