摘要：佛說：“一花一世界、一葉一菩提”，說的是尋常細微之物中有大千世界的縮影，我們可以從中知微見著。而如果從系統科學的視角，這話可以解出新意。微觀來說，基本粒子組成了中子、質子和電子，又組成各類元素,元素組成了水、蛋白質、脂類、糖類與無機鹽等化合物，化合物組成了細胞，細胞組成了一花一葉，世間萬物，概莫如是，這便是系統自組織的過程。

人們研究系統科學，就是要探尋系統的組織與演化規律，以耗散結構、協同學、突變論為代表的系統自組織理論對系統演化規律進行了定性的解讀，但缺少數學的參與，任何理論方向都不能稱之為成熟。本篇介紹的系統科學的非線性理論，包括分形與混沌，是從幾何與代數方面去探尋復雜系統的演化規律，而復雜適應系統理論，則是從更大規模，更長時間尺度上去探尋系統的演化規律，可以說，系統科學發展到當前階段，離把握系統演化過程的本質又近了一步。

自相似

人們一定驚嘆于自然界中事物外在形態幾何圖形的千變萬化，但在這變化之中卻有著一種神奇的性質，自相似性。無論是植物、動物、物理現象還是地形地貌，都能找到不勝枚舉的自相似的對象，包括人體的血管、肺部、神經系統等的構造上也具有高度的自相似性。舉幾個簡單例子，如下圖中的松果、花椰菜的外形，還有閃電的紋路，都是典型的自相似現象。無機世界中因為物理規律是相同的，所以閃電、地形地貌、海岸線等具有自相似性很好理解，而有機生命體在自我復制過程中受到相同的基因組控制，也必然會出現大量相同的迭代過程，從而出現自相似性，只是生命體在有限空間內，不是無限擴張，而是實現了對迭代的極限收斂，于是出現了按比例的逐漸縮小，以致極限的現象，這正是生命體的奇妙之處。

自然界的這種神奇的自相似特性被藝術家們發現，體現在了藝術創作上，達到了獨特的藝術效果。其中的代表人物就是荷蘭版畫家埃舍爾。埃舍爾以其繪畫中的蘊含的數學性而聞名，美國人工智能領域先驅者之一侯世達，更是將埃舍爾的名字放進了他的書名之中，叫《哥德爾、埃舍爾、巴赫——集異璧之大成》，書中對埃舍爾畫中體現的自相似、迭代與無窮的概念進行了闡述。下圖是埃舍爾的兩幅典型的自相似概念相關的版畫。

20世紀初，自相似概念終于被數學家們所發現并利用，構造出了令人驚奇的曲線，有代表性的是科赫曲線和謝爾賓斯基三角形。他們有幾個共同的性質：1）整體上處處不規則；2）不同尺度上，圖形具有自相似性；3）都通過簡單規則逐次迭代產生。這些曲線成為傳統幾何學中的怪物，無法用傳統的幾何學方法去解釋，如科赫曲線，如果從一維的長度上去度量，是無窮長的。這些幾何圖形的性質困擾了幾何學家們很長的時間，直到一個叫本華.曼德勃羅的美國數學家出現，他把這種幾何上的自相似性發展了一門新的幾何門類，即分形。

分形

曼德勃羅被稱為分形之父，1967年，他發表了題為《英國的海岸線有多長？統計自相似和分數維度》的文章，提出采用不同度量標來測量，每次會得出完全不同的結果，尺度越小，測量的結果就會越長，并不會趨向于一個有限固定的結果。1975年曼德勃羅出版了《大自然的分形幾何學》，奠定了分形理論的數學基礎。而曼德勃羅以他的理論構建的“曼德勃羅集”被稱為人類有史以來最奇異、最瑰麗的集合圖形，被稱為“上帝的指紋”。

曼德勃羅集

曼德勃羅集產生自一個簡單的非線性迭代公式：

其中Z與C表示復數，代表了平面上的點，因為是平方運算，所以是非線性的。分形理論引種是對不規則的自然界的數學描述方法，因此又被稱為描述大自然的幾何學。

三體與混沌

《道德經》上說，道生一，一生二，二生三，三生萬物。三是一個特別的數字，萬物都孕育在三的變化當中。劉慈欣獲得雨果獎的著名小說《三體》描述的三體世界中，也因為存在三個太陽而使得行星的軌跡無法精確求解，從而造成了三體世界的苦難。歷史上三體問題本身就是一個經典問題。自從牛頓提出萬有引力定律后，兩個天體的運動規律問題得到解決，但多個天體的運動問題依然存在，哪怕只是三體問題。1887年瑞典國王發布了一筆獎金，征求4個難題的解答，其中就包括太陽系的穩定問題。獎金被當時的法國數學家龐加萊得到。他雖然沒有徹底解決這個問題，但他提出了限制性三體問題的解決思路，所謂限制性三體問題，就是假設一個天體的質量比其它兩個天體小很多，可忽略不計，從而其它兩大天體的二體問題能夠精確求解，大天體1與大天體2相對做橢圓軌跡運動。雖然如此，得到的第三個天體的運動軌跡依然是雜亂的，但是它又不會超出一定的空間范圍，就好比雜亂之中又蘊含著某種程度的有序，這其實就是我們今天提到的“混沌”，只是當時人們還未認識到。這樣就一定程度上說明了太陽系中太陽、地球和月球的穩定性，龐加萊獲得了該項獎金。

