作者：劉偉濤 吳蜀明

－作者簡介－

Peter W. Milonni

羅切斯特大學物理和天文學系教授

－譯者簡介－

劉偉濤，理論物理研究所2017級博士生

導師：鄒冰松研究員

研究方向：強場原子核物理理論

吳蜀明，理論物理研究所2019級博士生

導師：鄒冰松研究員

研究方向：強子物理

譯者注

在常溫下，我們經常可以看到自發輻射，卻難以觀察到自發吸收，這是為什么呢？Milonni的這篇文章，從半經典的角度解釋了自發輻射的機制，或許可以給我們一些啟示。

這篇文章討論了一個長期存在的問題——為什么一個被激發的原子可以產生輻射？當我們把輻射反應和輻射場的零點漲落聯系起來，我們得到了一個令人滿意的圖像。我們強調，漲落-耗散定理聯系了這兩個效應。

啊，只一閃耀，熱熾的原子就在寒冷的寂滅里融消。

——P. B. Shelley, Adonais

01.

問 題

Feynman 教授曾經講過這樣一個故事[1]：

你可能會猜測這個問題從何而來，事實上它出自我的父親。在我去過麻省理工、去過普林斯頓之后，我回到了家里，我的父親說：“你現在接受了科學教育。而我一直想了解一些我理解不了的問題。所以，兒子，我希望你能給我解釋。”我說：“好的。”

他說：“我理解他們所說的光是從原子里面發射出來的，這時原子從一個激發態躍遷到了一個低能態。"

我說：“是這樣的。"

“而光是一種粒子，我想他們把它稱作光子。”

“是的。”

“所以如果光子是激發態的原子到低能態時發射出來的，那光子就必然在激發態的原子里。”

我說：“不。”

他說：“那么，你怎么看這個問題，一個光子跑了出來，但這個光子卻不在原先的激發態里？”

我思考了幾分鐘，然后說：“我很抱歉，我不知道。我沒辦法給你解釋。”

他很失望，在那么多年中，他都嘗試教給我一些東西，但結果卻是很失敗。

直到今天，為什么一個原子會輻射，或者一個原子怎樣輻射，這個問題都會引起大多數物理學家相似的回答。但是過去的十多年中我們取得了一些進展。在這篇文章中，我將盡我所能地用最簡單的方式闡釋最近的發展。為了更好地了解這個問題的來龍去脈，我將在第2節強調不同輻射現象的關聯性，而在第3節來講一些相關的歷史。我用第4節和第5節來講兩個可能的自發輻射的詮釋，而在第6節，我在某種程度上把它們結合成一種詮釋。在第7節我會以一些細節的討論來結束這篇文章。

02.

關聯性

我們身邊絕大多數光，都來源于自發輻射。可以說，沒有自發輻射，我們人類就不能生存。

我們考慮一個輻射熱源。這樣一個熱源中，一個原子同時存在自發和受激兩種輻射方式。這兩種輻射的速率分別為和，這里的和分別是自發輻射和受激輻射的Einstein系數，而是Planck能譜密度。對于一個給定的Bohr頻率，因為[2]，這兩個速率的比值是

如果我們把太陽看成一個的熱源，對于，這個比值大約為400，而對于，這個比值大約為30。這樣，當我們把太陽當作一個理想的黑體輻射源時，它絕大多數的可見光都來源于自發輻射。

自發輻射其實是非常普遍的，以至于我們用了很多名詞來指代這樣一件相同的事情。如果一個原子（也可以是分子）不是被熱激發的，而是由其他方式激發的，自發輻射又被稱為發光。螢火蟲就是發光的。而對于發光，又有不同的名稱，這又具體地取決于這些激發態是怎樣產生的（比如電發光、化學發光等）。如果激發是因為吸收了輻射，那么自發輻射又被稱作熒光。有時，一些分子會處在亞穩態，這樣在輻射場關閉后，這些分子仍然可以產生自發輻射。這種現象，人們稱作磷光。在黑暗中，一些雕像會神奇地發光，這就是磷光。

當然，激光的產生是因為受激輻射。然而，當激光器打開時，產生激發效應的光子實際上也是來源于自發輻射。

03.

歷 史

1887年，Hertz的實驗證實了振蕩的電荷是會輻射的。在Lorentz的光和物質的理論[3]中，原子的輻射被歸咎于原子中電子的振蕩。但這并不能讓我們理解為什么它們的輻射總有一些特定的頻率。而原子的吸收和發射頻率被生硬地塞進一個包含了“彈簧系數”的電子結合理論。但這一切在1913年被Bohr提出氫原子理論所改變了。

Bohr認為自發發射是非經典的，而“自發”意味著非因果性。即我們不能準確地預知一個被激發的原子什么時候會完成一個量子躍遷，然后發射一個光子。

Einstein在1917年進一步揭示了自發輻射的非經典性質。Einstein工作中的特別之處在于他推測在自發輻射中，原子必然會有一個反沖。這個反沖在經典理論中不能得到解釋，因為在經典理論中，一個原子輻射出的場不會有一個線性的動量[4]。根據Einstein的觀點，“放出的輻射不會出現球面波”[5]，如果原子輻射出球面波，那么它就不會有反沖。利用熱力學的論點，Einstein推導了自發輻射和受激輻射的系數比值。

