現代的深度神經網絡通常具有海量參數，甚至高于訓練數據的大小。這就意味著，這些深度網絡有著強烈的過擬合傾向。緩解這一傾向的技術有很多，包括L1、L2正則、及早停止、組歸一化，以及dropout。在訓練階段，dropout隨機丟棄隱藏神經元及其連接，以打破神經元間的共同適應。盡管dropout在深度神經網絡的訓練中取得了巨大的成功，關于dropout如何在深度學習中提供正則化機制，目前這方面的理論解釋仍然很有限。

最近，約翰·霍普金斯大學的Poorya Mianjy、Raman Arora、Rene Vidal在ICML 2018提交的論文On the Implicit Bias of Dropout，重點研究了dropout引入的隱式偏置。

基于權重系聯的線性自動編碼器

為了便于理解dropout的作用機制，研究人員打算在簡單模型中分析dropout的表現。具體而言，研究人員使用的簡單模型是只包含一個隱藏層的線性網絡。該網絡的目標是找到最小化期望損失（平方損失）的權重矩陣U、V：

上式中，x為輸入，y為標注輸出，D為輸入x的分布，h表示隱藏層。

學習算法為帶dropout的隨機梯度下降，其目標為：

其中，dropout率為1-θ，具體的算法為：

這一算法的目標等價于（推導過程見論文附錄A.1）：

其中，λ = (1-θ)/θ

研究人員又令U = V，進一步簡化模型為權重系聯的單隱藏層線性自動編碼器。相應地，該網絡的目標為：

研究人員證明了，如果矩陣U是以上目標的全局最優解，那么U的所有列范數相等。這意味著，dropout傾向于給所有隱藏節點分配相等的權重，也就是說，dropout給整個網絡加上了隱式的偏置，傾向于讓隱藏節點都具有類似的影響，而不是讓一小部分隱藏節點具有重要影響。

上圖可視化了參數λ的不同取值的效果。該網絡為單隱藏層線性自動編碼器，搭配一維輸入、一維輸出，隱藏層寬度為2。當λ = 0時，該問題轉換為平方損失最小化問題。當λ > 0時，全局最優值向原點收縮，所有局部極小值均為全局最小值（證明過程見論文第4節）。當λ增大時，全局最優值進一步向原點收縮。

單隱藏層線性網絡

接著，研究人員將上述結果推廣到了單隱藏層線性網絡。回憶一下，這一網絡的目標為：

和權重系聯的情形類似，研究人員證明了，如果矩陣對（U, V）是以上目標的全局最優解，那么，‖ui‖‖vi‖ = ‖u1‖‖v1‖，其中，i對應隱藏層的寬度。

研究人員進一步證明，前面提到的單隱藏層線性神經網絡的目標等價于正則化的矩陣分解（regularized matrix factorization）：

利用矩陣分解這一數學工具，研究人員證明了全局最佳值可以在多項式時間內找到：

試驗

研究人員試驗了一些模型，以印證前面提到的理論結果。

上圖可視化了dropout的收斂過程。和之前的可視化例子類似，模型為單隱藏層線性自動編碼器，一維輸入、一維輸出，隱藏層寬度為2。輸入取樣自標準正態分布。綠點為初始迭代點，紅點為全局最優點。從圖中我們可以看到，在不同的λ取值下，dropout都能迅速收斂至全局最優點。

研究人員還在一個淺層線性網絡上進行了試驗。該網絡的輸入x ∈ ?80，取樣自標準正態分布。網絡輸出y ∈ ?120，由y = Mx生成，其中M ∈ ?120x80均勻取樣自右、左奇異子空間（指數譜衰減）。下圖展示了不同參數值（λ ∈ {0.1, 0.5, 1}）與不同隱藏層寬度（r ∈ {20, 80}）的組合。藍色曲線為dropout不同迭代次數下對應的目標值，紅線為目標的最優值。總共運行了50次，取平均數。

上：r = 20；下：r = 80

上圖最后一列為“重要性評分”的方差。重要性評分的計算方法為：‖uti‖‖vti‖，其中t表示時刻（迭代），i表示隱藏層節點。從上圖我們看到，隨著dropout的收斂，“重要性評分”的方差單調下降，最終降至0. 且λ較大時，下降較快。

結語

這項理論研究確認了dropout是一個均質地分配權重的過程，以阻止共同適應。同時也從理論上解釋了dropout可以高效地收斂至全局最優解的原因。

研究人員使用的是單隱藏層的線性神經網絡，因此，很自然地，下一步的探索方向為：

更深的線性神經網絡

使用非線性激活的淺層神經網絡，例如ReLU（ReLU可以加速訓練）