我們認(rèn)識(shí)了音頻濾波器，講解了音頻濾波器同時(shí)具有相位調(diào)制的功能。但前文中我們略過了濾波器最重要的功能：移除頻譜中的一部分諧波從而創(chuàng)造新的聲音。但濾波器的工作方式可遠(yuǎn)沒有聽起來簡(jiǎn)單，本文我們將繼續(xù)深入了解濾波器的原理。

圖 1：一個(gè)簡(jiǎn)單的低通濾波器電路

圖 1 展示的是我們?cè)谏弦黄恼轮薪榻B的被動(dòng)低通 RC 濾波器（之所以稱它為「被動(dòng)」是因?yàn)槲覀儗⒅恍枰斎?a target="_blank">信號(hào)，不需要額外供電的電子元器件稱之為「被動(dòng)元件」，因此電阻器、電容器以及電感器均為被動(dòng)元件，而晶體管以及其他放大器則不是被動(dòng)元件）。如果你有閱讀上一篇文章，那么你可能還記得 RC 濾波器的截止頻率可以通過其電路中的兩個(gè)被動(dòng)元件的容量決定。

輸入進(jìn)濾波器的信號(hào)與經(jīng)過濾波器處理的輸出信號(hào)之間的關(guān)系叫做傳遞函數(shù)。準(zhǔn)確來說，傳遞函數(shù)描述的是濾波器的振幅相應(yīng)（濾波器對(duì)音量的影響）以及相位響應(yīng)，但由于我們已經(jīng)在上一篇文章中討論了濾波器對(duì)音頻相位的影響，本文中我們只將關(guān)注振幅相應(yīng)。理想狀態(tài)下，我們的 RC 濾波器的傳遞函數(shù)非常簡(jiǎn)單：每高于截止頻率（本文中記作 Fc）的兩倍，信號(hào)的輸出就將會(huì)減半（見圖 2）。

圖 2：RC 低通濾波器在理想狀態(tài)下的響應(yīng)圖示

所以，打比方說 Fc 為 1kHz，那么信號(hào)在 2kHz 位置處的增益為 1/2（也就是說一半的音量），4kHz 的位置輸出增益為 1/4（四分之一音量），以此類推...由于頻率每翻一倍音高就上升一個(gè)八度（octave），同時(shí)增益每減半一次振幅就衰減 6 個(gè)分貝（6dB），因此這一響應(yīng)又被稱為 6dB/octave 濾波。

但盡管類似圖 2 的圖示在音樂界中被廣泛應(yīng)用，它其實(shí)并不準(zhǔn)確。圖 3 為一個(gè)更精確的傳遞函數(shù)圖示。

圖 3：較為精確的 RC 低通濾波器響應(yīng)圖示

可以看到，信號(hào)在截止頻率的位置已經(jīng)衰減了 3dB。這并不是一個(gè)錯(cuò)誤，實(shí)際上，在電工學(xué)中截止頻率就是信號(hào)衰減 3dB 的位置。所以本文要總結(jié)的第一條規(guī)律就是：

被動(dòng)低通濾波器在什么位置開始工作并不是由截止頻率決定的；截止頻率是信號(hào)已經(jīng)衰減了 3dB 的位置。另外，由于 3dB 的衰減可以輕易被人耳感知，這也就意味著，信號(hào)在截止頻率的位置已經(jīng)受到了明顯的影響。

讓我們回過頭來想想看簡(jiǎn)易的低通濾波器會(huì)對(duì)常見波形產(chǎn)生什么樣的影響。簡(jiǎn)單起見，我們將以圖 2 中的理想低通濾波器為例，因?yàn)樗募怃J「拐點(diǎn)」能夠?qū)V波器的工作簡(jiǎn)化許多。

圖 4：鋸齒波的前 200 個(gè)諧波

圖 4 是最常見的模擬合成器波形之一——鋸齒波的諧波結(jié)構(gòu)。其所有諧波均存在，各諧波的幅度與基頻幅度呈 1/n 的簡(jiǎn)單關(guān)系（n 為諧波次數(shù)）。

圖 5：使用對(duì)數(shù)軸表示的上述 100Hz 鋸齒波的諧波結(jié)構(gòu)

