在本文的第一部分，我們已論證運(yùn)算放大器用于 type-2 補(bǔ)償器的開(kāi)環(huán)增益 A_OL 的影響。我們進(jìn)一步推進(jìn)分析，重點(diǎn)著眼于運(yùn)算放大器的幅值和相位響應(yīng)，推導(dǎo)出了存在低頻和高頻兩個(gè)極點(diǎn)。如果在低帶寬設(shè)計(jì)中可忽略這些極點(diǎn)的存在，但在高帶寬系統(tǒng)需要增益和相位增強(qiáng)，您必須考慮到它們帶來(lái)的失真。在這第二部分中，我們將談?wù)動(dòng)捎诖嬖谶@些極點(diǎn)，如何確定 type-2 補(bǔ)償器的傳遞函數(shù)，和它們最終如何令濾波器的性能失真。

運(yùn)算放大器中的兩個(gè)極點(diǎn)

為了穩(wěn)定運(yùn)行，運(yùn)放設(shè)計(jì)人員實(shí)施所謂的極點(diǎn)補(bǔ)償，包括在低頻放置一個(gè)極點(diǎn)，使放置第二高頻極點(diǎn)前在頻率 f_c 處的增益下降到1（0 dB），通常在 2f_c. 。

圖1：運(yùn)放的開(kāi)環(huán)動(dòng)態(tài)響應(yīng)揭示了兩個(gè)極點(diǎn)的存在

圖1所示為一個(gè)典型的 μA741，您可看到交越頻率 1 MHz，低頻極點(diǎn) 5Hz 左右，而第二極點(diǎn)出現(xiàn)在約 2 MHz 。請(qǐng)注意，這是個(gè)典型的響應(yīng)，開(kāi)環(huán)增益A_OL106 dB 。開(kāi)環(huán)增益不是個(gè)精確控制的參數(shù)，它可顯著變化。數(shù)據(jù)表規(guī)定在整個(gè)溫度范圍內(nèi)（-55至125°C）增益從 15K（83.5分貝）移至 200K（106分貝），那么當(dāng)分立時(shí)，這曲線轉(zhuǎn)變。

一個(gè)簡(jiǎn)單的拉普拉斯表達(dá)式可描述這兩極點(diǎn)開(kāi)環(huán)響應(yīng)，如圖1所示：

（1）

由圖2的 Mathcad? 繪制曲線確定：

圖2：運(yùn)算放大器有一個(gè)低頻極點(diǎn)，第二極點(diǎn)在超過(guò) 0 dB 的交越頻率處。

運(yùn)算放大器的一個(gè)簡(jiǎn)單的 SPICE 模型

我們可以很容易地建立模仿圖2的頻率響應(yīng)的 SPICE 模型。如圖3，它采用一個(gè)電壓控制的電流源G₁，G₁有跨導(dǎo)g_m，后連一個(gè)接地電阻R_OL，再與電容C₁并聯(lián)。對(duì)于R_OL，反相引腳V_inv的傳遞函數(shù)很簡(jiǎn)單：

（2）

如果我們現(xiàn)在緩沖電壓，并放置具有電阻R₂和電容C₂的第二極點(diǎn)，我們得到我們想要的完整的傳遞函數(shù)：

（3）

元件值已自動(dòng)顯示在頁(yè)面的左側(cè)，一旦運(yùn)行仿真，右側(cè)就顯示所獲得的幅值/相位圖。這是個(gè)簡(jiǎn)化的運(yùn)算放大器模型，但它可以用于第一階分析。它可稍后升級(jí)到模型更特定的特點(diǎn)，如電壓鉗位或壓擺率電路，如 [ 1 ] 所描述的。請(qǐng)注意圖中LoL和CoL的存在，由于它們的存在，在元件運(yùn)行開(kāi)環(huán)時(shí)需要將運(yùn)算放大器輸出電壓固定為 2.5 V 。這里因?yàn)闆](méi)有電源軌，我們可運(yùn)行一個(gè)簡(jiǎn)單的交流分析，不考慮直流偏置點(diǎn)。

