傅里葉變換和系統的頻域分析

傅里葉級數

由信號的分解可知，周期信號f(t)在區間(t0,t0+T)可以展開成在完備正交信號空間的無窮級數。如果完備的正交函數集是三角函數集或指數函數集，那么，周期信號所展開的無窮級數就分別稱為"三角型傅里葉級數"或"指數型傅里葉級數"，統稱傅里葉級數。

需要指出，只有當周期信號滿足狄利克雷條件時，才能展開成傅里葉級數。

狄利克雷條件：1、函數在任意區間內連續，或只有有限個第一類間斷點(可去間斷點和跳躍間斷點)。2、在一個周期內，函數有有限個極大值或極小值。(條件的意義是使函數的傅里葉級數不僅收斂，并且收斂于f(x)。)

周期信號的分解

設有周期實信號f(t)，它的周期是T，角頻率Ω=2πF=2π/T,

它可分解為

式中的系數an，bn稱為傅里葉系數，它們的求法如下

式中T為函數的周期，Ω=2π/T為角頻率，由上式可見，an和bn都是n(或nΩ)的函數，其中an是n(或nΩ)的偶函數，bn是(或nΩ)的奇函數，a0/2為直流分量。

通過輔助角公式將三角式合并即可得諧波式

式中

可見任意滿足狄利克雷條件周期信號是由各次諧波分量組成的。

奇、偶函數的傅里葉級數

SIMPLE LIFE

注：1、奇函數乘以奇函數為偶函數；奇函數乘以偶函數為奇函數；偶函數乘以奇函數為奇函數。

2、奇函數在一個周期的積分為零；偶函數在一個周期內的積分等于其半個周期積分的兩倍。

(1)f(t)為偶函數

若函數f(t)是時間t的偶函數，那么an和bn的求法便可進行化簡。

(2)f(t)為奇函數

若函數f(t)是時間t的奇函數，那么an和bn的求法便可進行化簡。

實際上，任意函數都可以分解為奇函數和偶函數兩部分，即

(3)f(t)為奇諧函數

如果函數f(t)的前半周期波形移動T/2后，與后半周期波形相對于橫軸對稱，則這種函數稱為半波對稱函數或奇諧函數。

其傅里葉級數展開式中將只含奇次諧波分量而不含偶次諧波分量，即

傅里葉級數的指數形式

周期信號分解時，如果使用的完備正交函數集是復指數集，那么周期信號所展開的無窮級數就稱為指數型傅里葉級數，即

Fn是指數型傅里葉級數的系數，它的求法為

其中Fn為復數，可表示為