通常意義上來說，角點就是極值點，即在某方面屬性特別突出的點，是在某些屬性上強度最大或者最小的孤立點、線段的終點。對于圖像而言，其是物體輪廓線的連接點。

1 harris角點檢測算法思想

算法的核心是利用局部窗口在圖像上進行移動，判斷灰度是否發生較大的變化。如果窗口內的灰度值（在梯度圖上）都有較大的變化，那么這個窗口所在區域就存在角點。

這樣就可以將 Harris 角點檢測算法分為以下三步：

1,當窗口（局部區域）同時向 x （水平）和 y（垂直） 兩個方向移動時，計算窗口內部的像素值變化量 E(x,y);

2,對于每個窗口，都計算其對應的一個角點響應函數 R;

3,然后對該函數進行閾值處理，如果 R>threshold，表示該窗口對應一個角點特征。

2

建立數學模型

第一步是通過建立數學模型，確定哪些窗口會引起較大的灰度值變化。讓一個窗口的中心位于灰度圖像的一個位置(x,y)，這個位置的像素灰度值為I(x,y)，如果這個窗口分別向 x和 y 方向移動一個小的位移u和v，到一個新的位置 (x+u,y+v)，這個位置的像素灰度值就是I(x+u,y+v)。|I(x+u,y+v)?I(x,y)|就是窗口移動引起的灰度值的變化值。

設w(x,y)為位置(x,y)處的窗口函數，表示窗口內各像素的權重，最簡單的就是把窗口內所有像素的權重都設為1，即一個均值濾波核。當然，也可以把 w(x,y)設定為以窗口中心為原點的高斯分布，即一個高斯核。

如果窗口中心點像素是角點，那么窗口移動前后，中心點的灰度值變化非常強烈，所以該點權重系數應該設大一點，表示該點對灰度變化的貢獻較大；而離窗口中心（角點）較遠的點，這些點的灰度變化比較小，于是將權重系數設小一點，表示該點對灰度變化的貢獻較小。

則窗口在各個方向上移動(u,v)所造成的像素灰度值的變化量公式如下：

若窗口內是一個角點，則E(u,v)的計算結果將會很大。為了提高計算效率，對上述公式進行簡化，利用泰勒級數展開來得到這個公式的近似形式。

對于二維的泰勒展開式公式為：

T(x,y)=f(u,v)+(x?u)fx(u,v)+(y?v)fy(u,v)+....

則I(x+u,y+v) 為：

I(x+u,y+v)=I(x,y)+uIx+vIy

其中Ix和Iy是I的微分（偏導），在圖像中就是求x 和 y 方向的梯度圖：

Ix=?I(x,y)/?x

Iy=?I(x,y)/?y

將I(x+u,y+v)=I(x,y)+uIx+vIy代入E(u，v)可得：

提出 u 和 v ，得到最終的近似形式：

其中矩陣M為：

最后是把實對稱矩陣對角化處理后的結果，可以把R看成旋轉因子，其不影響兩個正交方向的變化分量。經對角化處理后，將兩個正交方向的變化分量提取出來，就是 λ1 和 λ2（特征值）。

這里利用了線性代數中的實對稱矩陣對角化的相關知識，有興趣的同學可以進一步查閱相關資料。

3

角點響應函數R

現在我們已經得到E(u,v)的最終形式，別忘了我們的目的是要找到會引起較大的灰度值變化的那些窗口。

灰度值變化的大小則取決于矩陣M，M為梯度的協方差矩陣。在實際應用中為了能夠應用更好的編程，所以定義了角點響應函數R，通過判定R大小來判斷像素是否為角點。

計算每個窗口對應的得分（角點響應函數R定義）：

其中 det(M)=λ1λ2是矩陣的行列式，trace(M)=λ1+λ2是矩陣的跡。λ1和 λ2是矩陣M的特征值，k是一個經驗常數，在范圍 (0.04, 0.06) 之間。R的值取決于M的特征值，對于角點∣R∣很大，平坦的區域∣R∣很小，邊緣的R為負值。

4

角點判定

根據 R 的值，將這個窗口所在的區域劃分為平面、邊緣或角點。為了得到最優的角點，我們還可以使用非極大值抑制。

注意：Harris 檢測器具有旋轉不變性，但不具有尺度不變性，也就是說尺度變化可能會導致角點變為邊緣。想要尺度不變特性的話，可以關注SIFT特征。

因為特征值 λ1 和 λ2 決定了 R 的值，所以我們可以用特征值來決定一個窗口是平面、邊緣還是角點：

平面:該窗口在平坦區域上滑動，窗口內的灰度值基本不會發生變化，所以∣R∣ 值非常小，在水平和豎直方向的變化量均較小，即 Ix和 Iy都較小，那么 λ1 和 λ2 都較小；

邊緣：∣R∣值為負數，僅在水平或豎直方向有較大的變化量，即 Ix和Iy只有一個較大，也就是 λ1>>λ2 或 λ2>>λ1；

角點：[公式] 值很大，在水平、豎直兩個方向上變化均較大的點，即 Ix和 Iy都較大，也就是 λ1 和 λ2 都很大。

如下圖所示：

Harris 角點檢測的結果是帶有這些分數 R 的灰度圖像，設定一個閾值，分數大于這個閾值的像素就對應角點。

編輯：黃飛