線性系統(tǒng)是什么

線性系統(tǒng)是指同時(shí)滿足疊加性與均勻性（又稱為其次性）的系統(tǒng)。所謂疊加性是指當(dāng)幾個(gè)輸入信號(hào)共同作用于系統(tǒng)時(shí)，總的輸出等于每個(gè)輸入單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的輸出之和；均勻性是指當(dāng)輸入信號(hào)增大若干倍時(shí)，輸出也相應(yīng)增大同樣的倍數(shù)。對(duì)于線性連續(xù)控制系統(tǒng)，可以用線性的微分方程來(lái)表示。不滿足疊加性和均勻性的系統(tǒng)即為非線性系統(tǒng) 。

由于線性系統(tǒng)較容易處理，許多時(shí)候會(huì)將系統(tǒng)理想化或簡(jiǎn)化為線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)常應(yīng)用在自動(dòng)控制理論、信號(hào)處理及電信上。像無(wú)線通訊訊號(hào)在介質(zhì)中的傳播就可以用線性系統(tǒng)來(lái)模擬。

線性系統(tǒng)的函數(shù)表達(dá)為

如圖：

線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的區(qū)別

如果從系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式來(lái)觀察，線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)最明顯的區(qū)別方法就是線性系統(tǒng)遵從疊加原理，而非線性系統(tǒng)不然。

所謂疊加原理舉個(gè)例子就是：

f（x）=2x，f（y）=2y，f（x+y）=2（x+y）=2x+2y=f（x）+f（y）

舉個(gè)反例：

f（x）=2x^2，f（y）=2y^2，f（x）+f（y）=2（x^2+y^2），但f（x+y）=2（x+y）^2，兩個(gè)顯然不等。

換句話說(shuō)，線性系統(tǒng)的表達(dá)式中只有狀態(tài)變量的一次項(xiàng)，高次、三角函數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)都沒(méi)有，只要有任意一個(gè)非線性環(huán)節(jié)就是非線性系統(tǒng)。

判斷線性系統(tǒng)的例題

判斷下述微分方程所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？

分析：

1）均勻性

設(shè)信號(hào)e（t）作用系統(tǒng)，響應(yīng)為r（t）。當(dāng)激勵(lì)A(yù)e（t）作用于系統(tǒng)時(shí)，根據(jù)描述系統(tǒng)的微分方程，將方程兩邊乘以A，得到

這是先經(jīng)系統(tǒng)，再線性運(yùn)算的結(jié)果。

下面討論先線性運(yùn)算，再經(jīng)系統(tǒng)的結(jié)果。顯然線性運(yùn)算后的激勵(lì)為Ae（t）。而若系統(tǒng)具有均勻性的話，根據(jù)描述系統(tǒng)的微分方程，所得結(jié)果應(yīng)該是

顯然式（1）不等于式（2），即系統(tǒng)不滿足均勻性。

2）疊加性

假設(shè)兩個(gè)激勵(lì)分別為e1（t）和e2（t），其相應(yīng)的響應(yīng)分別為r1（t）和r2（t）。根據(jù)描述系統(tǒng)的微分方程，有下列關(guān)系成立。

這是先經(jīng)系統(tǒng)，再線性運(yùn)算的結(jié)果。

下面討論先線性運(yùn)算，再經(jīng)系統(tǒng)的結(jié)果。顯然線性運(yùn)算后的激勵(lì)為e1（t）+e2（t）。而若系統(tǒng)滿足疊加性的話，根據(jù)描述系統(tǒng)的微分方程，所得結(jié)果應(yīng)該是

顯然式（5）不等于式（6），即系統(tǒng)不滿足疊加性。

由1）和2）中的結(jié)論得知，該系統(tǒng)既不滿足均勻性，也不滿足疊加性，顯然是非線性系統(tǒng)。

延伸閱讀：

怎樣區(qū)分線性和非線性_線性與非線性的區(qū)別（線性分析、線性模型）