圖 4 展示的使用傳統(tǒng)單位表示的鋸齒波的前 200 個(gè)諧波的幅度。然而，與圖 4 相比，使用圖 5 中的對(duì)數(shù)軸來展示這些諧波要合適得多。但即使你不懂什么是對(duì)數(shù)也沒有關(guān)系，因?yàn)楸M管圖 4 與圖 5 看起來很不同，兩者其實(shí)表示的是同樣的信息。之所以我在這里選擇使用對(duì)數(shù)圖表是因?yàn)槭褂脤?duì)數(shù)表示的振幅是一條直線，因此能夠更明確地展示濾波器對(duì)其的影響。實(shí)際上，如果你回過頭來觀察圖 2 和圖 3，這兩張圖中使用的其實(shí)也是對(duì)數(shù)軸。

圖 6：3kHz，6dB/octave 低通濾波器對(duì)于 100Hz 鋸齒波的影響

假如說我們有一個(gè)截止頻率為 3kHz 的 6dB/octave RC 濾波器，讓我們來看看它會(huì)對(duì)基頻為 100Hz 的鋸齒波造成什么樣的影響。圖 6 展示的是該濾波器對(duì)于 3kHz 以上的頻率的衰減。不難發(fā)現(xiàn)圖 6 中的圖形與圖 5 相比有一個(gè)「折疊」，該圖形符合上文提到的 6dB/octave 的規(guī)律。

圖 7 - 8：理想狀態(tài)下的 100Hz 鋸齒波波形（上）；經(jīng) 3kHz 濾波器處理過的該鋸齒波波形（下）

現(xiàn)在再看圖 7 與圖 8，圖 7 展示的是上文中理想狀態(tài)下 100Hz 鋸齒波的波形，圖 8 則是經(jīng)過我們的 3kHz 濾波器處理過的該鋸齒波。盡管這兩個(gè)波形在視覺方面并沒有太大的區(qū)別，因?yàn)?3kHz 的截止頻率允許該波形的前三十個(gè)諧波通過，只有低幅度的高頻諧波收到影響，但由于人耳十分敏銳，當(dāng)你將這兩個(gè)波形對(duì)比來聽的時(shí)候，很明顯可以聽到經(jīng)過濾波的波形更加「暗淡」，或者缺乏「高頻」。

6dB/octave 的濾波器被廣泛運(yùn)用于音響系統(tǒng)的音色控制單元中，偶爾也被合成器用來作為輔助功能的亮度控制，但它們通常不會(huì)被真正的音色合成所使用。這是因?yàn)樗鼈兺ǔ２粫?huì)對(duì)音色造成明顯的變化——經(jīng)過 6dB/octave 濾波器處理的波形聽起來就像是原來的波形一樣，只不過更暗淡了一些。顯然，要想創(chuàng)造全新的音色我們還需要更強(qiáng)大的濾波器。

所以我們需要使用什么樣的被動(dòng)元件才可以制造出 12dB/octave、18 dB/octave、甚至 24dB/octave 的濾波器呢？不幸的是，沒有任何被動(dòng)元件可以滿足這樣的需求，所以我們需要一個(gè)不同的手段。為什么不把一系列的的 RC 濾波器組合起來從而得到我們需要的更陡峭的頻率響應(yīng)呢？比如說兩個(gè) RC 濾波器組合起來可以得到一個(gè) 12dB/octave 濾波器，疊加三個(gè)就可以得到 18dB/octave 濾波器，四個(gè)則是 24dB/octave…理想狀態(tài)下這樣的由四個(gè) RC 濾波器疊加組成的電路與圖 9 看起來類似。如果這一濾波器工作正常，其理想狀態(tài)下的傳遞函數(shù)則應(yīng)該類似于圖 10 中所展示的圖形。

圖 9：由四個(gè) 6dB/octave 濾波器疊加組成的 24dB/octave 低通 RC 濾波器

圖 10：上述假想的 24dB/octave 對(duì)于高頻諧波的衰減

然而濾波器的工作方式并沒有想象中的這么簡(jiǎn)單。我們的被動(dòng) RC 濾波器響應(yīng)模型對(duì)于其輸入與輸出值需要有一定的假設(shè)，盡管單一的 RC 電路可以滿足這一要求，但如果你將多個(gè)這樣的電路疊加在一起，得到的響應(yīng)則將會(huì)完全不同。所以我們到底應(yīng)該怎樣才可以制造出我們需要的濾波器呢？

