1 短時(shí)傅里葉變換STFT原理介紹

1.1 傅里葉變換的本質(zhì)

傅里葉變換的基本思想：

• 將信號(hào)分解成一系列不同頻率的連續(xù)正弦波的疊加；
• 或者說(shuō)，將信號(hào)從時(shí)間域轉(zhuǎn)換到頻率域。

由于傅里葉變換是對(duì)整個(gè)信號(hào)進(jìn)行變換，將整個(gè)信號(hào)從時(shí)域轉(zhuǎn)換到頻域，得到一個(gè)整體的頻譜；丟掉了時(shí)間信息，無(wú)法根據(jù)傅立葉變換的結(jié)果判斷一個(gè)特定信號(hào)在什么時(shí)候發(fā)生；所以傅里葉變換缺乏時(shí)頻分析能力、多分辨率分析能力，難以分析非平穩(wěn)信號(hào)。

1.2 STFT概述

短時(shí)傅里葉變換（Short-Time Fourier Transform，STFT）是一種將信號(hào)分解為時(shí)域和頻域信息的時(shí)頻分析方法。它通過(guò)將信號(hào)分成短時(shí)段，并在每個(gè)短時(shí)段上應(yīng)用傅里葉變換來(lái)捕捉信號(hào)的瞬時(shí)頻率。即采用中心位于時(shí)間α的時(shí)間窗g(t-α)在時(shí)域信號(hào)上滑動(dòng)，在時(shí)間窗g(t-α)限定的范圍內(nèi)進(jìn)行傅里葉變換，這樣就使短時(shí)傅里葉變換具有了時(shí)間和頻率的局部化能力，兼顧了時(shí)間和頻率的分析[1]。

• 使用窄窗，時(shí)間分辨率提高而頻率分辨率降低；
• 使用寬窗，頻率分辨率提高而時(shí)間分辨率降低。

比如用利用高斯窗STFT對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)進(jìn)行分析：

1.3 STFT的原理和過(guò)程

1.3.1 時(shí)間分割

在短時(shí)傅里葉變換（STFT）中，首先將信號(hào)分割成短時(shí)段。這個(gè)過(guò)程通常通過(guò)使用窗口函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)，窗口函數(shù)是一個(gè)在有限時(shí)間內(nèi)非零，而在其他時(shí)間上為零的函數(shù)。常見(jiàn)的窗口函數(shù)有矩形窗、漢明窗、漢寧窗等。通過(guò)將窗口函數(shù)應(yīng)用于信號(hào)，可以將信號(hào)分成許多短時(shí)段。

1.3.2 傅里葉變換

對(duì)于每個(gè)短時(shí)段，都會(huì)進(jìn)行傅里葉變換。傅里葉變換是一種將信號(hào)從時(shí)域（時(shí)間域）轉(zhuǎn)換為頻域（頻率域）的方法。在這個(gè)上下文中，它用于分析每個(gè)短時(shí)段內(nèi)信號(hào)的頻率成分。傅里葉變換將信號(hào)表示為不同頻率的正弦和余弦函數(shù)的組合。

1.3.3 時(shí)頻圖：

將每個(gè)短時(shí)段的傅里葉變換結(jié)果排列成一個(gè)矩陣，構(gòu)成了時(shí)頻圖。時(shí)頻圖的橫軸表示時(shí)間，縱軸表示頻率，而每個(gè)點(diǎn)的強(qiáng)度表示對(duì)應(yīng)頻率在對(duì)應(yīng)時(shí)刻的幅度。時(shí)頻圖提供了一種直觀的方式來(lái)觀察信號(hào)在時(shí)間和頻率上的變化。

1.4 公式表示

STFT的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

其中，

2 基于Python的STFT實(shí)現(xiàn)與參數(shù)對(duì)比

在 Python 中，使用 scipy 庫(kù)來(lái)實(shí)現(xiàn)短時(shí)傅里葉變換（STFT）

2.1 代碼示例

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import stft
# 生成三個(gè)不同頻率成分的信號(hào)
fs = 1000  # 采樣率
t = np.linspace(0, 1, fs, endpoint=False)  # 時(shí)間


# 第一個(gè)頻率成分
signal1 = np.sin(2 * np.pi * 50 * t)
# 第二個(gè)頻率成分
signal2 = np.sin(2 * np.pi * 120 * t)
# 第三個(gè)頻率成分
signal3 = np.sin(2 * np.pi * 300 * t)