圖3: 一個(gè)簡(jiǎn)單的 SPICE 電路，可建立一個(gè)有開(kāi)環(huán)增益和兩極點(diǎn)的運(yùn)算放大器。

然而，如果您打算分析一個(gè)包括電源軌的更全面的模型響應(yīng)，那么當(dāng)您想要手動(dòng)調(diào)整直流工作點(diǎn)時(shí)，這個(gè)簡(jiǎn)單的電路將避免該集成電路上下波動(dòng)。在仿真開(kāi)始時(shí)LoL短路，有助于以E₃和源V_ref調(diào)整工作點(diǎn)。一旦交流掃描分析開(kāi)始于CoL，LoL阻斷E₃的調(diào)制，調(diào)整工作點(diǎn)的電路轉(zhuǎn)而靜止。這是通常的訣竅，采用平均模型以運(yùn)行開(kāi)環(huán)增益分析，同時(shí)確保確定閉環(huán)偏置點(diǎn)到所需的輸出值。這個(gè)簡(jiǎn)單的 SPICE 模型將幫助測(cè)試我們分析得出的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

Type-2 補(bǔ)償器有兩極架構(gòu)

既然我們知道運(yùn)算放大器有兩個(gè)特別的極點(diǎn)，我們可更新在本文第一部分我們最初使用的草圖。圖4所示為新建立的 type-2 補(bǔ)償器，現(xiàn)在包括運(yùn)算放大器的內(nèi)部特征。

圖4：更新電路將運(yùn)算放大器中存在的兩個(gè)極點(diǎn)考慮進(jìn)來(lái).

輸出電壓V_FB是誤差電壓e乘以運(yùn)放的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)

（4）

另外，誤差電壓可通過(guò)使用疊加定理將V_out和V_FB 設(shè)置為 0 V 得出：

（5）

如果我們將（5）代入（4）并加以整理，得出：

（6）

Z₁(s) 相當(dāng)于：

（7）

請(qǐng)參閱本文結(jié)尾的附錄，以了解如何用快速分析技術(shù)以簡(jiǎn)單的步驟推導(dǎo)出這個(gè)表達(dá)式。

這個(gè)方程極其難處理，但有利的是，對(duì)于 Mathcad? 不是問(wèn)題。我們可通過(guò)比較其動(dòng)態(tài)響應(yīng)與 SPICE 模型以驗(yàn)證它是否正確。我們假設(shè)下列元件值：

采用 type-2 架構(gòu)的 SPICE 電路如圖5所示。

圖5：完整的 type-2 SPICE 模型現(xiàn)在構(gòu)成運(yùn)算放大器的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。請(qǐng)注意，考慮到 2.5 V 參考電壓V_ref2現(xiàn)在偏置于 NINV 引腳，將直流偏置點(diǎn)設(shè)置為 12 V 。

由圖6證實(shí)，Mathcad? 和 SPICE 之間的響應(yīng)是相同的，確定方程的有效性。

特征失真

圖5仿真采用的元件值來(lái)自一個(gè) type-2 補(bǔ)償器，旨在以 20 dB 的增益在10千赫交越頻率處建立65° 相位增量。如果我們現(xiàn)在比較由本文第一部分方程（36）給出的理想的 type-2 響應(yīng)與使用 μA741 （106dBA_OL，有兩個(gè)極點(diǎn)，5 Hz 和2 MHz）的 type 2 電路的響應(yīng)，您會(huì)注意到一些差異，如圖7所示：

圖6：由 Mathcad^?提供的繪制曲線與由 SPICE 產(chǎn)生的曲線完美重合。

在該圖中，我們可看到在10千赫處有輕微的增益偏差和離 20dB 差約 2.2dB 。其實(shí)無(wú)關(guān)緊要。而更重要的是您以完美的公式實(shí)現(xiàn)期望的65°相位增量。在10千赫處，由具有真正運(yùn)算放大器的電路提供的相位增量?jī)H44.6°或相差20.4°。這將相應(yīng)減少最終的相位裕量。

圖7：用有最高開(kāi)環(huán)增益的 μA741 創(chuàng)建 type 2 ，已導(dǎo)致相位增量失真。

但后面更糟糕。如果您考慮由數(shù)據(jù)表顯示的開(kāi)環(huán)增益的偏差，若A_OL降至 83.5 dB ，最小的規(guī)格是多少？圖8證明：在10千赫處的 20 dB 增益差 17 dB，而相位增量驟降至6.7°。無(wú)需解釋為何系統(tǒng)的穩(wěn)定性與最后一個(gè)值有關(guān)。圖9的 SPICE 仿真通過(guò)在同一圖中采集的3條不同曲線確定了這些數(shù)據(jù)。您可看到開(kāi)環(huán)增益偏差的不利影響。