如果你已經(jīng)對(duì)合成器有所了解了的話，你可能聽說過 12dB/octave 有時(shí)又被稱作「2-pole」濾波器，24dB/octave 濾波器被稱為「4-pole」濾波器。所以你可能因此而假設(shè)圖 9 中的每個(gè) 6dB/octave 的模塊為一個(gè)「pole」。然而這樣的假設(shè)并不準(zhǔn)確。

其實(shí)「2-pole」、「4-pole」這樣的名字是由一個(gè)叫做「拉普拉斯變換」的數(shù)學(xué)運(yùn)算的結(jié)果。這一變換可以方便數(shù)學(xué)家們分析音頻信號(hào)的線形響應(yīng)（至于什么是「線性系統(tǒng)」以及其背后的數(shù)學(xué)原理由于其過于復(fù)雜，本文將不予探討）。總而言之，我們之所以用「pole」來描述濾波器，是因?yàn)?RC 濾波器的拉普拉斯變換圖表看起來像是一個(gè)由帳篷柱支撐起來的橡膠平面。單一的 6dB/octave 濾波器有一個(gè)這樣的「帳篷柱」，因此被稱為「1-pole」濾波器，12dB/octave 的濾波器則有兩個(gè)這樣的「帳篷柱」，以此類推…

圖 11：1-pole（左）、2-pole（中）與 3-pole（右）濾波器的拉普拉斯變換圖示

因此，如果你想制造一個(gè) 24dB/octave 單一截止頻率的被動(dòng) RC 濾波器的話，你需要使得四個(gè) pole 處在圖中的同一位置。但正如我之前的說明，使用被動(dòng)元件不可能達(dá)到這樣的效果，因?yàn)槎鄠€(gè)被動(dòng)元件之間會(huì)產(chǎn)生交互，組合起來的被動(dòng)元件的工作方式與單一被動(dòng)元件的工作方式并不相同。所以說，四個(gè) 6dB/octave RC 濾波器組成的頻率響應(yīng)并不能達(dá)到圖 10 中的理想效果，反之，實(shí)際情況中我們會(huì)得到的是一條具有四個(gè)「拐點(diǎn)」的傳遞函數(shù)曲線，如圖 12。

圖 12：由四個(gè) 6dB/octave 濾波器疊加構(gòu)成的傳遞函數(shù)曲線

我們因此可以得到一個(gè)重要的結(jié)論：盡管被動(dòng) 4-pole 濾波器在高頻位置會(huì)接近于于 24dB/octave 的響應(yīng)，但在某些頻段中，其響應(yīng)會(huì)多少與 6dB/octave、12dB/octave、以及 18dB/octave 類似。另外，如果你仔細(xì)觀察上面的圖線，你可以發(fā)現(xiàn)中間的這些區(qū)域并不是精確的直線，也就是說頻率與輸入輸出的信號(hào)并不像之前那樣直接。

盡管我們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)理論上具備 24dB/octave 的電路，但由于濾波器之間的相互作用，其各自的截止頻率都不盡相同。另外，每個(gè)截止頻率出的拐點(diǎn)都是圓滑的，并且就算四個(gè)分濾波器的截止頻率完全一致，合成起來的拐點(diǎn)也不會(huì)因此變得「尖銳」。而且，我們還忽略了其對(duì)于截止頻率以下的頻率造成的影響，低于截止頻率的信號(hào)理論上不應(yīng)該受到濾波器的影響，但實(shí)際上由于上述濾波器的工作原理，其截止頻率以下的信號(hào)也會(huì)遭到一定程度上的衰減，并且還有可能產(chǎn)生一些其他我們不想要的結(jié)果。還有最后一點(diǎn)：我們還完全忽略了每個(gè)分濾波器對(duì)于波形相位造成的偏移。

聽到這里你也許會(huì)想，擁有這么多副作用的濾波器八成沒有什么實(shí)用性，但實(shí)際上我們可以通過為上述濾波器的電路中的每個(gè)濾波器之間添加一些元件，使它們之間的響應(yīng)彼此分離（或者「緩沖」），因此解決上述的部分問題。這些元件包括運(yùn)算放大器（operational amplifiers），通常被簡(jiǎn)稱為「op-amp，運(yùn)放」。運(yùn)放等元件使得濾波器由「被動(dòng)」變?yōu)椤钢鲃?dòng)」。