2019年1月3日，我國嫦娥四號月球登陸車登陸月球成功，并且在世界上第一次實現了月球背面登陸，嫦娥四號登月的功臣們還得到了習主席的接見。由于月球背面總是背對著地球，無法實現登陸器與地球控制中心的通信，因此實現月球背面登陸是一個世界級難題，我國科學家們充分發揮了中國人民的智慧，想出了首先發射一個通信中繼星的妙招，這就是“鵲橋”號中繼星。“鵲橋”號中繼星正好定位在地、月朗格朗日L2點上，這其中就用到了限制性三體問題的原理，地球、月球和“鵲橋”號中繼星三者構成了限制性三體，法國數學家朗格朗日曾證明過限制性三體共存在5個動態平衡點，小質量天體在這五個地方可保持引力的平衡。我國科學家們選擇了其中的朗格朗日L2點作為中繼星的布放位置，當中繼星到達L2點后，被地球和月球的引力所捕獲，達到了引力的動態平衡。

5個拉格朗日點

“鵲橋”中繼星位于拉格朗日L2點位置

混沌

人們一提混沌，必須講到美國氣象學家洛倫茨以及他提出來的蝴蝶效應與奇異吸引子。1963年，氣象學家洛倫茨在實驗室研究氣象預報模型時，稍微修改輸入的值，得到了變化非常大的輸出結果。按常理，確定性方程的結果應該是漸變的，稍微修改輸入，輸出變化應該不大才對，這樣人們才能預測系統后續的行為。他輸入的數據只差了0.000127，而這么微小差異卻造成了結果的天壤之別，不服輸的洛倫茨把大量的實驗結果畫在了紙上，便形成了后世經典的奇異吸引子。從這張圖中可以看出混沌與分形之間的聯系，分形是混沌的幾何表達。通過研究，洛倫茨終于明白了，長期的天氣預報是不可能準確的，于是他寫了一篇論文《一只蝴蝶拍一下翅膀會不會在Taxas州引起龍卷風？》，這就是“蝴蝶效應”的由來。

洛倫茨發現了混沌現象，但為這種現象取名的卻另有其人，1972年美國數學家約克與其弟子，來自于我國福建省的李天巖發表了論文《周期3意味著混沌（Chaos）》，從而讓“Chaos”成為混沌現象的名字。這里的周期3正好與《老子》中的三生萬物不謀而合，所以不得不佩服我國先賢的智慧。

洛倫茨的奇異吸引子

如果說量子力學打破了微觀世界的確定性，那么混沌則打破了人們對宏觀世界確定性的認識，隨著人們對混沌現象的不斷深入研究，更進一步確信了，混沌才是我們所處世界的本質。例如在研究人的心率曲線時發現，健康成年人的心率曲線是不規則的形狀，呈現某種自相似性，貌似混沌，而癲癇患者的心率曲線反而是呈現更多的規則性與周期性。混沌是人的生命之源，代表了生機。錢學森也有過“某一個層次上的混沌可以是高一個層次上的有序的推動力量”的論斷。

混沌現象是非線性確定系統的本質屬性，說明了世界是隨機的，但隨機中又孕育著有序。而系統的吸引子又將分形與混沌聯系起來，分形是混沌的幾何表達。因為混沌的不可預測性，從而產生了萬千的復雜系統。

圣塔菲研究所與復雜性系統科學

分形和混沌是對非線性系統的數學表達。但現實世界中，我們所面臨的系統較之混沌理論研究中描述的系統要復雜得多。人們對系統科學的目光最終都聚焦到了復雜性系統科學的研究上。1984年，受諾貝爾物理獎獲得者，夸克之父蓋爾曼提議，以來自洛斯阿拉莫斯國家實驗室的科學家為主，共24位科學家在新墨西哥州建立了圣塔菲研究所，致力于復雜系統科學的研究。蓋爾曼認為，“我們所要致力于研究的是跨越科學不同學科的大整合。有些領域如在分子生物學、非線性科學、認知科學等領域已經開始了，而這個新的研究所的任務就是要促使其誕生”。從此圣塔菲成為全世界復雜性系統科學研究者的圣地。

圣塔菲研究所認為：“復雜性產生于任何多個主體交互、相互適應以及主體適應環境的系統。這些交互和適應在宏觀層面產生系統演化過程和常見的令人驚奇的涌現行為。復雜性科學試圖找到能夠在這樣一些不同的物理、生物和社會等系統中導致這種復雜性的共同機理。”圣塔菲研究所陸續產生了一大批系統復雜性領域相關的科學家和知名的著作，其中影響最大的當屬霍蘭以及他提出的復雜適應系統理論。

