在結構中開孔以符合某種工程需求是工程上常見的現象，例如機械結構中連接件、以及隧洞開挖、水利工程中的泄洪口等，而確定孔邊應力分布，進而對開孔構件進行強度校核，包括剛度校核、穩定性判定是確保各類開孔工程安全的基礎。針對于這一問題，巴黎綜合理工學院的兩位校友拉梅（Gabriel Lame, 1795-1870）和克拉貝隆（Emile Clapeyron,1799-1864）于1831年率先得到了薄壁圓筒同時受內壓和外壓的解，這為結構開孔問題做出了奠基性工作。

設有一薄壁圓筒，受內壓為qa，受外壓為qb，圓筒的內半徑為a，外半徑為b，如圖2所示。在這一問題中，圓環為軸對稱，同時載荷也為軸對稱，該問題為（平面）軸對稱問題，其應力、應變、形變位移只是ρ的函數。

圖2 受內外均勻壓力的薄壁圓筒

在這種情況下，若采用極坐標系下應力函數法求解，用應力函數表達應力分量可作如下簡化

由極坐標下的相容方程推導應力函數，有

將其代入到應力函數表達應力分量的簡化公式，有

將上式代入物理方程（平面應力問題）、幾何方程，可得位移解為

式中，含有常數H、I、K的項均為求解幾何方程時增加的項，代表剛體位移，如果只考慮形變位移時，可將其視為0。此外對于上式的第2式第一項(4B/E)ρφ，筒壁任意點的坐標可表示為 (ρ, 2kπ+φ)，k為整數，也就是說極坐標對一點的描述有周期性。然而，對于一點的環向位移uφ只能是一個值，這就是多連體必須要滿足的位移單值條件。為了滿足位移單值條件，只能有B=0。由此可見，

簡化為

共有A和C兩個常數需要確定。考慮圓筒的邊界條件，在內壁上

在圓筒外壁上，有

將應力分量代入，可得

最后得，受均勻內壓和外壓的圓筒應力分布為

這就是拉梅-克拉貝隆解，利用該解我們可以推廣得出一系列的解，例如只有內壓而無外壓的情況，只需令拉梅-克拉貝隆解中的qb=0；只有外壓而沒有內壓時，只需令qa=0；若是無限大體中的圓筒只受內壓，即qb=0且b>>a時，將上兩式分子、分母同除以b2，并忽略1/b2，得

如果考慮位移邊界條件，這一問題還可以推廣為外壁固定有內壓或內壁固定有外壓，以及多層圓筒相套的接觸問題，拉梅-克拉貝隆解無疑為解決結構中開圓孔問題奠定了重要的理論基礎。

1898年，德國工程師吉爾斯 (Ernst Gustav Kirsch, 1841-1901) 在德國第39屆工程學會一般會議上發表了他有關無限大體中含圓孔時孔口應力分布的成果。他首先回顧了拉梅-克拉貝隆解，并將其推廣到無限大板開圓孔問題，但也指出了這種條件在實際工程中的有限性。從而，提出研究受載荷平板中含有圓孔的應力分布問題的必要性。

圖3 吉爾斯和他的孔口應力集中

如圖4所示，設有一平板，在其橫向受均勻載荷q，板中心含有一半徑為a的圓孔。特別注意，要求圓孔距離板的邊界很遠，且孔的半徑遠小于板的尺寸，此時就可以將其視為一無限大平板中含有小圓孔的問題。

圖4 受橫向均勻載荷的平板含有圓孔問題

針對該問題，吉爾斯想到了絕妙的辦法，通過改造邊界條件，使這一問題轉化為可用拉梅-克拉貝隆解的方法。當小圓孔遠離邊界，且圓孔遠小于板尺寸時，可圍繞圓孔再假定一個半徑為b的圓邊界，b遠大于a，同時也遠小于板尺寸，如圖5所示。

圖5 圍繞圓孔改造邊界條件

依據圖4所示的受力狀態，假想邊界上點的應力狀態可表示為

利用極坐標和直角坐標應力分量變換公式，寫出假想邊界上極坐標下的應力分量，有

將其視為新邊界上的面力，無限大方平板含有小圓孔問題，就轉換成了無限大圓形板含有小圓孔問題，此時內邊界條件可寫為

外邊界條件可寫為

觀察外邊界條件，可分解為軸對稱和非軸對稱兩個部分，我們知道當只考慮軸對稱部分時，就是拉梅-克拉貝隆解，為此，吉爾斯只需要集中精力求解非對稱部分，當兩部分解分別得到后，疊加就可以得到最終的解。以下我們分別敘述。