不難想象，幾乎所有模擬合成器中使用的濾波器均為主動(dòng)濾波器（一小部分亮度控制或者基礎(chǔ)均衡器中可能會(huì)用到被動(dòng)濾波）。主動(dòng)濾波器要比被動(dòng)濾波器更加復(fù)雜，但它們的優(yōu)勢(shì)在于，在設(shè)計(jì)合理的情況下，你可以很容易地使他們以你需要的方式運(yùn)作。比如說，有些濾波器會(huì)專注于在截止頻率處保證一個(gè)尖銳的拐點(diǎn)；有些濾波器保證截止頻率以下的信號(hào)盡量不受改變；還有一些濾波器能夠?qū)崿F(xiàn)某些獨(dú)特的相位響應(yīng)…不過這些優(yōu)點(diǎn)很難同時(shí)實(shí)現(xiàn)，所以與錄音設(shè)備制造的許多其他方面類似，好的濾波器設(shè)計(jì)通常是在各種優(yōu)點(diǎn)之間權(quán)衡取舍的結(jié)果。

但還有另外一個(gè)因素需要考慮：即便是我們?cè)谟懻撨@些濾波器的基本問題的時(shí)候，我們也都認(rèn)為電路中的各個(gè)元件是「理想」的。然而實(shí)際上許多電子元件的實(shí)際參數(shù)與其標(biāo)稱參數(shù)相差百分之一或者百分之二，甚至有時(shí)候相差百分之十幾都是正常的情況。這也就意味著即便是兩個(gè)表面上完全一致的電路之間通常也會(huì)有些許細(xì)微的差異。還以之前的 24dB/octave 濾波器為例，四個(gè)「pole」之間完全對(duì)齊的可能性非常之小。這也意味著我們之前對(duì)于被動(dòng)濾波器總結(jié)的結(jié)論其實(shí)可以廣泛適用：

4-pole 濾波器總會(huì)在高頻位置接近于 24dB/octave，但在某些頻段中也會(huì)表現(xiàn)出 6dB/octave、12dB/octave、以及 18dB/octave 的響應(yīng)。

說了這么多，我們不難發(fā)現(xiàn)：濾波器的工作原理要比我們預(yù)想中復(fù)雜得多得多。盡管 Minimoog 和 ARP 合成器中都使用了 24dB/octave 濾波器，但兩者的聽感卻明顯不同。同樣，MS20 與 Oberheim SEM 中的 12dB/octave 濾波器給人的聽感彼此也大相徑庭。所以，作為本文的最后一條結(jié)論，我想說的是：

不管彼此的差別是否明顯，每種模擬濾波器的設(shè)計(jì)所造成的聽感都會(huì)有所不同。

在設(shè)計(jì)濾波器的時(shí)候，運(yùn)用一些技巧可以克服濾波器本身的固有缺陷。比如說，Marc Paping 在設(shè)計(jì)他的 Fénix 半模塊化合成器的時(shí)候使用了一個(gè) 5-pole 設(shè)計(jì)（其理論上具備 30dB/octave 的響應(yīng)），從而使得 Fénix 的「Moog 風(fēng)格」低通濾波器實(shí)現(xiàn)了真正的 24dB/octave。

另一方面，設(shè)計(jì)濾波器的時(shí)候也很容易犯錯(cuò)。一個(gè)簡(jiǎn)單的計(jì)算錯(cuò)誤導(dǎo)致了運(yùn)用于某些 ARP 合成器中的臭名昭著的 ARP4075 濾波器。理論上這應(yīng)該是一個(gè)頂尖水準(zhǔn)的濾波器，但設(shè)計(jì)缺陷導(dǎo)致了其截止頻率無法達(dá)到 12kHz 以上，因此使得運(yùn)用了該濾波器的合成器聽起來十分「渾濁」、「死氣沉沉」。神奇的是，只需要換掉電路板上的四個(gè)電阻就可以簡(jiǎn)單地修復(fù)這一問題。