設(shè)計(jì)新的結(jié)構(gòu)時，你是否曾經(jīng)對如何獲得最優(yōu)形狀感到迷茫？如果是這樣，那么你一定會樂意學(xué)習(xí)一種非常有用的稱為“形狀優(yōu)化”的技術(shù)，擁有了這項(xiàng)技術(shù)，你的 COMSOL Multiphysics 建模技能就又提高了一步。今天我們將探討形狀優(yōu)化的概念，并借助一個典型案例來演示其用法。

形狀優(yōu)化的背景

工程師、研究人員和科研人員們一直在努力改進(jìn)設(shè)計(jì)。優(yōu)化是指這樣一種理念，即改變零件尺寸和材料屬性等模型輸入數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)某些指標(biāo)的提升，同時還滿足一組約束條件。COMSOL Multiphysics 中的優(yōu)化模塊是處理此類問題的得力工具。

尺寸優(yōu)化是其中一種比較常見的優(yōu)化技巧。這個方法要求直接更改 CAD 尺寸，實(shí)現(xiàn)質(zhì)量最小化，可參考我們的支架的優(yōu)化教程。在這個支架示例中，我們利用所謂的無梯度技術(shù)調(diào)整尺寸，同時還考慮了以下約束：尺寸間關(guān)系、峰值應(yīng)力以及最低固有特征頻率。這些技術(shù)會根據(jù)不同的目標(biāo)函數(shù)和約束類型采用不同的處理方法，因此相當(dāng)靈活。不過，這些技術(shù)有一個缺點(diǎn)：必須不斷地對零件重新剖分網(wǎng)格，從而使設(shè)計(jì)變量從數(shù)值上逼近目標(biāo)函數(shù)和約束的靈敏度。

如我們在以前的一篇文章中討論的，在使用變形幾何接口時，如果幾何發(fā)生變化，那么也可以通過分析計(jì)算設(shè)計(jì)靈敏度。進(jìn)一步來講，基于梯度的求解器無需重新剖分網(wǎng)格，即利用靈敏度優(yōu)化零件的尺寸，這是我們在設(shè)計(jì)電容器一文中重點(diǎn)討論的內(nèi)容。回顧以上兩篇文章有助于理解我們今天要使用的功能。

形狀優(yōu)化是對以前討論的相關(guān)概念的一個延伸，其中不僅考慮了簡單的尺寸更改，還涉及到形狀的總體改變。結(jié)構(gòu)的形狀受控于一組設(shè)計(jì)參數(shù)，這些參數(shù)使用了一組能描述任意形狀的基函數(shù)。在下文中，我們將結(jié)合具體案例進(jìn)行探討。

形狀優(yōu)化問題：梁的厚度

調(diào)整懸臂梁的厚度是一個典型的形狀優(yōu)化問題，我們以此入手來進(jìn)行探討：調(diào)整懸臂厚度并使其質(zhì)量最小化，同時滿足自由端上撓度峰值的約束。梁的初始厚度均勻，但頂部表面上分布的載荷不均勻，請參考下圖。

載荷不均勻的懸臂梁，點(diǎn) A 的撓度不應(yīng)超過指定值。圖中還顯示了網(wǎng)格。

我們先選擇設(shè)計(jì)變量。在懸臂端，梁的長度和厚度固定，長度方向上梁的厚度可以改變。根據(jù)初始配置改變厚度會稍微更簡單些。不過，我們引入了函數(shù)，它在長度方向上的初始值為零。

優(yōu)化問題研究梁的厚度變化。

在這里，我們選擇用一組四階伯恩斯坦多項(xiàng)式表示厚度變化：

用歸一化尺寸表示：。請注意，此函數(shù)已按比例縮小了，這樣多項(xiàng)式系數(shù)的數(shù)量級接近 1。這樣做也是為了實(shí)現(xiàn)縮放的目的。

因?yàn)?img src="http://file.elecfans.com/web1/M00/61/1B/pIYBAFt-UbaAWssZAAABmHBVDOQ775.png" />?時梁的厚度已指定，因此在固定??時，，所以這一項(xiàng)可略去。在遠(yuǎn)端，我們添加了一個約束條件：梁不能太薄，即?。

至于中間區(qū)域，我們也希望添加一些約束，進(jìn)一步限制設(shè)計(jì)空間。可以添加約束。不過，這一約束有個缺陷：梁的厚度會忽薄忽厚。但是根據(jù)基本原理，我們知道這種情況不合常理，在長度方向增加梁的厚度毫無益處。我們就對其導(dǎo)數(shù)添加約束：。這個約束迫使梁的厚度沿長度單調(diào)增加，隨之還帶來的好處是很自然地滿足了約束條件：。

還要考慮另一個約束：梁一端上點(diǎn)的位移。我們希望點(diǎn)?的位移量不超過指定值?。根據(jù)以上信息，我們現(xiàn)在的優(yōu)化問題就比較完整了：