圖8：如果開(kāi)環(huán)增益現(xiàn)在驟降至 83.5 dB ，如運(yùn)算放大器數(shù)據(jù)表所述，相位幾乎無(wú)提升。

如果我們現(xiàn)在改變 type-2 規(guī)格，也就是說(shuō)我們?cè)?10 kHz 處不再需要一個(gè)增益，但在f_c 處有 10 dB 的衰減，同樣相位增量65°，相位增量失真不那么明顯，開(kāi)環(huán)增益較低（見(jiàn)圖10）。

圖9：運(yùn)算放大器開(kāi)環(huán)增益的變化引起嚴(yán)重的增益/相位失真。

圖10：如果 type-2 電路改為以 10 dB 衰減而不是在相同的10千赫交越頻率處放大，目標(biāo)仍沒(méi)有達(dá)到，但失真程度較小。

采用此架構(gòu)獲得的中波段增益是- 11dB（相對(duì)于- 10 dB 的目標(biāo)），而相位增量剛達(dá)到49°（相對(duì)于原來(lái)的65°目標(biāo)）。

Type-2響應(yīng)和開(kāi)環(huán)增益繪制曲線

為確保運(yùn)放內(nèi)部不改變補(bǔ)償器響應(yīng)，通常的建議是在相同的圖線上疊加理論型 type 2 幅值和運(yùn)算放大器開(kāi)環(huán)響應(yīng)[ 2 ]。在圖11中，左圖對(duì)應(yīng)于我們第一次嘗試建立的一個(gè) type 2 補(bǔ)償器，在10千赫處有65°相位增量和 20 dB 增益。在該圖中，運(yùn)放幅值與 type 2 補(bǔ)償器相交和相悖，導(dǎo)致我們想要的特征被破壞（最終的相位誤差幾乎有60°）。一看就很明顯，這交叉表明，要么是選擇的運(yùn)放不適合，要么用 type-2 補(bǔ)償器設(shè)置的目標(biāo)過(guò)高。

A_OL=83.5 dB，在10 kHz 處需要20 dB 增益

A_OL=83.5 dB，在10 kHz 處需要10 dB 衰減

圖11：左圖清楚地顯示這兩個(gè)響應(yīng)相交和衰減。右邊的幅值圖中沒(méi)有交叉，但最終的結(jié)果也失真。

圖11的右圖似乎表明，我們應(yīng)當(dāng)可以設(shè)計(jì)那樣的 type-2 電路，在10千赫交越頻率處不再有增益而是衰減。但我們的計(jì)算表明不是這樣，因?yàn)榇_定最終有17°相位誤差。

[ 2 ]中的一種方法建議選擇一個(gè)增益帶寬乘積（GBW）大于所用 type 3 補(bǔ)償器的 0 dB 交越頻率的運(yùn)算放大器。然而您可看到，它不適用于圖11：在左邊，type 2 的 0 dB 交越頻率400千赫左右，而在右邊，我們想要衰減而不是增益。我提出一個(gè)稍微不同的經(jīng)驗(yàn)之談的方案，其中運(yùn)算放大器的開(kāi)環(huán)響應(yīng)必須比 type 2 補(bǔ)償器的 20f_c“飛高” 20dB 。如圖12所示。圖形化的方法是確定你的運(yùn)放必須具有多少 GBW 的第一步，以使所需的相位增量和增益目標(biāo)在可接受的范圍內(nèi)。

Op amp：運(yùn)算放大器

Ideal：理想的

圖12：作為第一步，我們建議選定運(yùn)放的開(kāi)環(huán)響應(yīng)至少比 type 2 補(bǔ)償器的second -1- 斜率高20dB 。

您首先計(jì)算 type 2 在 20f_c處的 dB 幅值，再加 20dB 。然后您計(jì)算出相應(yīng)的運(yùn)放開(kāi)環(huán)增益交越頻率或 GBW ：

