過渡介質從通帶到阻帶的陡峭度為代價，該巴特沃茲濾波器將在輸出信號中提供平坦的響應。因此，它也被稱為最大平坦幅度濾波器。

濾波器的衰減響應率由電路中的極數決定。極數將取決于電路中電抗元件的數量，即電路中使用的電感器或電容器的數量。

n階巴特沃茲濾波器的幅度響應如下：

Vout/Vin=1/√{1+(f/fc)2n}

其中“n”是電路中的極數。隨著“n”的值增加，濾波器響應的平坦度也會增加。

“f”=電路的工作頻率，“f”c'=電路的中心頻率或截止頻率。

這些濾波器具有預先確定的考慮因素，其應用主要在較高頻率的有源RC電路中。盡管它不能提供尖銳的截止響應，但它通常被認為是許多應用中使用的全能濾波器。

巴特沃斯近似

眾所周知，為了滿足濾波器響應的考慮并具有接近理想濾波器的近似值，我們需要具有更高階濾波器。這將增加復雜性。

我們還知道低通和高通電路的輸出頻率響應和相位響應。理想的濾波器特性是最大平坦度、最大通帶增益和最大阻帶衰減。

要設計濾波器，需要適當的傳遞函數。為了滿足這些傳遞函數，在模擬濾波器設計中進行了數學推導，具有許多近似函數。

在這樣的設計中，巴特沃斯濾波器是濾波器類型之一。低通巴特沃茲設計考慮主要用于許多功能。稍后我們將討論歸一化低通巴特沃茲濾波多項式。

一階低通巴特沃茲濾波器

下面的電路顯示了低通巴特沃茲濾波器。

巴特沃茲濾波器所需的通帶增益主要取決于“R1”和“Rf”的電阻值，濾波器的截止頻率將取決于上述電路中的R和C元件。

濾波器的增益為A_max=1+R1/Rf

電容器“C”的阻抗由-jX給出C電容器兩端的電壓為：：

Vc=–jXC/(R–jXC)*Vin.

WhereXC=1/(2πfc),capacitiveReactance.

極性濾波器的傳遞函數由下式給出

H(jω)=|Vout/Vin|∟?

其中濾波器的增益Vout/Vin=Amax/√{1+(f/fH)2}

在較低頻率下意味著當工作頻率低于截止頻率時，通帶增益等于最大增益。

Vout/Vin=Amaxi.e.constant.

在較高頻率下意味著當工作頻率高于截止頻率時，增益小于最大增益。

Vout/Vin < A < span > max < /A < >

當工作頻率等于截止頻率時，傳遞函數等于Amax/√2。增益的下降速率為20dB/十倍頻程或6dB/倍頻程，在響應斜率中可以表示為-20dB/倍頻程。

二階低通巴特沃茲濾波器

連接到一階巴特沃茲濾波器的附加RC網絡為我們提供了二階低通濾波器。這種二階低通濾波器的優點是，增益在截止頻率之后（在阻帶內）滾降得非常快。

在該二階濾波器中，截止頻率值取決于兩個RC部分的電阻和電容值。截止頻率使用以下公式計算。

fc=1/(2π√R2C2)

增益以40dB/十倍頻程的速率滾降，該響應以斜率-40dB/十倍頻程顯示。濾波器的傳遞函數可以給出為

Vout/Vin=Amax/√{1+(f/fc)4}

二階濾波器傳遞函數的標準形式如下：

Vout/Vin=Amax/s2+2εωns+ωn2

其中ωn=振蕩的固有頻率=1/R2C2

ε=阻尼系數=(3–A.max)/2

對于二階巴特沃茲濾波器，所需的中間項是sqrt(2)=1.414，從歸一化巴特沃斯多項式為

3–A.max=√2=1.414

為了獲得安全的輸出濾波器響應，增益必須A.max是1.586。

高階巴特沃茲濾波器是通過級聯一階和二階巴特沃茲濾波器獲得的。這可以顯示如下：

其中n和bn是預先確定的濾波器系數，用于生成所需的傳遞函數。

巴特沃茲濾波器的理想頻率響應

輸出響應的平坦度隨著濾波器階數的增加而增加。下面給出了不同階次的巴特沃茲濾波器的增益和歸一化響應。

歸一化低通巴特沃茲濾波多項式

歸一化是電壓、電流或阻抗除以同一測量單位的數量的過程。此過程用于制作特定值的無量綱范圍或水平。

濾波傳遞函數的分母多項式給了我們巴特沃斯多項式。如果我們考慮半徑相等的圓上的s平面，其中心位于原點，那么巴特沃茲濾波器的所有極點都位于該s平面的左半部分。

對于任何階濾波器，“s”的最高冪的系數應始終為1，對于任何階濾波器，常量項應始終為1。對于偶數階濾波器，所有多項式因子本質上都是二次的。對于奇階濾波器，除一階濾波器外，所有多項式都是二次的，對于一階濾波器，多項式為1+s。

系數形式的巴特沃茲多項式如下表所示。

n階巴特沃茲濾波器的傳遞函數如下給出

H（jω）=1/√{1+ε2（ω/ωc)2n}

其中n是篩選器的順序

ω是弧度頻率，等于2πf

ε是最大通帶增益Amax

巴特沃茲低通濾波器示例

我們考慮截止頻率為15.9kHz、通帶增益為1.5、電容C=0.001μF的巴特沃茲低通濾波器。

fc=1/2πRC

15.9103=1/{2πR10.001*10^-6}^

R=10kΩ

Amax=1.5andassumeR1as10k?

Amax=1+{Rf/R1}

Rf=5k?

三階巴特沃茲低通濾波器

一階和二階巴特沃斯濾波器的級聯連接得到三階巴特沃斯濾波器。三階巴特沃茲濾波電路如下所示。

對于三階低通濾波器，給定歸一化低通巴特沃茲多項式的多項式為(1+s)(1+s+s2)。此過濾器包含三個未知系數，它們是0一個1一個2.

這些系數值為0=1，a1=2和a2=2。與一階濾波器相比，該三階巴特沃茲濾波器的曲線平坦度增加。