這一篇我們來談其他兩個熱門指標，老生常談的穩(wěn)定裕量：

增益裕量 Gain Margin，以下簡稱GM

相位裕量 Phase Margin，以下簡稱PM

系統(tǒng)到底有多穩(wěn)定？

• 系統(tǒng)的時域響應，收斂還是發(fā)散→反應 絕對穩(wěn)定性 （穩(wěn)定還是不穩(wěn)定）
• 系統(tǒng)的時域響應，收斂的平穩(wěn)度→反應 相對穩(wěn)定性 （穩(wěn)定裕量有多大）

根據(jù)勞斯判據(jù)，三個閉環(huán)典型二階系統(tǒng)T1,T2,T3，如下圖所示，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根都位于左復半平面，因此都是絕對穩(wěn)定的。

但是，顯然其相對穩(wěn)定性T1>T2>T3。反應在閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根的分布上，即距離虛軸（臨界區(qū)域）越遠的，越難振蕩，相對穩(wěn)定性越好。

換句話說，系統(tǒng)****有多穩(wěn)定，即相距絕對穩(wěn)定的臨界區(qū)域的距離，有多遠。

波特圖中GM和PM的由來

我們常用開環(huán)函數(shù)loop gain的頻率特性，來預測和評估閉環(huán)系統(tǒng)的性能，因此閉環(huán)系統(tǒng)的極點距離臨界區(qū)域的距離，得想辦法轉換到開環(huán)函數(shù)loop gain的頻域指標上，才可以方便地指導設計。這就是導出波特圖中GM和PM的出發(fā)點。

為了導出GM和PM，我們必須先回到開環(huán)函數(shù)loop gain的奈奎斯特圖（Nyquist曲線，即頻域中增益和相角的極坐標，隨頻率變化的軌跡）。

注：引入極坐標和奈奎斯特圖，從而在頻域判斷線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性的原因，可以自行回顧“自動控制原理”勞斯判據(jù)，柯西幅角原理，輔助方程和平面映射等基本內容。

奈奎斯特圖和波特圖只是在頻域的不同表現(xiàn)形式：上述三個閉環(huán)典型二階系統(tǒng)，其開環(huán)函數(shù)G1,G2,G3的波特圖(0+→+∞)和奈奎斯特圖(-∞→0-→0+→+∞)，兩者對應的關系如下。

注：奈奎斯特曲線總是按照(-∞→0-→0+→+∞→-∞...)這個循環(huán)形成包圍曲線，如下所示。

針對工程實際中最常見的開環(huán)函數(shù)，一般不含有右半平面極點，本身往往是絕對穩(wěn)定的，只是動態(tài)特性欠佳，需要補償和校正。

這樣的開環(huán)函數(shù)特性，根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)，它的奈奎斯特曲線順/逆時針包圍(-1，j0)的正負和要為0，則有如下：

• 結論：

一般/常見的****穩(wěn)定系統(tǒng)，其閉環(huán)函數(shù)特征方程的根，在左半平面相距臨界區(qū)域（虛軸）的遠近，對應了開環(huán)函數(shù)loop gain奈奎斯特曲線，相距(-1,j0)這個臨界點的遠近。

以一般/常見形狀的開環(huán)系統(tǒng)對應的奈奎斯特圖為例，可以看到，當奈奎斯特曲線通過增益放大或順時針旋轉的方式，都會造成包圍(-1，j0)，從而不再滿足奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)。

為了 達到不穩(wěn)定的臨界點而允許放大的增益，和允許順時針旋轉的角度，可作為衡量閉環(huán)系統(tǒng)相對穩(wěn)定性高低的指標，即開環(huán)函數(shù)loop gain的GM和PM 。

PM對動態(tài)的影響

真實的工程實踐中，開環(huán)函數(shù)幾乎都是高階系統(tǒng)。

時域響應波形中我們所關心的形狀和對應頻率段，都可被一個主導二階系統(tǒng)近似。這對主導極點的時域響應，可近似該頻段的時域響應的大致形狀。

故我們仍以典型閉環(huán)二階系統(tǒng)的開環(huán)函數(shù)為例：阻尼比ξ是影響振蕩程度的關鍵參數(shù)。從時域響應來看，阻尼比ξ越大，代表系統(tǒng)的穩(wěn)定性越好。

閉環(huán)二階系統(tǒng)中，阻尼比ξ恰可以與開環(huán)函數(shù)的相位裕量PM對應，直接建立函數(shù)關系：

• 結論：

針對典型二階系統(tǒng)主導的閉環(huán)系統(tǒng)，其開環(huán)函數(shù)loop gain的相位裕量：

• PM≤60°時，阻尼比ξ**≈0.01PM<0.6，PM越低，系統(tǒng)超調越大；**

  注：特別的，PM=45°，阻尼比ξ≈0.45，系統(tǒng)超調<20%尚可接受，可作為PM>45°準則的理論支撐。

• PM>60°時，0.6<阻尼比 ξ <0.01PM ，幾乎不再有超調。

GM對動態(tài)的影響

對于GM來說，設計者的初衷并非只針對這一個頻率點，這和上一節(jié)所討論的穿越頻率/帶寬的內涵是一致的。

GM設計得大，其本意是希望相位=-180°的高頻之處，以及更高的高頻頻段整體，系統(tǒng)能有足夠大的增益衰減，以抑制環(huán)路中的高頻噪聲。

然而，GM和系統(tǒng)其他參數(shù)無法解耦， 通過補償器使高頻頻段整體進一步增益衰減，勢必會帶來更多的相位延遲，導致在相對較低的頻率就穿越-180°，從而表現(xiàn)出更小的GM。因此，單獨探討和比較GM的大小，沒有特別的意義。

• 結論：

設計開環(huán)函數(shù)loop gain的補償器時，應優(yōu)先保證穿越頻率和PM盡量滿足期望，增益裕量不至過小即可。