（8）

圖11的左邊，（8）給出了 4.4 MHz 的GBW ，而對(duì)第二種情況建議150千赫的 GBW 。應(yīng)用這一策略到第一個(gè)例子，從而選定運(yùn)算放大器開(kāi)環(huán)增益為 90 dB ，低頻極點(diǎn)位于150赫茲，或開(kāi)環(huán)增益 80 dB ，低頻極點(diǎn)450赫茲。不要減少開(kāi)環(huán)增益到 70 dB 以下[ 2 ]，以使穩(wěn)態(tài)誤差在可接受的范圍內(nèi)。當(dāng)應(yīng)用這種策略，中帶增益為 19.5 dB ，相位增量約60°?。在第二個(gè)例子中，（8）建議 GBW 140 kHz ，開(kāi)環(huán)增益 80 dB 和低頻極點(diǎn) 15 Hz 。中帶增益色散為 0.4 dB ，相位增量為56°或偏差9°。低頻極點(diǎn)增至30赫茲，降低增益色散到 0.2dB 和相位增量誤差為4.4° 。

有了公式（8），您可開(kāi)始選擇一個(gè)合適的運(yùn)放的 GBW 。基于觀察和反復(fù)實(shí)施幾種情況以找到合適的 GBW 。我曾試圖從（6）提取可能的 GBW –例如忽略高頻極點(diǎn)作用–以符合最初完美的 type 2 特定的偏差，但我不確定已經(jīng)確立有意義的表達(dá)式。一旦您有建議的 GBW ，就能查找運(yùn)算放大器的數(shù)據(jù)表和確定一個(gè)合適的元件。將A_OL和低頻極點(diǎn)與 Mathcad? 表[ 3 ]聯(lián)系起來(lái)，比較與目標(biāo)的偏差。一定要探索最小值，以致在最壞的情況下偏差仍是可接受的。

高頻電流模式降壓轉(zhuǎn)換器的補(bǔ)償實(shí)例

假設(shè)我們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè) 5A 降壓穩(wěn)壓器，將 3.7V 電池降至 1.5 V ，開(kāi)關(guān)頻率 1MHz 。輸出電容是 180μF 和有 3 mW 等效串聯(lián)電阻 （ESR）r_C。假設(shè)我們想要50毫伏輸出壓降，負(fù)載變化從 1.5 A 到 5A 。因此電源輸出阻抗必須等于：

（9）

這可能表明小信號(hào)的閉環(huán)輸出在交越頻率f_c 處的阻抗以電容器阻抗為主，其提供的 ESR 足夠小：

（10）

從所需的壓降，考慮 180μF 電容和想要的 14.3mW 輸出阻抗，我們可估算出需要的交越頻率是：

（11）

有些人會(huì)反對(duì)，認(rèn)為這是對(duì)小信號(hào)的近似分析，大信號(hào)響應(yīng)將不同。這是事實(shí)，但經(jīng)驗(yàn)表明，最終的結(jié)果與計(jì)算相近。當(dāng)然，當(dāng)存在 ESR 和 ESL（寄生電感），結(jié)果大大不同，但這第一階的方法是個(gè)有意義的起點(diǎn)。此外，此方法分析表明將交越頻率與通常建議的F_sw/ 5 或F_sw/ 10 相比，往往是荒謬的。

我們選擇了62千赫的交越頻率f_c。為了補(bǔ)償這種轉(zhuǎn)換器，我們首先需要功率級(jí)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，這是分析的出發(fā)點(diǎn)。有幾種方式：a）使用控制到輸出的傳遞函數(shù)H（s） 并由此得出波德圖）b) 用平均模型建立一個(gè)仿真設(shè)置 c）在實(shí)驗(yàn)室建立一個(gè)原型和用網(wǎng)絡(luò)分析儀提取響應(yīng) 或 d）用 Simplis? 或 PSIM? 建立開(kāi)關(guān)模型和提取交流響應(yīng)。我們采用了策略 b）如圖13所示。

Power stage dynamic response：功率級(jí)動(dòng)態(tài)響應(yīng)

圖13：平均模型幫助我們很快建立電流模式轉(zhuǎn)換器

從幅值圖，我們看到，如果我們想要62千赫交叉頻率，中頻帶增益必須是 25.5dB 。如果我們目標(biāo)是70°相位裕度（pm），在交越處約86°的相位滯后（pfc）需要以下相位增量值：