問題一：考慮軸對稱邊界，如圖5所示圖形，只考慮外邊界的軸對稱部分，該問題可借用只有外壓而沒有內壓的拉梅-克拉貝隆解，令受均勻內壓和外壓的圓筒應力分布公式中qa=0，qb=-q/2（負號表示拉應力），并考慮b>>a，有

問題二：考慮非軸對稱邊界，觀察非軸對稱邊界條件，再依據極坐標系下應力分量與應力函數的關系式，可假設σρ為ρ的某一函數，可設為f(ρ)，乘以cos2φ；τρφ為該函數乘以sin2φ。再依據應力函數與應力分量之間的關系

設出應力函數為

將其代入相容方程，有

在上式中，由于cos2φ不能總等于0，因此有

將上式兩邊同時乘以ρ4，上式轉變為標準的歐拉方程，其求解過程如下

將f(ρ) 的表達式代回應力函數，有

現在，我們將上述應力函數代入應力分量表達式，有

現在考慮邊界條件，內邊界上有

外邊界上，有

將應力分量代入邊界條件，得

再將得到的常數代回應力分量，有

現在，我們已經得到了軸對稱邊界和非軸對稱邊界下的應力分布，主需要疊加上式和下式的結果

就可以得到完整的無限大平板開小圓孔的解答，如

這就是無限大平板開圓孔的吉爾斯解答。由于圓孔開裂的控制應力為σφ，顯然，孔邊隨角度變化的環向應力σφ可寫為

將q視為遠端的均勻應力，可見，當φ=90°時，(1-2cos2φ) 取得最大值，為3。因此，圓孔周邊應力最大為遠端應力的3倍。當φ=0°時，環向應力為-q，這也驗證了泊松效應，一個方向為受拉時，垂直方向上受壓。

圖6 孔邊應力分布情況

再來觀察圓孔周邊應力集中的范圍，先假定φ=90°，寫出σφ的表達式為

經過簡單計算可以發現，當ρ=a時，σφ取最大值，為3q；當ρ=2a時，σφ=1.22q；當ρ=3a時，σφ=1.07q；當ρ=4a時，σφ=1.04q，可見在3倍半徑之后，孔邊應力與遠端均勻應力就只有7%的差別了，并且距離圓孔越遠就趨近于遠端的均勻應力，如圖7(a)所示。這也啟示我們，當需要在結構開多個孔時，孔間的距離至少要在3倍半徑之上，這樣可近似認為兩孔之間沒有相互影響。

再假定φ=0°，寫出σφ的表達式為

在沿著φ=0°的直線上，當ρ=a時，σφ=-q；ρ=√3a時，σφ=0，隨后應力迅速變為0，如圖7(b)所示。

圖7 環向應力隨離開圓孔的距離變化時的分布

如果稍關注一下拉梅-克拉貝隆、吉爾斯的背景就會發現，他們都有礦業工程背景，他們研究這一問題的動機很可能在于解決礦業工程中地下開挖時的力分布問題。不過很快，這一問題的解利用疊加原理被推廣到了多種場合下的應用。例如，雙向受拉的問題分解成一個水平方向受拉和一個垂直方向受拉，兩個吉爾斯解。

圖8 雙向受拉狀態下的開孔問題

純剪狀態下的開孔問題，通過應力狀態等效，將其等效為一個方向受拉、另一個方向受壓的情況，如圖9所示。

圖9 純剪狀態下開孔問題

還可以通過疊加，求出當存在一群孔時結構中的應力分布。吉爾斯解的意義不僅在于為解決工程上的開孔問題提供了依據，也為另一門力學分支奠定了基礎。在吉爾斯解的基礎上，蘇聯科學家Kolosov(1909)、Inglish(1913)，以及Muskhelishvili (1953) 都得到了橢圓孔的應力分布，Griffith(1921) 在Inglish 解的基礎上推導了含裂紋構件的強度，奠定了斷裂力學的發展基礎。

編輯：黃飛