復雜適應系統理論

霍蘭是圣塔菲研究所的常駐科學家之一，他在研究了城市、蟻群、生態、胚胎、神經網絡、人體免疫系統等復雜系統的基礎上，撥開重重迷霧，提煉出了眾多復雜系統演化過程中的一般性因素，即系統內部眾多獨立的要素的相互作用，使復雜系統作為一個整體產生了自發性的自組織，成為一種能夠自主應對外界變化的自適應主體（Self-adaptive Agent）。1994年他提出了復雜適應系統理論（Complex Adaptive Systems，簡稱CAS）。復雜適應系統理論將系統當作自適應主體，具有通用的4種特性和3種機制。構成了復雜系統內部的“隱秩序”，成為推動復雜系統演化的動力。四種特性包括：

1）聚集。聚集有兩種含義，一是指簡化復雜系統的一種方法，我們常把相似的事物聚集成類，就好比面向對象方法中的類的抽象過程；二是指復雜系統組成的過程，各個底層模塊分層次不斷聚集，從而最終形成復雜系統本身。

2）非線性；復雜系統的聚集過程不是相同個體的數量累積，而是有復雜的交互過程，因此復雜系統必須是非線性的，非線性導致了混沌。

3）流；流是指系統內部信息、能量的流動，流是系統演化的動力之源。

4）多樣性；多樣性是復雜系統不斷適應外界變化帶來的必然結果。

三種機制包括：

1）標識；標識是聚集過程中為區分不同中間實體而被賦予的特征。

2）內部模型（機制）；內部模型是指復雜系統內部的關聯關系與模型機制，知曉了內部模型，我們才能對復雜系統行為進行建模和預測。

3）積木；積木是指系統的構成元素，積木是分層次和顆粒度的。

霍蘭

自適應主體的適應性，是指它能夠與環境以及其它主體進行交互作用。主體在這種持續不斷的交互作用的過程中，不斷地“學習”或“積累經驗”，并且根據學到的經驗改變自身的結構和行為方式，推動整個宏觀系統的演變或進化，包括新層次的產生，分化和多樣性的出現，新的、聚合而成的、更大的主體的出現等等。所以霍蘭在其著作《隱秩序》中提出了“適應性造就復雜性”的論斷。

模擬達爾文生物進化論的自然選擇和遺傳學機理的生物進化過程的計算模型，霍蘭提出了遺傳算法，實現了計算機模擬的自進化過程。霍蘭又被稱為遺傳算法之父。遺傳算法揭示了時間尺度上系統代系之間的演化規律，而復雜適應系統理論揭示了規模尺度上復雜系統的演化規律。

大自然的適應性進化

我們就以上篇提到的非洲大量出現不長牙的大象為例，來介紹復雜適應系統理論在大自然進化中的作用機制。

通常情況下非洲大象公象和母象都長象牙，象牙除了在生活上輔助覓食外，還肩負著打斗中保護自身的作用，因此長有象牙的大象的生存能力較強，自然選擇下，長有象牙的大象數量比較多，僅存在少量因變異而未長象牙的大象，等同于象群中的殘疾象。然而最近人們發現，在非洲的莫桑比克，出現了沒有象牙的母象占多數的情況。因為長年戰亂，軍人屠殺長有象牙的母象，反而使因變異不長象牙的母象更能生存下來，久而久之改變了大象種群的基因，沒有象牙的非洲母象又把這個基因傳給了下一代，它們生出的孩子大部分又是沒有象牙的非洲母象，這樣母象沒牙的基因，就這么一代代傳了下來，最終，沒牙的母象，從少數變成了多數。這就是象群系統為適應人類的行為而做出的適應性改變。地球是我們人類和動物共同生存的家園，我們應該站在人與自然共同組成的復雜適應系統的角度來重新審視自身的行為，做到和諧共處。

總結

分形與混沌一方面從幾何和代數的角度對非線性系統的演化進行了描述，為開展復雜系統研究提供了數學基礎；另一方面分形與混沌代表了自然界的普遍規律，為人們認識自然提供了全新的、客觀的視角。復雜適應系統理論在規模尺度上揭示了復雜系統適應外部變化，不斷演化的動力機制。而遺傳算法則從時間尺度上揭示了復雜系統代系演化過程中的動力機制。非線性與復雜性更加接近了系統的本質，并將系統科學推進到了復雜性系統科學的新的高度。

人們研究系統科學，除了更好地認識我們所處的客觀世界之外，更重要的是用于指導如何改造世界。制造和使用工具是人類進化過程中的重要里程碑。人們也通過使用工具來來改造自然，形成一系列技術。人類在使用技術，大規模地改造自然的過程形成了工程的概念，而為了更好地管理工程過程，人們總結經驗發展出了系統工程方法，而工具的制作和工程的實施又需要有科學作為依據和指導。那么科學、技術、工程之間的關系到底怎樣，人們又如何從系統科學研究過渡到系統工程研究，我們后續繼續開展分析。