（12）

從 Mathcad? 表的計(jì)算表明，一個(gè)極點(diǎn)位于291千赫，而零點(diǎn)將位于 13.2 kHz 。根據(jù)（8），必須選擇一個(gè) 50 MHz 的 GBW 放大器。查閱各種運(yùn)放的數(shù)據(jù)表，我們發(fā)現(xiàn) LT1208 具有典型的 7k 開(kāi)環(huán)增益（約77dB），可降到 2k（66dB）為最小值。其典型增益帶寬積為 45 MHz ，在電源 ±5 V 時(shí)，降至34兆赫。因此，低頻極點(diǎn)位于34兆赫/ 7k，約4.8千赫處。

圖14：開(kāi)環(huán)增益色散會(huì)影響到最終有效的相位增量。

圖14所示為兩個(gè)不同的開(kāi)環(huán)增益的 type-2 波德圖。77dB 提供 45 MHz GBW 和色散很小。當(dāng)A_OL降至 66 dB （最低規(guī)格），增益色散仍可接受，但相位增量偏離目標(biāo)10.7°。

降壓轉(zhuǎn)換器中的運(yùn)放

我們現(xiàn)在可以實(shí)際模型（至少有A_OL與兩個(gè)極點(diǎn)）閉環(huán)和捕獲選定的運(yùn)算放大器的特點(diǎn)到我們現(xiàn)在更新的的仿真原理圖。

圖15：運(yùn)算放大器現(xiàn)在有低頻和高頻兩個(gè)極點(diǎn).。

由該圖，我們可繪制開(kāi)環(huán)增益T（f），并看到開(kāi)環(huán)的變化如何影響動(dòng)態(tài)響應(yīng)。結(jié)果如圖16所示。正如預(yù)期的那樣，交越頻率和相位裕度出現(xiàn)一些色散。

圖16：動(dòng)態(tài)響應(yīng)受開(kāi)環(huán)增益變化的影響。在最壞的情況下（66dBA_OL），相位裕度下降到60左右°，是可接受的（虛線）。

由圖15仿真電路，我們可運(yùn)行一個(gè)瞬態(tài)負(fù)載階躍，并檢查兩個(gè)不同開(kāi)環(huán)增益的響應(yīng)。結(jié)果如圖17所示。

圖17：最低的開(kāi)環(huán)增益有 44 mV 的偏差而典型值導(dǎo)致壓降 40 mV（虛線對(duì)應(yīng)于66dB A_OL）

該壓降在兩個(gè)開(kāi)環(huán)增益值的規(guī)格范圍內(nèi)。當(dāng)然，這是個(gè)簡(jiǎn)化的方法，考慮到運(yùn)算放大器的誤差電壓偏差（1.6 V），壓擺率必須是整個(gè)分析的一部分，其影響對(duì)瞬態(tài)響應(yīng)的評(píng)估。

總結(jié)

第二部分介紹了運(yùn)放動(dòng)態(tài)響應(yīng)對(duì)補(bǔ)償器性能的影響。當(dāng)需要大帶寬時(shí)，您不可再忽視這些對(duì)補(bǔ)償器的動(dòng)態(tài)響應(yīng)的作用。可以將您想要的完美的 type-2 響應(yīng)與所選擇的運(yùn)放的開(kāi)環(huán)幅值圖疊加，并看看是否重疊。然而，我們已看到的一種情況是，不重疊最終導(dǎo)致一個(gè)顯著的相位增量失真。通過(guò)運(yùn)算放大器開(kāi)環(huán)響應(yīng)和完美的 type 2 開(kāi)環(huán)響應(yīng)之間的顯著差距，您可選擇增益帶寬積，并以給定的公式檢查它如何影響所需的響應(yīng)。一個(gè)全面的穩(wěn)定性分析，必須通過(guò)影響所有元件容差考慮整個(gè)環(huán)路增益，包括運(yùn)算放大器的內(nèi)部。通過(guò)（6）中完整的 type-2 傳遞函數(shù)，您就可以進(jìn)一步分析。

參考文獻(xiàn)

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2. T. Hegarty, “Error Amplifier Limitations in High-Performance Regulator Applications”, AN-1997, Texas-Instruments, May 2013, http://www.ti.com/lit/an/snva411a/snva411a.pdf

3. http://cbasso.pagesperso-orange.fr/Spice.htm

4. C. Basso, “Linear Circuit Transfer Functions – An Introduction to Fast Analytical Techniques”, Wiley 2016, ISBN 978-1-119-23637-5

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