摘要：

磁流變阻尼器力學模型是磁流變阻尼器結構控制的基礎。針對Bingham磁流變阻尼器力學模型，對剪切應變率作分數階微分處理，提出一種分數階Bingham磁流變阻尼器力學模型，并將此模型引入到圖像去噪，推導出一種分數階Bingham圖像去噪模型，且定義一種分數階邊緣檢測算子和數值解法，最后用于合成圖像與Lena圖像去噪。MATLAB實驗結果表明，算法既能保持圖像目標邊緣，又能實現圖像去噪。

0 引言

磁流變阻尼器是應用磁流變液在強磁場下快速可逆流變特性而制造出的一種有著廣泛應用前景的減振控制裝置[1]。由于磁流變阻尼器的非線性，建立較為精確的阻尼器動力學模型是開發和使用阻尼器獲得好的控制效果的關鍵因素之一[2]。磁流變液的流體力學性能受到外加磁場等多因素影響，本構關系復雜，難以建立精確的數學模型，目前還沒有統一的磁流變阻尼器力學模型[3]。

Bingham模型是一種常用的磁流變阻尼器塑性流體力學模型[4]。Herschel-Bulkley模型是一種改進的非線性Bingham模型，具有冪律的本構關系，其整數階導數模型需要引入多個導數項和材料參數[5]。分數階導數可以很好地描述具有冪律的復雜非線性自然和社會現象[6]。為此，本文將分數階微分和Bingham模型相結合，得到分數階Bingham模型，描述磁流變阻尼器的動力學過程。

圖像去噪是圖像預處理的重要步驟[7]，基于偏微分方程(PDE)的圖像去噪方法是圖像分析和處理的研究熱點[8]。本文由分數階Bingham模型推導得到分數階Bingham PDE圖像去噪模型，并定義一種分數階邊緣檢測算子，用于圖像去噪。試驗結果證明了算法的有效性。

1 分數階微積分與Bingham模型

1.1 分數階微積分定義

分數階微積分是數學分析的一個重要分支，目前分數階微積分有多種定義表達式[9]，其中主要有3種經典的時域表達式，包括Grümwald-Letnikov、Riemann-Liouville 和Capotu定義，3種定義在一定條件下是等價的。分數階微積分的定義為：

式中，v為分數階數，G表示G-L定義，下標a和t表示積分式的下界和上界，a為時間t的初值。

1.2 Bingham模型

Bingham模型是磁流變阻尼器常采用的力學模型之一，其應力與應變的關系為：

1.3 Herschel-Bulkley模型

Herschel-Bulkley模型是一種改進的Bingham模型，能夠解釋磁流變液屈服后剪切稀化和剪切增稠行為。其模型表達式為：

2 分數階Bingham磁流變阻尼器力學模型

Herschel-Bulkley模型是一種整數階導數模型，式(3)具有冪律特性，其應力與應變響應依賴于時間和應變率，與載荷和變形歷史有關，具有記憶性。相比Bingham模型，它引入了多個導數項和材料參數，較準確地描述了磁流變液的動力學特性。針對模型的冪率特性，Gemant[4]建議將分數階時間導數引入到材料的本構關系中，能用較少的材料參數便能準確地描述大量復雜的具有記憶性的材料的動力學特性。為此，將式(1)的分數階引入到式(2)當中，提出一種分數階Bingham磁流變阻尼器力學模型，如式(4)所示。

3 分數階Bingham圖像去噪模型

3.1 圖像去噪模型

再令u(0)=u0為初始含噪圖像，得到PDE圖像去噪迭代模型：

3.2 數值解法

數值解法采用有限差分方法。將圖像看成向量[1×MN]，向量元素ui為像素灰度值，i∈[1，…，MN]，h表示離散網格大小，tk=τk為離散時間，其中k為正整數，τ為時間步長。對圖像進行時域微分：

得到分數階微分掩模算子[11]，即Tainsi算子，如圖1所示。利用Tainsi算子對式(11)作分數階微分處理，得到一種分數階邊緣檢測算子。

4 試驗結果

4.1 性能評價

圖像去噪結果評價采用的評價測度方法有兩種[12-13]，即信噪比(SNR)和平均結構相似度(MSSIM)。SNR圖像去噪評價采用式(17)：

式中，M為局域窗口數目，X、Y為參考標準和去噪圖像。

4.2 結果

對人工合成圖像進行去噪，并比較不同階數(0≤v≤1)的圖像去噪算法處理結果，如圖2所示。圖2(a)大小為150×150；噪聲圖像圖2(b)的SNR為7.966 5，噪聲σ=10；圖2(c)～(f)分別為分數階數為0、0.3、0.7、1，迭代次數為40的圖像去噪結果。從圖中看出，當階數為0.7時，圖像去噪效果最好，既保持了邊緣，又去除了噪聲。式(6)中v1和v2取不同值，用分數階Bingham圖像去噪模型式(7)對圖2(b)去噪，得到SNR和MSSIM值，如表1所示。當v1＝v2＝0.7時，SNR最大；當v1＝v2＝0.5 時，MSSIM最大。

對Lena圖像進行去噪，并比較不同階數(0≤v≤1)圖像去噪算法處理結果，如圖3所示。圖3(a)大小為256×256，噪聲圖像3(b)的SNR為12.653 1，噪聲σ=10，圖3(c)～(f)分別為分數階數為0、0.3、0.7、1，迭代次數為10的圖像去噪結果。從圖中看出，當階數為0.3時，圖像去噪效果最好，既保持了邊緣，又去除了噪聲。式(6)中v1和v2取不同值，用分數階Bingham圖像去噪模型式(7)對圖3(b)去噪，得到SNR和MSSIM值，如表2所示。當v1＝0.2、v2＝0.3時，SNR最大；當v1＝v2＝0.4 時，MSSIM最大。

4.3 算法分析

提取圖2中的第75行像素值，如圖4所示，圖中包括無噪像素值、含噪圖像素值、不同階數(v＝0、0.7、1)的去噪圖像素值。從圖看出，在平坦區域，當v＝0.7時像素值更接近真實值，當v＝1.0時像素值振蕩幅度最大，去噪效果最差；在邊緣區域，當v＝1.0時邊緣保持效果最好，v＝0.7次之，v＝0最差；綜合比較，當v＝0.7時，分數階Bingham力學模型效果最好，既保持了圖像高頻邊緣信息，又抑制了低頻區域噪聲，此現象與表1數值表現一致。表1和表2中，SNR與MSSIM的峰值位置距離較近，且SNR與MSSIM的數值變化趨勢保持一致，從而證明選擇合適的分數階數確能改善Bingham力學模型圖像去噪效果。

5 結論

圖像去噪是圖像處理中最基本問題之一，既實現去噪又保持圖像邊緣高頻信息是圖像去噪的重要目標。本文利用Bingham磁流變阻尼器力學模型與分數階微積分原理相結合，提出一種分數階磁流變阻尼器力學圖像去噪模型，MATLAB試驗結果表明：

(1)根據Bingham磁流變阻尼器力學模型，對剪切應變率作分數階處理，推導得到分數階Bingham圖像去噪模型是有效的。

(2)定義的分數階邊緣檢測算子及分數階掩模算子(Tainsi算子)是可行的，能有效檢測圖像邊緣，具有較好抗噪性能。

(3)通過選擇合適的分數階階數，能夠優化圖像去噪效果，既能保持圖像邊緣信息，又能較好實現圖像去噪。