我們從復指數形式的傅里葉級數的系數出發：

其中，f T (t)為周期信號，我們將周期T乘到右邊，得到：

從上一講我們知道，周期信號的幅度譜和相位譜是在kω 0 （k=0,±1,±2,……）上離散的點取值，那么，ω0也可以表示為離散點的間隔，記作?ω。同時從上述表達式可以看出，TCk是一個變量為kω0的函數（原因很簡單，表達式是對t積分，積分完t就沒了，那么只有kω0這個變量），而kω0也可以記作k?ω，表達式可以換成：

當T—>?時，f T (t) —>f(t)，而?ω—> dω，k?ω—> ω：

那么就可以得到傅里葉變換，即：

而從上述表達式轉化中可以看出，TCk是一個變量為k?ω的函數，那么當T—>?時， TC k =C k /f，f—>0，即C(ω)為單位頻率的表達式，因此把C(ω)稱之為頻譜密度函數，也就是我們常說的頻譜函數。

我們再看傅里葉逆變換：

我們從周期信號的復指數形式傅里葉級數出發：

根據上面推導傅里葉變換的結論，上面表達式可以轉換為：

而?ω=2π/T，則：

當T—>?時，f T (t) —>f(t)，?ω—> dω，k?ω—> ω，則可以得到傅里葉逆變換的表達式：

至此，傅里葉變換和傅里葉逆變換的表達式推導完畢。從推導過程可以看出，我們從傅里葉級數出發，利用了T—>?這個條件，C(ω)=C(k?ω) =TCk **，**從而推導出傅里葉變換，換句話說，傅里葉變換是周期趨于無窮大的周期信號的傅里葉級數。

接著我們看第二個問題：傅里葉變換的物理意義。

我們還是從傅里葉變換和傅里葉級數的關系入手：

傅里葉變換：

傅里葉逆變換：

我們再結合傅里葉級數的表達式：

從上一篇可知，傅里葉級數的物理意義是：任意一個周期信號，都可以用該復指數函數集{e^jk^ ^ω0t^ }(k=0,±1, ±2,……)來表示；而Ck為f(t)在復指數函數集{e^jk^ ^ω0t^ } (k=0,±1, ±2,……)各個正交基的坐標，即C~k~描述了各頻率分量kω ~0~ (k=0,±1, ±2,……)之間的相對關系，其中|C ~k~ |~ω的關系圖稱為幅度譜，代表各頻率分量kω~0~ (k=0,±1, ±2,……)的絕對大小，? ~k~ ~ ω稱為相位譜，代表各頻率分量kω~0~ (k=0,±1, ±2,……)的相對位置。

那么類推可知， 傅里葉變換的物理意義是：任意一個非周期信號，都可以用復指數函數集{e^j^ ** ^ωt^ }** 來表示（其中ω無限趨近于0），而C(ω)為f(t)在復指數函數集{e^j^ ** ^ωt^ }** 各個正交基的坐標，即C(ω)描述了各頻率分量之間的相對關系，其中| C(ω)|~ω的關系圖稱為幅度譜，代表各頻率分量的絕對大小，? ω ~ ω稱為相位譜，代表各頻率分量的相對位置。

兩者的區別用下圖表示，就一目了然了，由于非周期信號中的ω，是一個無限趨近于0的變量，反映在圖中，即每根正交基向量之間的間距無限小，這也再一次說明了上面那個結論：傅里葉變換是周期趨于無窮大（頻率趨于無窮小）的周期信號的傅里葉級數。

基于上面的物理意義，就很容易理解“ 非周期信號的頻譜是連續的，周期信號的頻譜是離散的 ”這句話的含義。

接下去看第三個問題，周期信號的傅里葉變換和傅里葉級數之間的關系？

先了解三個典型信號的傅里葉變換對（利用傅里葉變換的表達式很容易推出，此處不詳細闡述）：

我們利用這三個典型信號的傅里葉變換對，從復指數形式的傅里葉級數出發：

因為：

因此：

從而可以得出周期信號的傅里葉變換：

我們知道，周期信號的傅里葉級數是為了將周期信號從時域轉換成頻域進行分析，也就是周期信號的頻譜，而周期信號的傅里葉變換也是將周期信號從時域轉換成頻域進行分析。 那么從表達式上看，一個是Ck，一個是2****πCkδ(ω-kω 0 )，兩者完全不一樣，實際上是這樣的嗎？

我們仔細分析可知， δ(ω-kω 0 )其實就是在頻率為kω0的一系列沖激信號，也就是說，周期信號的傅里葉變換2πCkδ(ω-kω 0 )只是在頻率為kω0才有數值，且數值為2πCk，其他頻率皆為0。而傅里葉級數Ck我們之前分析過它的幅度譜和相位譜，只是在kω0的地方才有數值，而兩者之間的幅度譜相差一個2π的倍數，就是之前推導傅里葉變換時，C k =C(ω) * ω/2π****而產生的，因此兩者雖然表達式不一樣，但本質是一致的。

我們分析出周期信號傅里葉變換和傅里葉級數之間的關系后，就會不由自主地想到另外一個問題：周期信號的傅里葉變換和非周期信號的傅里葉變換存在什么樣的關系呢？

分析這個問題，我們可以從一個非周期信號入手，通過周期拓展的方式，將該非周期信號在時間T的周期內進行復制，從而得到一個周期信號，如下圖所示。

那么怎么進行周期拓展呢？我們應當想到卷積中講到的信號的分解性質，即一個信號可以分成自身和單位沖激信號的卷積。那么我們只要把單位沖激信號平移周期kT（k=1,2,3,……），再與原本信號進行卷積，相當于把該信號在周期kT上依次進行復制，從而得到周期為T的信號。

因此我們可以得到：

根據δ(t-nT)和卷積的性質，上式進行傅里葉變換：

而C(ω)只是在kω0的點上有值，因此上式可以轉換為：

因此，我們從周期拓展的角度出發，同樣得到了周期信號的傅里葉變換，從上式可以發現， 一個信號在時域上進行周期T拓展時，所對應的頻譜函數只在kω0上有值，也就是說在頻域上，頻譜函數是離散的， 從周期拓展的角度又一次佐證了 “ 非周期信號的頻譜是連續的，周期信號的頻譜是離散的 ”這句話。

最后放上自己的一點有趣的思考。

前面我們從復指數形式和周期拓展的形式分別得到了周期信號的傅里葉變換，因為信號是同一個信號，因此兩者的傅里葉變換應該相同，因此，我們得出：

進一步化簡可知：

此處我們得到了周期信號傅里葉級數和傅里葉變換的關系，**即傅里葉級數是非周期傅里葉變換在kω 0 **上的取值。

而我們文章一開始推導傅里葉變換的時候，用到的條件之一即為：

我們從傅里葉級數出發，利用這個條件推導出非周期信號的傅里葉變換，繼而推導出周期信號的傅里葉變換，最后利用周期信號的傅里葉變換又反推導回傅里葉級數。