期望值是大量試驗(yàn)之后隨機(jī)變量的平均值。隨機(jī)變量將數(shù)值映射到試驗(yàn)的每個(gè)可能的結(jié)果。我們可以計(jì)算離散隨機(jī)變量的期望值——潛在的結(jié)果數(shù)目是可數(shù)的——每項(xiàng)是一個(gè)隨機(jī)變量的可能值，乘以該結(jié)果的概率，最后累加。例如，如果我們的隨機(jī)變量是投擲一個(gè)均勻的3面骰所得的數(shù)字，那么期望值將是(1 * 1/3) + (2 * 1/3) + (3 * 1/3) = 2。

如果我們假設(shè)試驗(yàn)是一個(gè)游戲，那么隨機(jī)變量映射游戲結(jié)果至收益，因而期望值表示期望的游戲平均收益。由于期望值是實(shí)數(shù)，它通常分為負(fù)值、中性值、正值。在日常生活場(chǎng)景中，期望值為負(fù)、期望值為中性、期望值為正的游戲都很常見(jiàn)，所以期望值提供了一個(gè)簡(jiǎn)單的決策推斷法。

下面我將舉例說(shuō)明每種類(lèi)型的游戲，我會(huì)使用3個(gè)類(lèi)似的扔硬幣的例子，具體來(lái)說(shuō)，每個(gè)場(chǎng)景中的隨機(jī)變量將是扔一次硬幣后的期望收益。假設(shè)所有情形下硬幣是均質(zhì)的，所以得到正面和反面的概率是一樣的（1/2）。

中性期望值游戲

你扔一枚均質(zhì)硬幣。每次扔到正面，你損失1美元，每次扔到反面，你獲得1美元。

這一場(chǎng)景下的期望值為(-1 * 1/2) + (1 * 1/2) = 0。因此，由于硬幣是均質(zhì)的，損失和收益相等，隨著時(shí)間的推移，你可以期望既不贏錢(qián)也不輸錢(qián)。在這樣的游戲中，盡管沒(méi)有理由進(jìn)行這一游戲，也沒(méi)有理由不進(jìn)行。因此，這類(lèi)游戲是一種理想的簡(jiǎn)單娛樂(lè)形式，比如剪刀石頭布，隨機(jī)選擇是期望值為0的最優(yōu)策略。

正期望值游戲

你扔一枚均質(zhì)硬幣。每次扔到正面，你損失1美元，每次扔到反面，你獲得2美元。

這一場(chǎng)景下的期望值為(-1 * 1/2) + (2 * 1/2) = 1/2。由于正面和反面出現(xiàn)的概率一樣，扔到反面時(shí)較大的收益超過(guò)了扔到正面時(shí)的損失。在這樣的游戲中，隨著時(shí)間的推移，你可以期望得到更多的錢(qián)，所以你應(yīng)該玩這類(lèi)游戲。這類(lèi)場(chǎng)景出現(xiàn)在許多現(xiàn)實(shí)生活的決策中，例如投資股票市場(chǎng)（總體而言，隨著時(shí)間的推移，市場(chǎng)的走勢(shì)是向上的），為考試而學(xué)習(xí)（更高的GPA收益超過(guò)了損失的一些時(shí)間），準(zhǔn)備面試（得到更好的工作的收益超過(guò)了損失的幾周時(shí)間）。

負(fù)期望值游戲

你扔一枚均質(zhì)硬幣。每次扔到正面，你損失1美元，每次扔到反面，你獲得1美元。此外，不管結(jié)果如何，每扔一次硬幣，你都需要支付1美分的費(fèi)用。

這一場(chǎng)景下的期望值為(-1.01 * 1/2) + (.99 * 1/2) = -0.01。因此，盡管硬幣本身是均質(zhì)的，損失數(shù)額也等于收益數(shù)額，恒定的費(fèi)用導(dǎo)致這一游戲變?yōu)樨?fù)值游戲。在這樣的游戲中，你可以期望隨著時(shí)間的推移而虧錢(qián)。所以你不應(yīng)該玩這類(lèi)游戲。這在很多賭博平臺(tái)上很常見(jiàn)，賭場(chǎng)提供初始為中性的游戲，但通過(guò)收費(fèi)破壞了游戲的中性（俗話說(shuō)：“賭場(chǎng)只賺不賠。”）。

結(jié)語(yǔ)

基于期望值進(jìn)行決策是一個(gè)判定參與某項(xiàng)活動(dòng)是否在經(jīng)濟(jì)學(xué)上合理的簡(jiǎn)單方式。當(dāng)然，除了純粹的經(jīng)濟(jì)回報(bào)，還有其他衡量可用性的方式，所以期望為正并不是一個(gè)傻瓜式的決策工具。此外，別忘了期望值需要大量重復(fù)的試驗(yàn)才能起效，因此對(duì)于特定事件（其中的一些概率極其罕見(jiàn)）而言，期望值可能提供了扭曲的視角。例如，考慮彩票得獎(jiǎng)。盡管彩票有可能有機(jī)會(huì)是正期望值（譯者注：比如由于前面好幾期無(wú)人得頭獎(jiǎng)，獎(jiǎng)池累積金額很高，國(guó)內(nèi)福利彩票獎(jiǎng)池設(shè)有上限，期望值不可能為正），但你在你有限的人生中實(shí)際實(shí)現(xiàn)這一期望值的概率極低，所以買(mǎi)彩票并不值。