采樣控制系統時間響應特性及其計算方法

??? 摘? 要：本文針對采樣控制系統連續信號與離散信號共存的特點，指出傳統離散化分析方法因忽略了系統在采樣時刻之間的信息導致無法精確、真實地反映采樣控制系統的時間響應特性，在此基礎上，應用采樣控制系統直接設計方法，基于提升技術，在考慮系統在采樣時刻之間全部信息的條件下，推導給出了采樣控制系統時間響應的計算方法，最后通過一個具體計算實例說明了本文方法的有效性。
??? 關鍵詞：采樣控制系統? 提升技術? 時間響應

1 引言
??? 當前多數控制方案都采用離散控制器控制連續被控對象的方法，這就構成了采樣控制系統［１］。連續時間信號和離散時間信號共存，是采樣控制系統的顯著特點，也成為精確分析采樣控制系統的難點所在［２］。傳統的采樣控制系統時間響應的計算方法是將連續被控對象離散化后，應用離散系統理論近似計算系統的時間響應，這種計算方法的缺陷有兩點：一是系統的真實輸出為連續輸出，而計算結果卻是離散的；另外，計算過程中只考慮系統在采樣時刻點的信息，卻忽略了系統在采樣時刻之間的信息，因此只能是一種不精確的計算方法。
??本課題受高等學校博士學科點專向科研基金資助(HB-097-6820)
??? 本文應用采樣控制系統直接設計方法［２，３］，基于提升技術，推導給出了采樣控制系統時間響應計算方法。
??? 標準采樣控制系統的結構框圖如圖1所示，圖中實線代表連續信號，虛線代表離散信號，y(t)為輸出信號，u(t)為外部輸入信號，ψ、ν為數字信號，Kd為線性時不變離散控制器，S、H分別為理想采樣開關和保持器，G為廣義連續LTI被控對象，可表示為

??? 由于采樣開關的存在，使采樣控制系統中連續和離散信號共存，具有周期時變性。Bassam A.Bamieh將采樣控制系統進行提升化處理，提升后系統為離散時不變系統，其輸入輸出空間為無窮維，而系統范數不變［２，３］。可見，提升技術雖然解決了采樣控制系統的周期時變問題，但提升后系統的輸入輸出空間是無窮維，這一問題成為采樣控制系統分析和設計的主要難點。
2 采樣控制系統時間響應特性及其計算方法
??? 本節應用提升技術將采樣控制系統Ｆ轉化為線性時不變系統F，然后求解系統F(G，Kd)的時間響應，得到提升輸出。最后，將提升輸出進行逆提升處理，從而得到采樣控制系統的時間響應輸出y(t)，如圖2所示。

2.1 采樣控制系統的提升化處理
??? 提升算子L和逆提升算子L－１的作用可做如下直觀解釋［２］：L將定義在t∈［０，＋∞)上的連續信號y分割成定義在k∈N上的無窮個離散信號yk，每一個離散信號取值于定義在［０，h)上的Banach空間；而L－１是將無窮個離散信號“粘貼”成連續信號，如圖3所示，提升技術具有如下性質［４］：
??? 性質1：連續信號經過提升后，信號的范數保持不變，且L·L－１＝Ｉ。
??? 性質2：周期時變的采樣控制系統經過提升化處理后變成輸入輸出空間為無窮維的線性離散時不變系統，且提升系統不改變采樣控制系統的范數和穩定性。?
??? 性質3：提升化處理不改變系統的時間響應特性。
??? 根據提升算子和逆提升算子的定義，只是對信號的“分割”或“粘貼”，并不丟失信號的任何信息，因此提升化處理并不改變信號的時域特性，性質3顯然成立，證明略。

??? 為使問題簡化，設式(1)所示被控對象模型滿足D２１＝Ｄ２２＝０，提升后采樣控制系統中廣義被控對象模型為


2.2 采樣控制系統的時間響應特性
??? 提升系統的閉環狀態空間表示為，

??? 由于提升系統是線性時不變離散系統，故系統的閉環狀態空間表示為

??? 但［kh,(k+1)h)時間段內，由于B1u是定積分，因此是常值，同時區間［kh,(k+1)h)內卻是變化的，所以在區間［kh,(k+1)h)內隨時間t′變化。假設系統初態為零，對于任意時刻t(0≤t＜∞)，在輸入信號u(t)作用下，系統的輸出響應為

??? 可見根據式(2)，對于任意時刻t，都存在yk(t′)與之對應，所以由式(2)表示的采樣控制系統時間響應是連續的，而且式(2)中，

??? 以上算子表達式說明式(2)描述的采樣控制系統的時間響應考慮了采樣時刻之間系統的信息，并且在任意時變輸入信號下，算子都具有精確解，這樣，式(2)真實地反映了采樣控制系統的時間響應特性。
2.3 采樣控制系統時間響應計算方法

??? 當外部輸入信號為任意時變信號時，算子的計算方法是首先將積分區間n等分，然后應用近似求和的方法計算積分項，n值選取越大，計算結果越精確，計算公式如下：



3 計算實例

??? 根據前述內容計算采樣控制系統的時間響應，響應曲線如圖5和圖6所示。
??? 圖5為單位階躍信號下的響應曲線，圖6為頻率0.5?Hz、單峰1°的正弦輸入下［０，５］秒內的輸出響應，曲線1是應用本文方法計算出的時間響應曲線，由于考慮了采樣時刻之間系統的信息，所以響應曲線是光滑曲線，而曲線2是首先將低通濾波器和連續被控對象離散化，得到純離散系統后計算出的響應曲線，在一個周期［kh,(k+1)h)時間內，系統輸出為常值，故響應曲線為階梯狀。

??? 另外，當t′＝０時，即只考慮采樣時刻的響應時，若外部輸入為常值，提升系統簡化為通常的離散系統，故圖5中曲線1與曲線2在采樣時刻存在重合點；而當外部輸入為任意時變信號時，由于離散系統理論認為在［kh,(k+1)h)區間內，外部輸入信號為常值u(kh)，卻沒有考慮連續輸入信號在［kh,(k+1)h)間內的變化，因而相對于真實系統的輸出產生滯后，且隨著采樣周期增加，滯后變大。因此，圖6中曲線2滯后于曲線1，即使在采樣時刻點，兩條曲線也不存在重合點?？梢姡谔嵘夹g計算出的采樣控制系統時間響應輸出更接近于真實系統。
4 結論
??? 本文應用提升技術，將周期時變的采樣控制系統轉化為線性時不變離散控制系統，然后求解出提升系統的時間響應，再經過逆提升處理，解算出采樣控制系統的時間響應。這種方法的優點在于考慮了連續被控對象在采樣時刻之間的動態性能，因此相比于傳統采樣控制系統時間響應的計算方法，更具實際意義。

參考文獻：

［１］Bassam Bamieh,J.Boyd Pearson.A lifting technique for linear periodic systems with applications to sampled_data control［Ｊ］．System & Control Letters，1991,17:79-88
［２］Bassam Bamieh,J.Boyd Pearson.A General Framework for Linear Periodic Systems with Applications to H.∝. Sampled_data Control［Ｊ］.IEEE Trans AC，1992,37:418-435
［３］畢貞福.采樣控制系統設計方法及其應用研究［Ｄ］．哈爾濱工業大學博士學位論文，1998
［４］T.Chen,B.A.Francis.Optimal Sampled_data Control Systems［Ｃ］．Springer_Verlag,1995