# 合并三個(gè)信號(hào)
signal = np.concatenate((signal1, signal2, signal3))


# 進(jìn)行短時(shí)傅里葉變換  
f, t, spectrum = stft(signal, fs, nperseg=100, noverlap=50)
# 繪制時(shí)頻圖
plt.pcolormesh(t, f, np.abs(spectrum), shading='gouraud')
plt.title('STFT Magnitude')
plt.ylabel('Frequency [Hz]')
plt.xlabel('Time [sec]')
plt.show()

參數(shù)解釋

• nperseg：表示每個(gè)段的長(zhǎng)度，即窗口大小
• noverlap：表示相鄰段的重疊部分
• f：是頻率數(shù)組，表示頻譜的頻率分量
• t：是時(shí)間數(shù)組，表示每個(gè)時(shí)間段的起始時(shí)間
• spectrum：是頻譜矩陣，spectrum[f, t] 表示在頻率 f 處于時(shí)間 t 時(shí)的頻譜強(qiáng)度

可以使用 np.abs(spectrum) 獲取頻譜的幅度，表示在不同頻率和時(shí)間上的信號(hào)強(qiáng)度

2.2 參數(shù)選擇和對(duì)比

2.2.1 nperseg（窗口長(zhǎng)度）：

• nperseg 定義了每個(gè)時(shí)間段內(nèi)的信號(hào)長(zhǎng)度，也就是說(shuō)，它規(guī)定了窗口的大小。
• **較小的 **nperseg 可以提供更高的時(shí)間分辨率，因?yàn)榇翱诟蹋梢圆蹲降叫盘?hào)的更快變化。但頻率分辨率較差。
• 較大的 nperseg 提供更高的頻率分辨率，但可能失去對(duì)信號(hào)快速變化的捕捉。
• 選擇適當(dāng)?shù)拇翱陂L(zhǎng)度要根據(jù)信號(hào)特性，如頻率變化的速率和信號(hào)長(zhǎng)度等。

2.2.2 noverlap（重疊長(zhǎng)度）：

• noverlap 定義了相鄰時(shí)間段之間的重疊部分。
• **較大的 **noverlap 可以提高時(shí)間分辨率，因?yàn)橄噜彆r(shí)間段之間有更多的共享信息。但可能導(dǎo)致頻譜圖中的泄漏（leakage）。
• **較小的 **noverlap 可以提高頻率分辨率，減少泄漏，但時(shí)間分辨率可能下降。

2.2.3 選擇策略：

參數(shù)的選擇需要考慮到對(duì)信號(hào)分析的具體需求，平衡時(shí)間和頻率分辨率，嘗試不同的 nperseg 和 noverlap 值，觀察結(jié)果的變化。

• 對(duì)于 nperseg，選擇較小的值可能需要根據(jù)信號(hào)的特定頻率內(nèi)容進(jìn)行調(diào)整。確保窗口足夠短，以捕捉到頻率變化。
• 對(duì)于 noverlap，通常選擇 50% 的重疊是一個(gè)常見(jiàn)的起點(diǎn)

2.3 凱斯西儲(chǔ)大學(xué)軸承數(shù)據(jù)的加載

選擇正常信號(hào)和 0.021英寸內(nèi)圈、滾珠、外圈故障信號(hào)數(shù)據(jù)來(lái)做對(duì)比

第一步，導(dǎo)入包，讀取數(shù)據(jù)

import numpy as np
from scipy.io import loadmat
import numpy as np
from scipy.signal import stft
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib
matplotlib.rc("font", family='Microsoft YaHei')


# 讀取MAT文件
data1 = loadmat('0_0.mat')  # 正常信號(hào)
data2 = loadmat('21_1.mat') # 0.021英寸 內(nèi)圈
data3 = loadmat('21_2.mat') # 0.021英寸 滾珠
data4 = loadmat('21_3.mat') # 0.021英寸 外圈
# 注意，讀取出來(lái)的data是字典格式，可以通過(guò)函數(shù)type(data)查看。

第二步，數(shù)據(jù)集中統(tǒng)一讀取 驅(qū)動(dòng)端加速度數(shù)據(jù)，取一個(gè)長(zhǎng)度為1024的信號(hào)進(jìn)行后續(xù)觀察和實(shí)驗(yàn)

# DE - drive end accelerometer data 驅(qū)動(dòng)端加速度數(shù)據(jù)
data_list1 = data1['X097_DE_time'].reshape(-1)
data_list2 = data2['X209_DE_time'].reshape(-1)  
data_list3 = data3['X222_DE_time'].reshape(-1)
data_list4 = data4['X234_DE_time'].reshape(-1)
# 劃窗取值（大多數(shù)窗口大小為1024）
data_list1 = data_list1[0:1024]
data_list2 = data_list2[0:1024]
data_list3 = data_list3[0:1024]
data_list4 = data_list4[0:1024]

