表2.4 (7,4)循環碼的出錯模式 ( 生成多項式G(x)=1011 )

　　如果循環碼有一位出錯，用G(x)作模2除將得到一個不為0的余數。如果對余數補0繼續除下去,我們將發現一個有趣的結果：各次余數將按表2.4中的內容順序循環。例如第七位出錯，余數將為001，補0后再除，第二次余數為010，以后依次為100，011，…,反復循環。這是一個有價值的特點。如果我們在求出余數不為0之后,一邊對余數補0繼續做模2除，同時讓被檢測的校驗碼字循環左移。表2.4說明,當出現余數(101)時,出錯位也移到A1位置。可通過異或門將它糾正后在下一次移位時送回A7。繼續移滿一個循環(對7,4碼共移七次)，就得到一個糾正后的碼字。這樣我們就不必像海明校驗那樣用譯碼電路對每一位提供糾正條件。當數據位數增多時，循環碼校驗能有效地降低硬件代價，這是它得以廣泛應用的主要原因。

　　關于生成多項式，并不是任何一個r次的多項式都可以作為生成多項式。從檢錯及糾錯的要求出發,生成多項式應能滿足下列要求:
　　(1) 任何一位發生錯誤應當使余數不為0；
　　(2) 不同位發生錯誤應當使余數不同；
　　(3) 對余數繼續作模2除,應使余數循環。

　　將這些要求反映為數學關系是比較復雜的，對一個(n,k)碼來說，可將(xn -1)分解為若干質因子式(注意是模2運算)，根據編碼所要求的碼距，選取合適的r值，選其中的一個因式或若干因式的乘積作為生成多項式，為r次多項式，且最高、最低位系數均為1。

　　例: x⁷-1=( x+1)(x³+x+1)(x³+x²+1) (模2運算)
　　選擇 G(x)= x+1 = 11，可構成(7,6)碼，只能判一位錯。
　　選擇 G(x)= x³+x+1=1011,或 x³+x²+1=1101,可構成(7,4)碼,能判兩位錯或糾一位錯。
　　選擇 G(x)=(x+1)(x³+x+1)=11101,可構成(7,3)碼,能判兩位錯并同時糾正一位錯。

　　對使用者來說，可從有關資料上查到對應于不同碼制的生成多項式，表2.5僅給出了一部分。

表2.5 生成多項式