第一個從第一性原理的角度推導系數的人是Dirac[6]，他使用了一套新的量子輻射理論。而在經典的電磁學中，沒有人能夠建立一套令人滿意的自發輻射理論[7]。要解釋從螢火蟲發光到激光器啟動的這一系列的問題，需要量子電動力學。

但是，量子電動力學又對自發輻射現象提供了一個怎樣的物理圖像呢？在大量相關的文獻中，可以找到兩種答案。

較早的答案將自發輻射和經典理論中被熟知的輻射反應聯系起來。Dirac曾在文章中寫道“既然現有的理論給出了自發輻射的解釋，那么它也能夠給出輻射體系的輻射反應”[6]。這樣的解釋，根據同一年Landau發表的一片文章[8]和更早一些的van Vleck發表的使用到對應原理的文章[9]，也是無可指摘的。

一段時間之后出現了另外一種答案。對于Lamb位移的研究使得人們有了一個新觀點：Lamb位移的能級移動——和自發輻射所產生的“自然展寬”一樣——都可歸因于電磁場在零點的量子漲落。在1948年的一篇著名的文章中，Welton[10]認為自發輻射“可以被認為是由漲落的場而導致的強制的輻射”。

人們逐漸意識到這兩種觀點在本質上是相同的。在討論它們的等價性之前，我們有必要先更加仔細地分別討論這兩個觀點，并認識什么是零點場。

04.

輻射反應

考慮一個振蕩的電偶極矩。我們都知道這個偶極矩輻射能量的速率是

箭頭表示我們將若干個周期內的功率求平均值。

假設有一個電荷，它相對于一個無窮質量的相反電荷的位置為。這時我們就有了一個振蕩的偶極矩，輻射速率由(4.1)給出。因為一個質量為的振蕩電荷的總能量為

我們得到了

此式即為能量因為輻射而減少的速率。

假設我們希望對原子中的一個電子利用(4.3)。如果電子可以從一個能級躍遷到另一個能級，我們將認作躍遷頻率，而

便是高能級的輻射衰變概率。然而，這些推導都是經典的。為了能夠給出一個量子力學的預計，我們必須用躍遷諧振子強度給它一個“權重”，即[11]

這里的是躍遷的偶極矩陣元。

但不幸的是，這只是Einstein自發輻射系數的一半，我們將在之后繼續討論這個問題。

假設我們計算點電荷振蕩時在自身所形成的電場。在一些相當繁瑣的計算之后[12]，我們可以得到

這即所謂的輻射反應場。在這個場的作用下，我們所考慮的偶極子能量的變化率

同樣，這里的箭頭表示若干個周期內取平均值的結果。

(4.3)和(4.7)的結果是一致的。這表明我們可以將振蕩電荷能量的散失歸因于它的“自場”，即(4.6)。這樣，通過經典-量子對應(4.5)，我們發現自發輻射是由原子中電子的輻射反應場引起的，只是我們的衰變速率結果有一個因子為的偏差。

05.

真空場

由量子力學可知道，一個頻率為的諧振子，它的零點能為。相似地，由量子力學可知，電磁場的任意模式，都有的零點能。但是在的頻率范圍內，單位體積內存在個模式[13]。這樣在體積為V的空間內，在的頻率區間便存在一個電磁零點能

而是真空電磁場的“零點譜”。

這個場會對原子產生影響嗎？根據Einstein的理論，在能譜密度為的場中，受激輻射的速率是，其中

是受激輻射系數。這樣由零點場所導致的偶極矩陣為，頻率為的輻射速率為

非常有趣的是，。

受激輻射和吸收的系數是相同的（如果我們忽略簡并的因素）。那么為什么沒有從零點場里的自發吸收呢？

06.

部分的統一

、都等于Einstein自發輻射系數的一半絕對不是偶然。作為理解這個問題的第一步，我們將看到輻射反應和零點場共有著一個相當密切的關系。

為了建立這樣一種關系，一個方便的做法是先考慮一個“自由的”電子，這個電子受到真空場和自身輻射場的作用。在形式上，海森堡運動方程和經典運動方程是一致的：

這里的是真空，或者稱作零點電場。（實際上它僅僅是這個場在方向上的分量，因為為了簡便，我們只考慮沿方向的電子運動。）我們把(6.1)寫成

而此處

是電子的觀測質量，是“裸”質量，稱作"電磁質量"。

遺憾的是，電磁質量被證明是無窮大的。在我們的非相對性理論中它是線性發散的；在相對性理論中它是對數發散的。我們忽略這個困難并且假設裸質量和電磁質量加起來等于一個常數。這個過程被稱作質量重整化。而當今的物理學便是建立在重整化這一“原則”之上的。

