一、引言

系統(tǒng)數(shù)學模型時域表示：端口（輸入-輸出）描述（一元n階微分方程）與狀態(tài)方程描述（n元聯(lián)立一階微分方程）

二、系統(tǒng)數(shù)學模型（微分方程）的建立

建立方程式： 元件約束特性 + 網(wǎng)絡拓撲約束 （KVL+KCL）

三、用時域經(jīng)典法求解微分方程

四、起始點的跳變——從0-到0+狀態(tài)的切換

五、零輸入響應與零狀態(tài)響應

六、沖激響應與階躍響應

七、卷積

八、卷積的性質(zhì)

九、利用卷積分析通信系統(tǒng)多徑失真的消除方法

解卷積求出回波系統(tǒng)逆沖激響應函數(shù)→激勵卷積回波系統(tǒng)沖激響應函數(shù)卷積回波系統(tǒng)逆沖激響應函數(shù)=激勵本身

十、用算子符號表示微分方程

十一、總結(jié)

LTI 系統(tǒng)分析方法包括時間域和變換域兩方面的問題。時域直接求解系統(tǒng)微分、積分方程， 直觀且物理概念清晰 。系統(tǒng)數(shù)學模型的時域表示一般用端口描述與狀態(tài)方程描述的方法。本章主要介紹的是端口描述的方法。一般根據(jù)元件的約束特性和網(wǎng)絡拓樸約束構(gòu)建系統(tǒng)的數(shù)學模型，即微分方程。可以采用 時域經(jīng)典法 、零輸入零狀態(tài)法和卷積的方法來求解系統(tǒng)的微分方程。

時域經(jīng)典法將微分方程的全解分解為齊次解與 特解 。采用高數(shù)所給結(jié)論求出解的形式并根據(jù)條件求出待定系數(shù)。根據(jù)其求解過程，齊次解與特解具有很清晰的物理意義： 齊次解對應完全由系統(tǒng)自身特性決定其形式（特征根與自然頻率）的自由響應 （求出形式及其特征根，當然最后的系數(shù)也要根據(jù)條件與激勵求出來）， 特解對應系統(tǒng)特性與外加激勵共同決定的強迫響應 。因此時域經(jīng)典法具有清晰的物理概念，然而求解過程較為麻煩。同時，還需考慮 起始點的跳變 ，即0-到0+狀態(tài)的切換。 跳變由激勵的突然接入引起 。 起始狀態(tài) （0-）表達的是 系統(tǒng)過去的信息 ， 初始狀態(tài) （0+）表達的是 接入激勵后剛開始的初始條件 （作為求解微分方程的初始條件）。其可以根據(jù) 系統(tǒng)內(nèi)部儲能的連續(xù)性 （電容與電感特性）或沖激函數(shù)匹配法來確定。

零輸入零狀態(tài)法則由上述起始條件與初始條件引出。 零輸入響應是沒有外加激勵信號，只由起始狀態(tài)（系統(tǒng)儲能）所產(chǎn)生的響應 ，沒有激勵的接入因此 不會產(chǎn)生跳變 。而 零狀態(tài)響應則不考慮起始時刻系統(tǒng)儲能的作用（認為原來系統(tǒng)沒有能量），由系統(tǒng)本身外加激勵信號所產(chǎn)生的響應 ，因此 可能發(fā)生跳變 （后面引入卷積后可以用卷積方法求解）。要注意自由響應與零輸入響應的區(qū)別。其 均滿足齊次方程的解 ，但 零輸入響應僅由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和起始儲能狀態(tài)決定 ，而 自由響應的形式則由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)決定，其系數(shù)需要根據(jù)激勵信號和起始儲能狀態(tài)求出 。

卷積方法則是 將信號分解為沖激信號之和，借助系統(tǒng)沖激響應來求解系統(tǒng)對任意激勵信號的零狀態(tài)響應 。首先引入系統(tǒng)的 沖激響應 ，即單位沖激信號作為激勵，系統(tǒng)產(chǎn)生的 零狀態(tài)響應 （可見不考慮儲能）。根據(jù) 線性時不變系統(tǒng)的疊加原理 ，能夠得到系統(tǒng)接入不同激勵產(chǎn)生的零狀態(tài)響應（從δ(t)到e(t)，從h(t)到r(t)，推導過程就是卷積能夠求解零狀態(tài)的原因）。引入卷積能夠更方便地求解系統(tǒng)的 零狀態(tài)響應 （詳見第四章拉氏變換部分，根據(jù)數(shù)學推導，引入卷積能夠很巧妙地跳過起始條件到初始條件的繁瑣求解，將這一變化包含了進去）。卷積將一個函數(shù)拆分成一個個的沖激， 揭示了系統(tǒng)某一時刻的輸出是由無數(shù)個單一輸入共同作用（疊加）的結(jié)果 。而這種結(jié)果與之前所有時刻響應均有關的積分運算過程在信號處理上相當于一種 平滑與展寬的濾波 。卷積的詳細物理意義與應用見后續(xù)傅里葉變換與拉氏變換部分的介紹。