第三步，進(jìn)行數(shù)據(jù)可視化

plt.figure(figsize=(20,10))


plt.subplot(2,2,1)
plt.plot(data_list1)
plt.title('正常')
plt.subplot(2,2,2)
plt.plot(data_list2)
plt.title('內(nèi)圈')
plt.subplot(2,2,3)
plt.plot(data_list3)
plt.title('滾珠')
plt.subplot(2,2,4)
plt.plot(data_list4)
plt.title('外圈')


plt.show()

2.4 STFT與參數(shù)選擇

2.4.1 基于重疊比例為0.5，選擇內(nèi)圈數(shù)據(jù)比較 STFT 的不同尺度：16、32 、64、128

from scipy.signal import stft


# 設(shè)置STFT參數(shù)
window_size = 32  # 窗口大小
overlap = 0.5  # 重疊比例
# 計(jì)算重疊的樣本數(shù)
overlap_samples = int(window_size * overlap)
frequencies1, times1, magnitude1 = stft(data_list2, nperseg=window_size, noverlap=overlap_samples)


# 設(shè)置STFT參數(shù)
window_size = 64  # 窗口大小
overlap = 0.5  # 重疊比例
# 計(jì)算重疊的樣本數(shù)
overlap_samples = int(window_size * overlap)
frequencies2, times2, magnitude2 = stft(data_list2, nperseg=window_size, noverlap=overlap_samples)


# 設(shè)置STFT參數(shù)
window_size = 128  # 窗口大小
overlap = 0.5  # 重疊比例
# 計(jì)算重疊的樣本數(shù)
overlap_samples = int(window_size * overlap)
frequencies3, times3, magnitude3 = stft(data_list2, nperseg=window_size, noverlap=overlap_samples)


# 設(shè)置STFT參數(shù)
window_size = 256  # 窗口大小
overlap = 0.5  # 重疊比例
# 計(jì)算重疊的樣本數(shù)
overlap_samples = int(window_size * overlap)
frequencies4, times4, magnitude4 = stft(data_list2, nperseg=window_size, noverlap=overlap_samples

數(shù)據(jù)可視化

plt.figure(figsize=(20,10), dpi=100)
plt.subplot(2,2,1)
plt.pcolormesh(times1, frequencies1, np.abs(magnitude1), shading='gouraud')
plt.title('尺度 16-內(nèi)圈')
plt.subplot(2,2,2)
plt.pcolormesh(times2, frequencies2, np.abs(magnitude2), shading='gouraud')
plt.title('尺度 32-內(nèi)圈')
plt.subplot(2,2,3)
plt.pcolormesh(times3, frequencies3, np.abs(magnitude3), shading='gouraud')
plt.title('尺度 64-內(nèi)圈')
plt.subplot(2,2,4)
plt.pcolormesh(times4, frequencies4, np.abs(magnitude4), shading='gouraud')
plt.title('尺度 128-內(nèi)圈')
plt.show()

對(duì)比不同尺度的變化，大尺度有著較高的頻率分辨率，小的尺度有著較高的時(shí)間分辨率，要權(quán)衡故障的分類辨識(shí)度，需要進(jìn)一步做對(duì)比。

2.4.1 根據(jù)正常數(shù)據(jù)和三種故障數(shù)據(jù)，對(duì)比不同尺度的辨識(shí)度

綜合考慮頻率分辨率和時(shí)間分辨率，選擇尺度為32。

3 基于時(shí)頻圖像的軸承故障診斷分類

下面以短時(shí)傅里葉變換（Short Time Fourier Transform，STFT）作為軸承故障數(shù)據(jù)的處理方法進(jìn)行講解：

數(shù)據(jù)介紹，凱斯西儲(chǔ)大學(xué)（CWRU）軸承數(shù)據(jù)10分類數(shù)據(jù)集如圖所示

train_set、val_set、test_set 均為按照7：2：1劃分訓(xùn)練集、驗(yàn)證集、測(cè)試集，最后保存數(shù)據(jù)

3.1 生成時(shí)頻圖像數(shù)據(jù)集

如圖所示為生成的時(shí)頻圖像數(shù)據(jù)集

3.2 定義數(shù)據(jù)加載器和VGG網(wǎng)絡(luò)模型

制作數(shù)據(jù)標(biāo)簽，保存數(shù)據(jù)

定義VGG網(wǎng)絡(luò)模型

3.3 設(shè)置參數(shù)，訓(xùn)練模型

100個(gè)epoch，準(zhǔn)確率將近92%，繼續(xù)調(diào)參可以進(jìn)一步提高分類準(zhǔn)確率.