目標(biāo)函數(shù)針對梁的初始質(zhì)量?所作的歸一化已完成，目標(biāo)函數(shù)已縮放，其階次為 1。類似地，梁端部的位移量??針對容許的最大位移??進(jìn)行歸一化，它應(yīng)當(dāng)小于 1。現(xiàn)在我們來看一看如何在 COMSOL Multiphysics 中使用“優(yōu)化模塊”實(shí)現(xiàn)此類問題。

在 COMSOL Multiphysics 中實(shí)現(xiàn)這個問題

我們先從初步設(shè)計(jì)開始，即一個長度固定、厚度均勻的梁。梁一端設(shè)計(jì)為懸臂式，頂部表面的載荷不均勻，其變化遵循。我們希望先引入厚度變化的函數(shù)。之前描述的多項(xiàng)式函數(shù)是變量?DT，如下方截圖所示。表達(dá)式?Xg?指最初未變形幾何的?x?維度。此函數(shù)在歸一化的?x?方向上的導(dǎo)數(shù)是變量?dDTdX。兩個全局參數(shù)?L0?和?T0?定義長度和最大厚度。

屏幕截圖顯示厚度變化的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)。

有關(guān)厚度變化的變量用在變形幾何接口中，定義梁的總體積如何隨厚度變化而變化。因?yàn)橹挥泻穸茸兓钥梢允褂煤唵蔚木€性映射，如下圖所示。

梁內(nèi)的位移就指定完畢。

現(xiàn)在通過優(yōu)化接口建立優(yōu)化問題，其中可以很輕松地創(chuàng)建比較復(fù)雜的含多個約束的優(yōu)化問題。相關(guān)設(shè)置顯示在下方的屏幕截圖中，先設(shè)置目標(biāo)函數(shù)。積分目標(biāo)特征對材料密度在建模域進(jìn)行積分，并針對初始零件質(zhì)量進(jìn)行歸一化。

優(yōu)化的目標(biāo)是質(zhì)量最小化。

全局控制變量特征的設(shè)置如下所示。四個變量C1、C2、C3和C4的初始值為零，相當(dāng)于梁的初始形狀。對C4的約束是施加了一個上界，所有變量的縮放比例均為 1。

控制變量及其界限和縮放比例的定義。

接著，將逐點(diǎn)不等式約束特征施加到域的底部邊界。該特征強(qiáng)制每一點(diǎn)的位移函數(shù)的導(dǎo)數(shù)均為正，從而確保函數(shù)單調(diào)增加。

通過逐點(diǎn)不等式約束對沿梁長度的導(dǎo)數(shù)施加約束。

最后，對梁遠(yuǎn)端點(diǎn)的峰值位移施加約束，使其小于最大指定值。可通過點(diǎn)求和不等式約束特征設(shè)置該值。

對歸一化的峰值位移施加約束。

至此，我們的優(yōu)化問題基本創(chuàng)建完畢。最后一步是將優(yōu)化特征添加到研究序列，選擇基于梯度的 SNOPT 求解器，經(jīng)證實(shí)該求解器能最快速地處理我們的問題。所有其他設(shè)置保留默認(rèn)值。目標(biāo)函數(shù)和約束自動取自優(yōu)化接口。

相關(guān)的優(yōu)化求解器設(shè)置。

下圖繪制了結(jié)果。其中已顯示根據(jù)上述步驟得到的最優(yōu)形狀。端部的位移最大，厚度沿長度單調(diào)增加。我們預(yù)計(jì)幾何會變形，因此使用了映射網(wǎng)格。

優(yōu)化后梁的形狀，施加不均勻載荷和約束后實(shí)現(xiàn)了質(zhì)量最小化。其中繪制了位移場，以及施加的載荷分布和網(wǎng)格。

使用形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)新結(jié)構(gòu)的總結(jié)

或許我們自己會疑惑，如何能確定以上的結(jié)構(gòu)真正實(shí)現(xiàn)了最優(yōu)化。因此我們強(qiáng)烈建議進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)化研究，嘗試不斷細(xì)化網(wǎng)格，以了解其解如何收斂。研究基函數(shù)的收斂性也是非常合理的做法。我們可以使用高階伯恩斯坦基函數(shù)并比較結(jié)果。不過，這樣做可能會導(dǎo)致龍格現(xiàn)象，還會使收斂緩慢。

將原區(qū)間細(xì)分為多個子區(qū)間，在每個子區(qū)間（分段多項(xiàng)式）使用不同的較低階形函數(shù)，可規(guī)避此類問題。除了伯恩斯坦基函數(shù)外，我們還可以應(yīng)用其他基函數(shù)，如切比雪夫多項(xiàng)式和傅立葉基函數(shù)。號角優(yōu)化形狀教程重點(diǎn)討論了使用傅立葉基函數(shù)的案例，該教程可從“案例下載”中下載。

本篇文章討論的案例中，所包含的變形十分簡單。在涉及更復(fù)雜的變形時，需要花更多心思考慮如何定義變形映射。在計(jì)算非常復(fù)雜的變形時，添加輔助方程也會很有幫助。如果你對使用這些形狀優(yōu)化技術(shù)有任何疑問，或者希望將優(yōu)化模塊加到自己的建模工具套件中，請聯(lián)系我們。