布爾代數(shù)如何使用布爾代數(shù)定律減少數(shù)字門(mén)數(shù)的例子

布爾代數(shù)和布爾代數(shù)定律可用于識(shí)別數(shù)字邏輯設(shè)計(jì)中不必要的邏輯門(mén)減少功耗和成本所需的門(mén)數(shù)。

我們?cè)诒竟?jié)中已經(jīng)看到，數(shù)字邏輯功能可以定義并顯示為布爾代數(shù)表達(dá)式或邏輯門(mén)真值表。所以這里有一些例子說(shuō)明我們?nèi)绾问褂貌紶柎鷶?shù)來(lái)簡(jiǎn)化更大的數(shù)字邏輯電路。

布爾代數(shù)示例No1

構(gòu)造一個(gè)真值表以下電路中 C ， D 和 Q 點(diǎn)的邏輯功能，并確定可用于替換整個(gè)電路的單個(gè)邏輯門(mén)。

首先觀察告訴我們?cè)撾娐酚?輸入 NAND 門(mén)，2輸入 EX-OR 門(mén)，最后輸出端為2輸入 EX-NOR 門(mén)。由于標(biāo)記 A 和 B 的電路只有2個(gè)輸入，因此輸入只能有4種可能的組合（2 2 ）和它們是： 0-0 ， 0-1 ， 1-0 ，最后 1-1 。以表格形式繪制每個(gè)門(mén)的邏輯函數(shù)將為下面的整個(gè)邏輯電路提供以下真值表。

從上面的真值表中，列 C 表示由 NAND 門(mén)生成的輸出函數(shù)，而列 D 表示輸出函數(shù)來(lái)自 Ex-OR 門(mén)。這兩個(gè)輸出表達(dá)式都將成為輸出端 Ex-NOR 門(mén)的輸入條件。

從真值表中可以看出的輸出當(dāng) A 或 B 中的任何一個(gè)輸入處于邏輯 1 時(shí)，存在Q 。滿(mǎn)足此條件的唯一真值表是 OR 門(mén)。因此，整個(gè)上述電路只能用一個(gè)2輸入OR 門(mén)代替。

布爾代數(shù)示例No2

找到以下系統(tǒng)的布爾代數(shù)表達(dá)式。

系統(tǒng)由組成AND 門(mén)， NOR 門(mén)，最后是 OR 門(mén)。 AND 門(mén)的表達(dá)式為 A.B ， NOR 門(mén)的表達(dá)式為 A + B 。這兩個(gè)表達(dá)式也是 OR 門(mén)的單獨(dú)輸入，定義為 A + B 。因此，最終輸出表達(dá)式如下：

系統(tǒng)的輸出為 Q =（AB） +（ A + B ），但符號(hào) A + B 與De Morgan的符號(hào) A 。 B 相同，然后替換 A 。 B 到輸出表達(dá)式給出了 Q =（AB）+（ A 。 B ）的最終輸出符號(hào)，這是 Exclusive-NOR 門(mén)的布爾表示法，如上一節(jié)所示。

然后，上面的整個(gè)電路可以只用一個(gè) Exclusive-NOR 門(mén)代替，實(shí)際上 Exclusive-NOR 門(mén)由這些單獨(dú)的門(mén)組成函數(shù)。

布爾代數(shù)示例No3

查找以下系統(tǒng)的布爾代數(shù)表達(dá)式。

這個(gè)系統(tǒng)可能看起來(lái)比其他兩個(gè)系統(tǒng)要復(fù)雜得多，但邏輯電路只包含簡(jiǎn)單的 AND ， OR 和 NOT 連接在一起的門(mén)。

與前面的布爾示例一樣，我們可以通過(guò)依次寫(xiě)下每個(gè)邏輯門(mén)功能的布爾符號(hào)來(lái)簡(jiǎn)化電路為了給出 Q 輸出的最終表達(dá)式。

當(dāng)ALL門(mén)輸入在邏輯電平“1”處為高電平時(shí)，3輸入 AND 門(mén)的輸出僅為邏輯“1”（ ABC ）。當(dāng)一個(gè)或兩個(gè)輸入 B 或 C 處于邏輯電平“0”時(shí)，低 OR 門(mén)的輸出僅為“1”。當(dāng)輸入 A 為“1”且輸入 B 或時(shí)，2輸入 AND 門(mén)的輸出為“1” C 為“0”。當(dāng)輸入 ABC 等于“1”或 A 等于“1”并且兩個(gè)輸入時(shí)， Q 的輸出僅為“1” B 或 C 等于“0”， A.（ B + C ）。

使用“de Morgan定理”輸入 B 并輸入 C 取消，以便在 Q 處產(chǎn)生輸出，它們可以是邏輯“1”或邏輯“0”。然后，這只是輸入 A 作為在 Q 輸出所需的唯一輸入，如下表所示。

然后我們可以看到上面的整個(gè)邏輯電路只能被標(biāo)記為“ A ”的單個(gè)輸入所取代，從而將六個(gè)獨(dú)立邏輯門(mén)的電路減少到只有一根電線，（或緩沖器） 。使用布爾代數(shù)的這種類(lèi)型的電路分析可以非常強(qiáng)大并且可以快速識(shí)別數(shù)字邏輯設(shè)計(jì)中的任何不必要的邏輯門(mén)，從而減少所需的門(mén)數(shù)，電路的功耗以及成本