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前言

對控制系統極點的分析唯一的目的，就是看看控制系統的動靜態特性。先看穩不穩定，再看響應快不快。

學習了這么多年，自我感覺，對于搞工程實踐而言，分析零極點能夠達到定性分析系統響應的目的，但是定量就不可能了，畢竟采樣環節的建模無論如何都不是很精確的。

而如果是搞理論的話，還是可以定量分析的，比如拿幾個控制系統，把它們的極點畫出來，就能直觀的看出不同系統的優缺點了。

本文理論不深，就簡要說說分析極點的方法吧。

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二階系統

由于大部分控制系統都是閉環的，因此本文所說的都是閉環系統的極點。接下來就把工程中常遇到的二階系統進行講解。

2.1 二階系統什么樣

就是這樣：

開環傳遞函數是：

閉環傳遞函數是：

其中，ξ為阻尼比，ωn為自然頻率。

特征方程，就是求閉環傳函分母等于零：

極點：

(1) 特征根的性質取決于ξ的大小；

(2) 二階系統的響應時間取決于ξ和ωn兩個參數。

2.2 過阻尼（ξ >1）

此時系統的極點都是實數。

(1) 對于過阻尼極點，它們的響應是按照指數形式，單調逐漸穩定到輸入的。

(2) 極點距虛軸越近，對系統響應影響越大，且當ξ>>1時，影響度更大，此時可以忽略距離虛軸遠的極點。

解釋：二階函數的時域階躍響應如下：

設-p1<-p2<0，所以第一項衰減比第二項快，同第一項系數也比第二項小。進而可以得到，極點離虛軸越遠，響應速度越快。

2.3 欠阻尼（0<ξ <1）

此時系統的極點都既有實部，又有虛部。

(1) 二階系統的單位階躍響應為衰減振蕩曲線，且逐漸穩定到輸入

(2) 系統的衰減程度與閉環的實部有關，離虛軸越遠，衰減越快，這里與過阻尼特點一致。

(3) 系統的震蕩程度與虛部有關，阻尼越小，超調越大。

解釋：二階函數的頻域階躍響應如下：

二階函數的時域階躍響應如下：

其中，θ為阻尼角，ωd為阻尼振蕩頻率。

整理：

極點的實部，出現在時域的指數上，為衰減項；

極點的虛部，出現在時域的正弦函數中，為震蕩項；

2.4 穩定性

上面介紹的都是系統的暫態特性，下面說說系統的穩定性。

其實非常簡單，我們只關注極點的實部。

從上面可知，無論是過阻尼還是欠阻尼，系統的指數項都是-pt。

1.當-p<0時，系統成指數衰減到穩態。
2.當-p>0時，系統隨著時間在增加到無窮大，即系統發散，不穩定。

因此，閉環系統穩定的充要條件就是極點實部小于零，即系統所有閉環極點都在復平面的左半部分。

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舉一反三

上面介紹的性質亦可以引入到其它系統中，無論是多階系統，過阻尼與欠阻尼。極點的性質都是一樣的。

大家只需要記住：

(1) 閉環極點是成對出現的。

(2) 只要有極點在頻率右半軸，系統就不穩定。

(3) 距離虛軸越遠，對系統影響越小，甚至可以忽略。

(4) 極點的實部對應著系統的衰減項，距離虛軸越遠，響應越快.

(5) 極點的虛部對應著系統的震蕩項，阻尼越小，超調越大。

(6) 阻尼大于1，響應單調趨于穩定。阻尼小于1，響應震蕩趨于穩定。

在分析高階系統時，常常忽略距離虛軸較遠的極點，使高級系統降階，從而簡化問題。

最后附上不同阻尼下的二階閉環系統時域響應曲線。