在很長一段時間內，物理學家曾經嘗試避免這樣的無窮大量。例如Wheeler-Feynman吸收子理論[14]，它會導致一個的項，但沒有電磁質量項。最近，一些觀點認為，雖然我們還沒有一個相對論性的理論，但在完整量子力學的輻射理論應有[15]。無論如何，我們需要謹記Dirac對于重整化的異議[16]：“這僅僅是一些不合理的數學。合理的數學只應該忽略小量——而不是忽略一個你不想要的無窮大量！”

我們將會假設(6.2)是正確的。但如果它是正確的，它必須和量子力學的基本觀點是兼容的。具體來說，算符方程(6.2)得到的解，和相對應的線性動量的解，必須滿足對易關系。我們可以得到[17]

所以運動方程(6.2)保證了反對易關系。在(6.4)中，是零點場的能譜，而我們定義了。

現在不難看出，(6.4)中分母上的起源于(6.2)中的輻射反應場對應的項。進一步看，零點場的能譜密度正比于（可參考(5.1)），這樣我們在(6.4)中可以消去的因子，然后剩下

如果正比于的其他次冪，我們便不能保證對易關系！

我們這里討論的是一個漲落-耗散定理[18]的例子。如果存在一個輻射反應場，則必然存在一個零點場，反之亦然成立。更進一步地，零點場的能譜正比于的三次方，這是因為輻射場正比于的三階導數[17]。這便是輻射場和零點場之間的密切聯系，也是等式成立的原因。

早先對于和的“推導”在某種程度上具有啟示意義。然而，一個量子力學的計算在很大程度上支持了這樣的結果。這樣的方式計算明確地揭示了輻射場和零點場對自發輻射的貢獻。對于一個處在激發態的原子，這兩個貢獻加起來便得到總共的輻射速率

即Einstein常數。然而，對于一個基態的原子，這兩個貢獻卻互相抵消，得到衰變速率。而后者至少從量子力學的角度解釋了為什么不存在從零點場的自發吸收[19]。

輻射場和零點場相互作用的關鍵便是它們之間的漲落-耗散關系。就像電路中Nyquist-Johnson電壓漲落和電阻相關，零點場的漲落也和輻射阻力（或者說輻射反應）相關。在這兩個例子中，耗散力和與之相對應的漲落力的頻譜都有著明確的關系。

和以因子區別于Einstein系數A。這個在我們的討論中是非常重要的因子，在輻射理論中有著很長的歷史，特別是在量子理論的胚胎時期。比如，在1913年Einstein和Stern發現如果我們假設偶極振蕩的零點能為，便可以推導Planck譜密度[4]。從現在的觀點看，經典理論不能計入場的零點能，即對頻率為的模式，應有的能量。這部分能量加上偶極振蕩的零點能，便給出了總共的零點能，這便是Einstein和Stern總結的諧振子的能量[4]。在量子理論中，兩種貢獻以一種自然的方式出現，而(6.6)給出了一個很好的例子。

07.

細 節

為了預防一些專家的反對意見，我在這里談談我的這種觀點和早前兩種觀點的聯系。這個新觀點同時被來自三個不同的研究所的物理學家“發現”[20,21]。這些研究受到了Ackerhalt等人的工作[22]的啟發，而Ackerhalt等人的工作奠定了用輻射反應解釋自發輻射的量子力學基礎。更加精巧而富有洞察力的觀點來自于Fain[23]和Dalibard等人[24]。Sciama[24,25]還使用和之間的漲落-耗散關系討論了黑洞的熱力學。

對于自發輻射速率的海森堡繪景的推導涉及到了原子算符和場算符的交換乘積。如果我們使用對稱的順序，我們得到的是，即(6.6)。而一個“正常”順序，會導致，而使用其他的順序還可以得到等結果。當然，我們所得到的自發輻射系數A的表達式是不變的，這是因為我們重排的算符實際上是對易的，但我們對自發輻射速率的詮釋卻會發生改變。這又是輻射場與零點真空場的緊密的漲落-耗散關系的結果。Dalibard等人[24]主張在某些情況下，對稱次序是更為合理的。

很多物理效應都可歸因于零點電磁場。包括van der Waals力和Casimir力[27]。我們會自然地聯想，會不會存在其他一些效應可以歸因于輻射反應，就像自發輻射一樣。答案是存在這些效應[28]。而關于這些效應的理論在本質上和自發輻射并無不同。但據我所知，在之前沒有人將van der Waals力或者Casimir力歸于輻射反應。如Jaynes[29]所說，我們花費了很長時間才認識到輻射場中漲落-耗散定理的作用。

08.

致 謝

我要感謝David Stoler在不同場和鼓勵我來寫一篇關于自發輻射的教學文章，也感謝他和我關于光子所展開的有趣的討論。許多同事幫助我明確了在這個問題上的思路，特別是最近Richard J. Cook. 我還要感謝Alan H. Paxton將文獻[1]帶給我。

編輯：黃飛